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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训7-3简单的线性规划问题试题


1.(文)在平面直角坐标系中,若点(3t-2,t)在直线 x-2y+4=0 的下方,则 t 的取值 范围是( ) B.(2,+∞) D.(0,2)

A.(-∞,2) C.(-2,+∞) [答案] C

[解析] ∵点 O(0,0)使 x-2y+4>0 成立,且点 O 在直线下方,故点(3t-2,t)在直线

x-2y+4=0 的下方?3t-2-2t+4>0,∴t>-2.
[点评] 可用 B 值判断法来求解,令 d=B(Ax0+By0+C),则 d>0?点 P(x0,y0)在直线

Ax+By+C=0 的上方;d<0?点 P 在直线下方.
(理)若 2 +4 <4,则点(x,y)必在( A.直线 x+y-2=0 的左下方 B.直线 x+y-2=0 的右上方 C.直线 x+2y-2=0 的右上方 D.直线 x+2y-2=0 的左下方 [答案] D [解析] ∵2 +4 ≥2 2 2 2
x+2y x y x+2y x y

)

,由条件 2 +4 <4 知,

x

y

<4,∴x+2y<2,即 x+2y-2<0,故选 D.

2.在直角坐标系 xOy 中,已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为 x=0,y=0,2x+3y =30,则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( A.95 [答案] B [解析] 由 2x+3y=30 知,y=0 时,0≤x≤15,有 16 个; B.91 C.88 D. 75 )

y=1 时,0≤x≤13;y=2 时,0≤x≤12;

y=3 时,0≤x≤10;y=4 时,0≤x≤9; y=5 时,0≤x≤7;y=6 时,0≤x≤6; y=7 时,0≤x≤4;y=8 时,0≤x≤3; y=9 时,0≤x≤1,y=10 时,x=0.
∴共有 16+14+13+11+10+8+7+5+4+2+1=91 个.

?x≥1, ? 3.(2011·天津文,2)设变量 x,y 满足约束条件?x+y-4≤0, ?x-3y+4≤0, ?
3x-y 的最大值为( A.-4 C. 4 3 ) B.0 D.4

则目标函数 z=

[答案] D [解析]

5 该线性约束条件所代表的平面区域如图,易解得 A(1,3),B(1, ),C(2,2),由 z=3x 3 -y 得 y=3x-z,由图可知当 x=2,y=2 时,z 取得最大值,即 z 最大=3×2-2=4.故选 D.

?x+y≤2, ? 4. (文)(2011·安徽示范高中皖北协作区联考)已知 x, 满足不等式组?y-x≥0, y ?x≥0. ?
目标函数 z=ax+y 只在点(1,1)处取最小值,则有( A.a>1 C.a<1 [答案] D [解析] 作出可行域如图阴影部分所示. )

B.a>-1 D.a<-1

由 z=ax+y,得 y=-ax+z. 只在点(1,1)处 z 取得最小值,则斜率-a>1, 故 a<-1,故选 D.

?x-3y+4≥0, ? (理)(2011·宝鸡质检)已知约束条件?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0, ?
恰好在点(2,2)处取得最大值,则 a 的取值范围为( 1 A.0<a< 3 1 C.a> 3 [答案] C [解析] 作出可行域如图, )

若目标函数 z=x+ay(a≥0)

1 B.a≥ 3 1 D.0<a< 2

1 1 ∵目标函数 z=x+ay 恰好在点 A(2,2)处取得最大值,故- >-3,∴a> . a 3

?0≤x≤2, ? 5.(文)设不等式组?0≤y≤3, ?x+2y-2≥0, ?
的两个动点,则|AB|的最大值为( A.2 5 C.3 [答案] B )

所表示的平面区域为 S,若 A、B 为区域 S 内

B. 13 D. 5

[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域, 结合图形观察不难得 知,

位于该平面区域内的两个动点中, 其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0), 因此|AB| 的最大值是 13,选 B.

?x+y-3≤0, ? (理)(2012·内蒙古包头模拟)若变量 x,y 满足约束条件?x-y+1≥0, ?y≥1, ?
-y 的最大值为( A.-1 [答案] C ) B.0 C.3 D.4

则 z=2x

[解析] 作出可行域如图,作直线 l0:2x-y=0,平移 l0 当平移到经过点 A(2,1)时,

zmax=3.

