一道竞赛题的另解

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《 数学 教 学通 讯 ￣ ２ ０ ０ ２年 第 １ ２期 （ 上） （ 总第 １ ５ ７期 ） 　

重 庆　 ?４ ３? 　

■ ＿，Ｉ 　

道 竞 赛题 的　 另解　
４ ０ ０ ０ １ ６ ） 　 王 道 齐　

（ 重 庆 市 田 家炳 中 学

刚结束 的 ２ ０ ０ ２年 全 国 高 中 数 学 联 合 竞 赛　
加试 试 题 第 二 题 如 下 ： 　

垒 　兰 　

０ 　

一一 ２ ｔ ３ 　 旦 。 　 ２ 　 ｔ 　

实数 ａ 、 ｂ ． ｃ和 正 数　使 得 厂（ ｚ） ：ｚ 。 ＋ａ ｘ 。 　
＋如 ＋Ｃ 有 三个实根 ｚ 　 ， ｚ 。 ， ｚ 。 ， 且 满 足　
ｚ２一 ｚｌ—　 ； 　 （ １ ） 　

￣ － ｔ （ ２ ｆ ＋ ３ ） （ ３ — ２ ｆ ） ．ｆ ｌ 　’ 　
　 ＇
●　

’ 　

（ ９ ） 　

Ａ　 ｔ ≥　 ３时

， 　

．　
．

ｚ ３ ＞ ÷（ ｚ ｌ ＋ｚ ２ ） ． 　
厶　
．　

（ ２ ） 　
的最大值 即 最 　 但 ‘ 　
．　

ｔ （ ２ ｆ ＋ｌ ３ ） （ ３— ２ ｆ ） ≤９ ； 　

求　
—

—

＿　 ｝
— 　

—

一

命 题 者 给 出的解 法 技 巧 性 高 ， 难度大 ， 尤 其　
是 达 到最 大 值 的条 件 更 是 不 知 从 何 而 来 ． 本 文　 用 韦达定 理和均 值不等式 ， 给 出 了该 题 的一 个　

当 。 ＜ ｔ ＜ 暑 ． 时 ， 由 均 值 禾 等 誊 知 　
号 　ｆ 　３ ） （ ３ — ２ ｆ 　
１ × ４ ｆ× （ 　
一

１ ） （ ２ ｔ ＋ ３ ）× 　

思路清晰的 ， 比较 自然 的 另解 ， 供大家参考． 　

（ 　
１ ６ 　
３

＋ １ ） （ ３— ２ ０ ≤　

另解： 令　 一 ÷（ ｚ ｌ ＋ｚ ２ ） 　
则（ ２ ）变 为 ， ２ ７ 。 ＞　
且 由（ １ ）和 （ ３ ）得　
ｚ　 一 “ 一

（ ３ ） 　
（ ４ ） 　

ｆ坐± 　
厅３ 　
， 　

二 　 垄± 　 ± 　 　 ．
３ 　

± 　 ！ 　 二垄 　 、 ｓ 　

丢 　。 ～＋ 丢 　 ， 　

且当 ４ ｔ ＝（ ￣ ／ ， 了 一１ ） （ ２ ｔ ＋３ ） 一（ ￣ ／ ， 了 ＋　
１ ） （ ３— ２ ｔ ） ， 即 ￡＝　 ‘ 　 ＿ ｌ ｌ （ １ ２ ） 　

从 而 由 韦 达 定 理 知　
ａ一 一 （ ｚｌ ＋ ｚ２＋ ｚ３ ）一 一 ２ ｕ— ｚ ３ ；（ ５ ） 　

时 等号成立 ． 因此 ， 当ｔ ＞ ０时 ， 由　 （ 　 Ｏ ）和　

ｂ —Ｘ ｌ ｚ ２ ＋ｚ ２ ｚ ３ ＋ ｚ ３ ｚ ｌ — 　 。 一言 　 。 ＋２ ｕ ｘ ３ 　 （ １ １ ） 有ｌ ｔ （ ２ ｔ ＋３ ） （ ３ —２ ｔ ） ≤Ｉ ， 普 　
（ ６ ） 　

