维普资讯 http://www.cqvip.com
《 数学 教 学通 讯  ̄ 2 0 0 2年 第 1 2期 ( 上) ( 总第 1 5 7期 )
重 庆 ?4 3?
■ _,I
道 竞 赛题 的 另解
4 0 0 0 1 6 ) 王 道 齐
( 重 庆 市 田 家炳 中 学
刚结束 的 2 0 0 2年 全 国 高 中 数 学 联 合 竞 赛
加试 试 题 第 二 题 如 下 :
垒 兰
0
一一 2 t 3 旦 。 2 t
实数 a 、 b . c和 正 数 使 得 厂( z) :z 。 +a x 。
+如 +C 有 三个实根 z , z 。 , z 。 , 且 满 足
z2一 zl— ; ( 1 )
 ̄ - t ( 2 f + 3 ) ( 3 — 2 f ) .f l ’
'
●
’
( 9 )
A t ≥ 3时
,
.
.
z 3 > ÷( z l +z 2 ) .
厶
.
( 2 )
的最大值 即 最 但 ‘
.
t ( 2 f +l 3 ) ( 3— 2 f ) ≤9 ;
求
—
—
_ }
—
—
一
命 题 者 给 出的解 法 技 巧 性 高 , 难度大 , 尤 其
是 达 到最 大 值 的条 件 更 是 不 知 从 何 而 来 . 本 文 用 韦达定 理和均 值不等式 , 给 出 了该 题 的一 个
当 。 < t < 暑 . 时 , 由 均 值 禾 等 誊 知
号 f 3 ) ( 3 — 2 f
1 × 4 f× (
一
1 ) ( 2 t + 3 )×
思路清晰的 , 比较 自然 的 另解 , 供大家参考.
(
1 6
3
+ 1 ) ( 3— 2 0 ≤
另解: 令 一 ÷( z l +z 2 )
则( 2 )变 为 , 2 7 。 >
且 由( 1 )和 ( 3 )得
z 一 “ 一
( 3 )
( 4 )
f坐±
厅3
,
二 垄± ± .
3
± ! 二垄 、 s
丢 。 ~+ 丢 ,
且当 4 t =(  ̄ / , 了 一1 ) ( 2 t +3 ) 一(  ̄ / , 了 +
1 ) ( 3— 2 t ) , 即 £= ‘ _ l l ( 1 2 )
从 而 由 韦 达 定 理 知
a一 一 ( zl + z2+ z3 )一 一 2 u— z 3 ;( 5 )
时 等号成立 . 因此 , 当t > 0时 , 由 ( O )和
b —X l z 2 +z 2 z 3 + z 3 z l — 。 一言 。 +2 u x 3 ( 1 1 ) 有l t ( 2 t +3 ) ( 3 —2 t ) ≤I , 普
( 6 )
, ( 1 3 )
且当f =÷
时等式成立. 根据( 8 ) 和
f 一一3 C l z 2 z s 一 一( 。 一寺 。 ) C 3 s . ( 7 )
于是根据 ( 5 )一 ( 7 ) , 有
2 口。 + 2 7 c一 9 a b一 ~ 2 ( 2 u + z3 ) 。 一 2 7 ( u 。
一
( 3 ) 得z 3 =. 砉 - ( z l +z 2 )+ t ( x 2 一z 1 ) .( 1 4 )
于是 , 根据 ( 9 )和 ( 1 3 )
丢 ) z 。 + 9 ( 2 “ + z s ) ( 2 一 丢 。 + 2 u C 3 3 )
一
型≤ 号
1( z
l
( 1 5 )
一
2 x ; +6 u C 3 ; 一6 u 。 z 3 +2 u 。 + ÷ 。 z 3 一
z 。 一
且 由( 1 2 )和 ( 1 4 )知 , 当厂 ( z )一. 。 +a C 3 。 +6 z+ C的 三个 实 根 . 2 7 l , 2 , . 2 7 3 满足 . 2 7 2 >. 2 7 l 且
号 。 “ 一 一 2 ( z 。 一 ) 。 + 9 。 ( z 。 一 )
令 , 则( 4 ) 等 价于 t >0 , 且 有 ( 8 )
+z 2 ) +寺 ( c 3 2 一X 1 ) ( 1 6 )
时( 1 5 )中 等 号 成 立 . 取 z 一 0 , z 。一 2 , 则由
( 1 6 )得 z 。 一 1+ 3, 根据 ( 5 )一 ( 7 )及 ( 1 ) ,
维普资讯 http://www.cqvip.com
?4 4? 重庆
《 数 学教 学通 讯 } 2 0 0 2年 第 l 2期 ( 上) ( 总第 1 5 7期 )
有 关 多 面体 欧 拉公 式 的应 用
( 江 苏省 太仓 高级 中学 2 1 5 4 0 0 ) 张惠 良
过 去 我 们 研 究 的 几 何 问 题 主要 涉 及 到 长
设 计 鼻 过 网 次 , 凼 此 这 个 多 回1 卒 买 际 上 只
度、 距离 、 面积 、 体 积、 全 等等度 量问题 , 而 多 面
体欧拉公式 与度量无关 . 欧 拉 公 式 + F — E
一
mV 条 棱 所 以又 有 E — m T TV
,
( 2 )
, — 2 E
2反 映 了 简 单 多 面 体 的 元 素 ( 顶点 、 面 和棱 )
由关 系 式 ( 1 ) 、 ( 2 ) 得 F 一
之 间的数量关 系 , 它 在 研 究 简 单 多 面 体 是 很 有
用 的工具.