6.(2011·兰州模拟)设 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(2,1),若点 N(x,y)满足不等式

?x-4y+3≤0, ? 组?2x+y-12≤0, ?x≥1, ?
A.1 C.3 [答案] D

→ → 则使OM·ON取得最大值的点 N 的个数是( )

B.2 D.无数个

→ → [分析] 点 N(x,y)在不等式表示的平面区域之内,U=OM·ON为 x,y 的一次表达式, 则问题即是当点 N 在平面区域内变化时,求 U 取到最大值时,点 N 的个数. → → [解析] 如图所示,可行域为图中阴影部分,而OM·ON=2x+y,所以目标函数为 z= 2x+y,作出直线 l:2x+y=0,显然它与直线 2x+y-12=0 平行,平移直线 l 到直线 2x +y-12=0 的位置时目标函数取得最大值, 2x+y-12=0 上每一点都能使目标函数取得 故 最大值,故选 D.

?y≤x, ? 7.(文)(2012·内蒙包头模拟)已知不等式组?y≥-x, ?x≤a, ?

表示的平面区域 S 的面积

为 4,点 P(x,y)∈S,则 z=2x+y 的最大值为________. [答案] 6

?1×? 2a? ×a=4, ? [解析] 由题意知?2 ?a>0, ?
易得 z=2x+y 的最大值为 6.

∴a=2,

?x≤my+n, (理)若由不等式组?x- 3y≥0, ?y≥0,

(n>0)确定的平面区域的边界为三角形,且它的

外接圆的圆心在 x 轴上,则实数 m=________.

[答案] -

3 3

[解析] 根据题意,三角形的外接圆圆心在 x 轴上, ∴OA 为外接圆的直径, ∴直线 x=my+n 与 x- 3y=0 垂直, 1 1 3 ∴ × =-1,即 m=- . m 3 3

?x-y≥-1, ? 8.(2011·浏阳模拟)设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1, ?3x-y≤3, ?
+y 的最大值为________. [答案] 11 [解析]

则目标函数 z=4x

如图,满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分),故 z=4x+y 在 P(2,3)处取得 最大值,最大值为 11. 9.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价 格 c 如下表:

a A B
50% 70%

b(万吨)
1 0.5

c(百万元)
3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿 石的最少费用为________(百万元). [答案] [解析] 15 设需购买 A 矿石 x 万吨, B 矿石 y 万吨,则根据题意得到约束条件为:

?x≥0, ?y≥0, ?0.5x+0.7y≥1.9, ?x+0.5y≤2, ?
目标函数为 z=3x+6y,当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值,最小值为:

zmin=3×1+6×2=15.
10.某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资每份由金融投资 20 万元,房地产 投资 30 万元组成;进取型组合投资每份由金融投资 40 万元,房地产投资 30 万元组成.已 知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元, 每份进取型组合投资每年可获利 15 万元. 若可 作投资用的资金中,金融投资不超过 160 万元,房地产投资不超过 180 万元,那么这两种组

合投资各应注入多少份,才能使一年获利总额最多? [解析] 设稳健型投资 x 份,进取型投资 y 份,利润总额为 z(单位:10 万元,则目标

?20x+40y≤160, ? 函数为 z=x+1.5y(单位: 万元), 10 线性约束条件为: 30x+30y≤180, ? ?x≥0,y≥0? x∈N,y∈N? , ? ?x+2y≤8, ? 即?x+y≤6, ?x≥0,y≥0? x∈N,y∈N? , ?

作出可行域如图,解方程组
?x+2y=8, ? ? ?x+y=6, ?

得交点 M(4,2),作直线 l0:x+1.5y=0,平移 l0,当平移后的直线过

点 M 时,z 取最大值:zmax=(4+3)×10 万元=70 万元. 答:稳健型投资 4 份,进取型投资 2 份,才能使一年获利总额最多. 能力拓展提升 11.( 文 )(2012· 福 建 文 , 10) 若 直 线 y = 2x 上 存 在 点 (x , y) 满 足 约 束 条 件

?x+y-3≤0, ? ?x-2y-3≤0, ?x≥m, ?
A.-1 C. 3 2

则实数 m 的最大值为(

)

B.1 D.2

[答案] B [解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力. 由约束条件作出其可行域,如图

由图可知当直线 x=m 过点 P 时,m 取得最大值, 由?
?y=2x, ? ? ?x+y-3=0,

得,?

?x=1, ? ? ?y=2,

∴P(1,2),此时 x=m=1.

[点评] 对于可行域中含有参数的情形,不妨先取特殊值来帮助分析思路.

?4x-y-10≤0, ? (理)(2011·重庆一诊)设实数 x,y 满足条件?x-2y+8≥0, ?x≥0,y≥0, ?
2 3 +by(a>0,b>0)的最大值为 12,则 + 的最小值为(

若目标函数 z=ax

a b

) 8 3

A. C.

25 6 11 3

B.

D.4

[答案] A [解析] 由可行域可得,当 x=4,y=6 时,目标函数 z=ax+by 取得最大值,∴4a+ 6b=12,即 + =1, 3 2

a b

2 3 2 3 a b 13 b a 13 25 ∴ + =( + )·( + )= + + ≥ +2= ,故选 A. a b a b 3 2 6 a b 6 6 12. (文)(2012·石家庄二检)已知动点 P(x, )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动, y 如图,正六边形边长为 2,若使目标函数 z=kx+y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个, 则 k 值为 ( )

A. 3 C. 2 [答案] A

B.

