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一道竞赛题的另解


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《 数学 教 学通 讯  ̄ 2 0 0 2年 第 1 2期 ( 上) ( 总第 1 5 7期 )  

重 庆  ?4 3?  

■ _,I  

道 竞 赛题 的  另解 
4 0 0 0 1 6 )   王 道 齐 

r />( 重 庆 市 田 家炳 中 学

刚结束 的 2 0 0 2年 全 国 高 中 数 学 联 合 竞 赛 
加试 试 题 第 二 题 如 下 :  

垒  兰  

0  

一一 2 t 3   旦 。   2   t  

实数 a 、 b . c和 正 数 使 得 厂( z) :z 。 +a x 。  
+如 +C 有 三个实根 z   , z 。 , z 。 , 且 满 足 
z2一 zl—  ;   ( 1 )  

 ̄ - t ( 2 f + 3 ) ( 3 — 2 f ) .f l  ’  
  '
● 

’  

( 9 )  

A  t ≥  3时

,  

. 


z 3 > ÷( z l +z 2 ) .  
厶 
. 

( 2 )  
的最大值 即 最   但 ‘  
. 

t ( 2 f +l 3 ) ( 3— 2 f ) ≤9 ;  

求 




_  }
—  





命 题 者 给 出的解 法 技 巧 性 高 , 难度大 , 尤 其 
是 达 到最 大 值 的条 件 更 是 不 知 从 何 而 来 . 本 文  用 韦达定 理和均 值不等式 , 给 出 了该 题 的一 个 

当 。 < t < 暑 . 时 , 由 均 值 禾 等 誊 知  
号  f  3 ) ( 3 — 2 f  
1 × 4 f× (  


1 ) ( 2 t + 3 )×  

思路清晰的 , 比较 自然 的 另解 , 供大家参考.  

(  
1 6  


+ 1 ) ( 3— 2 0 ≤ 

另解: 令  一 ÷( z l +z 2 )  
则( 2 )变 为 , 2 7 。 > 
且 由( 1 )和 ( 3 )得 
z  一 “ 一

( 3 )  
( 4 )  

f坐±  
厅3  
,  

二   垄±   ±     .
3  

±   !   二垄   、 s  

丢  。 ~+ 丢   ,  

且当 4 t =(  ̄ / , 了 一1 ) ( 2 t +3 ) 一(  ̄ / , 了 + 
1 ) ( 3— 2 t ) , 即 £=  ‘   _ l l ( 1 2 )  

从 而 由 韦 达 定 理 知 
a一 一 ( zl + z2+ z3 )一 一 2 u— z 3 ;( 5 )  

时 等号成立 . 因此 , 当t > 0时 , 由  (   O )和 

b —X l z 2 +z 2 z 3 + z 3 z l —   。 一言   。 +2 u x 3   ( 1 1 ) 有l t ( 2 t +3 ) ( 3 —2 t ) ≤I , 普  
( 6 )  

, ( 1 3 )  

且当f =÷ 

时等式成立. 根据( 8 ) 和  

f 一一3 C l z 2 z s 一 一(   。 一寺   。 ) C 3 s .   ( 7 )  
于是根据 ( 5 )一 ( 7 ) , 有 
2 口。 + 2 7 c一 9 a b一 ~ 2 ( 2 u + z3 ) 。 一 2 7 ( u 。  


( 3 ) 得z 3 =. 砉 - ( z l +z 2 )+ t ( x 2 一z 1 ) .( 1 4 )  
于是 , 根据 ( 9 )和 ( 1 3 )  

丢   ) z 。 + 9 ( 2 “ + z s ) (   2 一 丢   。 + 2 u C 3 3 )  


型≤ 号  
1( z


( 1 5 )  



2 x ; +6 u C 3 ; 一6 u 。 z 3 +2 u 。 + ÷  。 z 3 一 
z 。 一

且 由( 1 2 )和 ( 1 4 )知 , 当厂 ( z )一.  。 +a C 3 。   +6 z+ C的 三个 实 根 . 2 7 l ,  2 , . 2 7 3 满足 . 2 7 2 >. 2 7 l 且 

号   。 “ 一 一 2 ( z 。 一   ) 。 +   9   。 ( z 。 一   )  
令  ,   则( 4 ) 等 价于 t >0 , 且 有  ( 8 )  

 

+z 2 ) +寺   ( c 3 2 一X 1 )  ( 1 6 )  