， （ １ ３ ） 　

且当ｆ ＝÷　

时等式成立． 根据（ ８ ） 和 　

ｆ 一一３ Ｃ ｌ ｚ ２ ｚ ｓ 一 一（ 　 。 一寺 　 。 ） Ｃ ３ ｓ ． 　 （ ７ ） 　
于是根据 （ ５ ）一 （ ７ ） ， 有　
２ 口。 ＋ ２ ７ ｃ一 ９ ａ ｂ一 ～ ２ （ ２ ｕ ＋ ｚ３ ） 。 一 ２ ７ （ ｕ 。 　
一

（ ３ ） 得ｚ ３ ＝． 砉 － （ ｚ ｌ ＋ｚ ２ ）＋ ｔ （ ｘ ２ 一ｚ １ ） ．（ １ ４ ） 　
于是 ， 根据 （ ９ ）和 （ １ ３ ） 　

丢 　 ） ｚ 。 ＋ ９ （ ２ “ ＋ ｚ ｓ ） （ 　 ２ 一 丢 　 。 ＋ ２ ｕ Ｃ ３ ３ ） 　
一

型≤ 号 　
１（ ｚ
ｌ

（ １ ５ ） 　

一

２ ｘ ； ＋６ ｕ Ｃ ３ ； 一６ ｕ 。 ｚ ３ ＋２ ｕ 。 ＋ ÷　 。 ｚ ３ 一　
ｚ 。 一

且 由（ １ ２ ）和 （ １ ４ ）知 ， 当厂 （ ｚ ）一． 　。 ＋ａ Ｃ ３ 。 　 ＋６ ｚ＋ Ｃ的 三个 实 根 ． ２ ７ ｌ ， 　２ ， ． ２ ７ ３ 满足 ． ２ ７ ２ ＞． ２ ７ ｌ 且　

号 　 。 “ 一 一 ２ （ ｚ 。 一 　 ） 。 ＋ 　 ９ 　 。 （ ｚ 。 一 　 ） 　
令　 ， 　 则（ ４ ） 等 价于 ｔ ＞０ ， 且 有　 （ ８ ） 　

　

＋ｚ ２ ） ＋寺 　 （ ｃ ３ ２ 一Ｘ １ ） 　（ １ ６ ） 　

时（ １ ５ ）中 等 号 成 立 ． 取 ｚ 　一 ０ ， ｚ 。一 ２ ， 则由 　
（ １ ６ ）得 ｚ 。 一 １＋　 ３， 根据 （ ５ ）一 （ ７ ）及 （ １ ） ， 　

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?４ ４? 　 重庆　

《 数 学教 学通 讯 ｝ ２ ０ ０ ２年 第 ｌ ２期 （ 上） （ 总第 １ ５ ７期 ） 　

有 关 多 面体 欧 拉公 式 的应 用　
（ 江 苏省 太仓 高级 中学　 ２ １ ５ ４ ０ ０ ） 　 张惠 良 　
过 去 我 们 研 究 的 几 何 问 题 主要 涉 及 到 长　