代 人 欧 拉 公 式 + F — E 一 2 , 得 _ 2 E +
9
一
大家都知道正 多面体只有五种 : 正 四面 体 、
正六 面 体 、 正八 面 体、 正 十 二 面 体 和 正 二 十 面 体. 为什么 呢? 就没有 其他正 多面体吗? 让 我 们
由欧 拉 公 式 来 研 究 这 个 问 题 . 由正 多 面 体 的 定 义 可 知 , 正 多 面 体 的 每 一 面 的边 数 相 同 , 每 一 个 顶 点 连 有 相 同 数 目的棱 . 因此 可 设 正 多 面 体 的 每 个 面 的 边 数 为 , 每 个 顶 点 连 的棱 数 为 . 设 这 个 多 面 体 有 F个 面 , 每 个 面 有 条 边 ,
E一 2 , 两 边 同除 以 2 E, 整 理 可得
去+ = 击+ 丢 ’
c 3
由 于 、 中的每个 数都 至少 等 于 3 , 但 它
们 又不能 同 时大于 3 . 这 是 因 为 如 果 它 们 都 大
于 3 , 则 有 一 去+ 1 一 丢 ≤ { + { 一 丢
:=
0
由 于 击 > o , 这 是 不 可 能 的 . 所 以 , 、 中 至
少有一个等于 3 . 设 一 3 , 则 + 1 一 1一 百 1
> 0
所 以 它 一 共 有 F条 边 , 由于 每个 边 都 是 两个 面 的 公 共边 , 所 以 上 面 的计 算 每 条 边 被 计 算 过 两
次, 因此 , 这 个 多 面 体 实 际 上 只 有 条 边 . 于 是
厶
一
这 个 多 面体 的棱 数 E = l g 1 "
厶
( 1 )
即 > 丢 一 1 一 百 1 , 由 此 得 ≤ 5 , 又 因
为 ≥ 3 , 所 以 3≤ ≤ 5 ( 4 )
设 这 个 多 面 体 有 个 顶 点 , 每 一个 顶 点 处 连 有 条 棱 , 所 以它 一 共 有 mV条 棱 , 又 因 为 每
设 一 3 , 同样 可解 得 3≤ ≤ 5
由( 3 ) 、 ( 4 ) 、 ( 5 )可 得 下 亮 .
( 5 )
条棱连接着两个顶点 , 所 以上 面 的计 算 , 每 条 边
n一 3+ 了 , b= 2 ( 1+ 丁 ) , f一 0 , 一 2 .
因 此由( 1 5 ) 知, 上 } 二 的 最大 值为
到 最 大 值 导 ̄ / r 了 的 n 、 6 、 c 不 是 唯 一 的 , 例 如 : 取
1一一 2 , 2— 0 , 则 由 ( 1 6 )得 3一 一 1+
号 , 且 当 口 一 3 + , 6 — 2 ( 1 + ) ,
一
了, 根据 ( 5 )一 ( 7 )及 ( 1 ) , n一 一 3+ 丁 , b
一
f一 0时 达 到 最 大 值 .
2 ( 一 1+ 、 / , 了) , f一 0 , 一 2 .
注: 满足题 目条件 而使
_ 卜
达
文档资料共享网 nexoncn.com
copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com