时( 1 5 )中 等 号 成 立 . 取 z  一 0 , z 。一 2 , 则由  
( 1 6 )得 z 。 一 1+  3, 根据 ( 5 )一 ( 7 )及 ( 1 ) ,  

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?4 4?   重庆 

《 数 学教 学通 讯 } 2 0 0 2年 第 l 2期 ( 上) ( 总第 1 5 7期 )  

有 关 多 面体 欧 拉公 式 的应 用 
( 江 苏省 太仓 高级 中学  2 1 5 4 0 0 )   张惠 良  
过 去 我 们 研 究 的 几 何 问 题 主要 涉 及 到 长 

设 计 鼻 过 网 次 , 凼 此 这 个 多 回1 卒 买 际 上 只 

度、 距离 、 面积 、 体 积、 全 等等度 量问题 , 而 多 面 
体欧拉公式 与度量无关 . 欧 拉 公 式  + F — E  


mV 条 棱 所 以又 有 E — m T TV  


( 2 )  
,   —  2 E 

2反 映 了 简 单 多 面 体 的 元 素 ( 顶点 、 面 和棱 )  

由关 系 式 ( 1 ) 、 ( 2 ) 得 F 一 

之 间的数量关 系 , 它 在 研 究 简 单 多 面 体 是 很 有 
用 的工具.  

代 人 欧 拉 公 式  + F — E 一 2 , 得 _ 2 E   + 
9 


大家都知道正 多面体只有五种 : 正 四面 体 、  
正六 面 体 、 正八 面 体、 正 十 二 面 体 和 正 二 十 面  体. 为什么 呢? 就没有 其他正 多面体吗? 让 我 们 
由欧 拉 公 式 来 研 究 这 个 问 题 .   由正 多 面 体 的 定 义 可 知 , 正 多 面 体 的 每 一  面 的边 数 相 同 , 每 一 个 顶 点 连 有 相 同 数 目的棱 .   因此 可 设 正 多 面 体 的 每 个 面 的 边 数 为  , 每 个  顶 点 连 的棱 数 为  .   设 这 个 多 面 体 有 F个 面 , 每 个 面 有  条 边 ,  

E一 2 , 两 边 同除 以 2 E, 整 理 可得 

去+  = 击+ 丢   ’  

c 3  

由 于  、   中的每个 数都 至少 等 于 3 , 但 它 
们 又不能 同 时大于 3 . 这 是 因 为 如 果 它 们 都 大 

于 3 , 则 有  一 去+   1 一 丢 ≤ { + { 一 丢  
:=

0  

由 于 击 > o , 这 是 不 可 能 的 . 所 以 ,   、   中 至  
少有一个等于 3 . 设 一 3 , 则  +  1 一  1一 百 1  
> 0  

所 以 它 一 共 有 F条 边 , 由于 每个 边 都 是 两个 面  的 公 共边 , 所 以 上 面 的计 算 每 条 边 被 计 算 过 两 

次, 因此 , 这 个 多 面 体 实 际 上 只 有  条 边 . 于 是 
厶 
一  

这 个 多 面体 的棱 数 E =  l g 1   "
厶 

( 1 )  

即  > 丢 一   1 一 百 1 , 由 此 得   ≤ 5 , 又 因  
为  ≥ 3 , 所 以 3≤  ≤ 5   ( 4 )  

设 这 个 多 面 体 有  个 顶 点 , 每 一个 顶 点 处  连 有  条 棱 , 所 以它 一 共 有 mV条 棱 , 又 因 为 每 

设  一 3 , 同样 可解 得 3≤  ≤ 5  
由( 3 ) 、 ( 4 ) 、 ( 5 )可 得 下 亮 .  

( 5 )  

条棱连接着两个顶点 , 所 以上 面 的计 算 , 每 条 边 
n一 3+  了 , b= 2 ( 1+  丁 ) , f一 0 ,  一 2 .  

因 此由( 1 5 ) 知,   上   } 二   的 最大 值为  

到 最 大 值 导 ̄ / r 了 的 n 、 6 、 c 不 是 唯 一 的 , 例 如 : 取  
1一一 2 ,  2— 0 , 则 由 ( 1 6 )得  3一 一 1+ 

号   , 且 当 口 一 3 +   , 6 — 2 ( 1 +   ) ,  


了, 根据 ( 5 )一 ( 7 )及 ( 1 ) , n一 一 3+  丁 , b  


f一 0时 达 到 最 大 值 .  

2 ( 一 1+ 、 / , 了) , f一 0 ,  一 2 .  

注: 满足题 目条件 而使 

_  卜

达 


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