设 计 鼻 过 网 次 ， 凼 此 这 个 多 回１ 卒 买 际 上 只　

度、 距离 、 面积 、 体 积、 全 等等度 量问题 ， 而 多 面　
体欧拉公式 与度量无关 ． 欧 拉 公 式　 ＋ Ｆ — Ｅ 　
一

ｍＶ 条 棱 所 以又 有 Ｅ — ｍ Ｔ ＴＶ 　
，

（ ２ ） 　
， 　 —　 ２ Ｅ　

２反 映 了 简 单 多 面 体 的 元 素 （ 顶点 、 面 和棱 ） 　

由关 系 式 （ １ ） 、 （ ２ ） 得 Ｆ 一　

之 间的数量关 系 ， 它 在 研 究 简 单 多 面 体 是 很 有　
用 的工具． 　

代 人 欧 拉 公 式　 ＋ Ｆ — Ｅ 一 ２ ， 得 ＿ ２ Ｅ 　 ＋　
９　
一

大家都知道正 多面体只有五种 ： 正 四面 体 、 　
正六 面 体 、 正八 面 体、 正 十 二 面 体 和 正 二 十 面　 体． 为什么 呢？ 就没有 其他正 多面体吗？ 让 我 们　
由欧 拉 公 式 来 研 究 这 个 问 题 ． 　 由正 多 面 体 的 定 义 可 知 ， 正 多 面 体 的 每 一　 面 的边 数 相 同 ， 每 一 个 顶 点 连 有 相 同 数 目的棱 ． 　 因此 可 设 正 多 面 体 的 每 个 面 的 边 数 为　 ， 每 个　 顶 点 连 的棱 数 为　 ． 　 设 这 个 多 面 体 有 Ｆ个 面 ， 每 个 面 有　 条 边 ， 　

Ｅ一 ２ ， 两 边 同除 以 ２ Ｅ， 整 理 可得　

去＋ 　＝ 击＋ 丢 　 ’ 　

ｃ ３ 　

由 于　 、 　 中的每个 数都 至少 等 于 ３ ， 但 它　
们 又不能 同 时大于 ３ ． 这 是 因 为 如 果 它 们 都 大　

于 ３ ， 则 有 　一 去＋ 　 １ 一 丢 ≤ ｛ ＋ ｛ 一 丢 　
：＝

０ 　

由 于 击 ＞ ｏ ， 这 是 不 可 能 的 ． 所 以 ， 　 、 　 中 至 　
少有一个等于 ３ ． 设　一 ３ ， 则　 ＋　 １ 一　 １一 百 １ 　
＞ ０ 　

所 以 它 一 共 有　Ｆ条 边 ， 由于 每个 边 都 是 两个 面　 的 公 共边 ， 所 以 上 面 的计 算 每 条 边 被 计 算 过 两　

次， 因此 ， 这 个 多 面 体 实 际 上 只 有　 条 边 ． 于 是　
厶　
一 　

这 个 多 面体 的棱 数 Ｅ ＝　 ｌ ｇ １ 　 ＂
厶　

（ １ ） 　

即 　＞ 丢 一 　 １ 一 百 １ ， 由 此 得 　 ≤ ５ ， 又 因 　
为　 ≥ ３ ， 所 以 ３≤　 ≤ ５ 　 （ ４ ） 　

设 这 个 多 面 体 有　 个 顶 点 ， 每 一个 顶 点 处　 连 有　 条 棱 ， 所 以它 一 共 有 ｍＶ条 棱 ， 又 因 为 每　

设　 一 ３ ， 同样 可解 得 ３≤　 ≤ ５ 　
由（ ３ ） 、 （ ４ ） 、 （ ５ ）可 得 下 亮 ． 　

（ ５ ） 　

条棱连接着两个顶点 ， 所 以上 面 的计 算 ， 每 条 边　
ｎ一 ３＋　 了 ， ｂ＝ ２ （ １＋　 丁 ） ， ｆ一 ０ ， 　一 ２ ． 　

因 此由（ １ ５ ） 知， 　 上 　 ｝ 二 　 的 最大 值为 　

到 最 大 值 导￣ ／ ｒ 了 的 ｎ 、 ６ 、 ｃ 不 是 唯 一 的 ， 例 如 ： 取 　
１一一 ２ ， 　２— ０ ， 则 由 （ １ ６ ）得　 ３一 一 １＋　

号 　 ， 且 当 口 一 ３ ＋ 　 ， ６ — ２ （ １ ＋ 　 ） ， 　
一

了， 根据 （ ５ ）一 （ ７ ）及 （ １ ） ， ｎ一 一 ３＋　 丁 ， ｂ 　
一

ｆ一 ０时 达 到 最 大 值 ． 　

２ （ 一 １＋ 、 ／ ， 了） ， ｆ一 ０ ， 　一 ２ ． 　

注： 满足题 目条件 而使　

＿　 卜

达