3 2

D.4

[解析] 由题可知,当 x=0 时,z=kx+y=y,因此要使目标函数 z=kx+y(k>0)取得 最大值,则相应直线经过题中的平面区域内的点时,相应直线在 y 轴上的截距最大.由目标 函数 z=kx+y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个,结合图形分析可知,直线 kx+y=0 的倾斜角为 120°,于是有-k=tan120°=- 3,k= 3,选 A.

?x$L太Vx趎LE$L太Vx趎模9)设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, ?0≤y≤15, ?
( )

则 2x+3y 的最大值为

A.20 C.45 [答案] D [解析] 本题考查线性规划的知识. 作出可行域如图所示:

B.35 D.55

2 1 令 z=2x+3y,则 y=- x+ z. 3 3 要使 z 取得最大值, 2 1 2 需直线 y=- x+ z 在 y 轴上的截距最大,移动 l0:y=- x 3 3 3 当 l0 过点 C(5,15)时,z 取最大值 zmax=55. 解线性规划问题,准确作出可行域是关键,同时还要注意目标函数 z=2x+3y 与 z=2x -3y 最优解是不同的. 13.(文)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3t,B 原料 2t; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1t,B 原料 3t,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产 品可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13t,B 原料不超过 18t. 那么该企业可获得最大利润是( A.12 万元 C.25 万元 [答案] D [解析] 设生产甲、乙两种产品分别为 xt,yt, ) B.20 万元 D.27 万元

?3x+y≤13, ?2x+3y≤18, 由题意得? x≥0, ?y≥0, ?

获利润 ω =5x+3y,画出可行域如图,

?3x+y=13, ? 由? ? ?2x+3y=18,

解得 A(3,4).

5 2 ∵-3<- <- , 3 3 ∴当直线 5x+3y=ω 经过 A 点时,ω max=27. (理)(2011·四川文,10)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6t 的乙型卡车,某天需送往 A 地至少 72t 的货物,派用的每辆 车需载满且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派 用的每辆乙型卡车需配 1 名工人; 运送一次可得利润 350 元, 该公司合理计划当天派用甲乙 卡车的车辆数,可得最大利润 z=( A.4650 元 C.4900 元 [答案] C ) B.4700 元 D.5000 元

[解析]

?2x+y≤19, ? 设该公司派甲型卡车 x 辆, 乙型卡车 y 辆, 由题意得?x+y≤12, ?0≤x≤8,x∈N ?0≤y≤7,y∈N
10x+6y≥72,

利润 z=450x+350y,可行域如图所示.

? ?2x+y=19, 解? ? ?x+y=12,

得 A(7,5).

当直线 350y+450x=z 过 A (7,5)时 z 取最大值, ∴zmax=450×7+350×5=4900(元).故选 C.

?x-y+2≤0, ? 14.(2012·乌鲁木齐二诊)设不等式组?x≥0, ?y≤4. ?
数函数 y=a 的图象上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是( A.(0,1) C.[2,4] [答案] D B.(1,2)
x

表示的平面区域为 D,若指

)

D.[2,+∞)

[解析] 作出可行区域,如图,由题可知点(2,a )应在点(2,4)的上方或与其重合,故

2

a2≥4,
∴a≥2 或 a≤-2,又 a>0 且 a≠1,∴a≥2.

15.(文)某单位投资生产 A 产品时,每生产 1 百吨需要资金 2 百万元,需场地 2 百平方 米,可获利润 3 百万元;投资生产 B 产品时,每生产 1 百米需要资金 3 百万元,需场地 1 百平方米,可获利润 2 百万元.现该单位有可使用资金 14 百万元,场地 9 百平方米,如果 利用这些资金和场地用来生产 A、B 两种产品,那么分别生产 A、B 两种产品各多少时,可获 得最大利润?最大利润是多少? [解析] 设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百米,共获得利润 S 百万元,则

?2x+3y≤14, ?2x+y≤9, ?x≥0, ?y≥0, ?

目标函数为 S=3x+2y.

作出可行域如图,
? ?2x+y=9, 由? ?2x+3y=14, ?

?13 5? 平移直线 y 解得直线 2x+y=9 和 2x+3y=14 的交点为 A? , ?, ? 4 2?

3 S 3 S S ?13 5? =- x+ ,当它经过点 A? , ?时,直线 y=- x+ 在 y 轴上截距 最大,S 也最大.此 4 2? 2 2 2 2 2 ? 13 5 时,S=3× +2× =14.75. 4 2 因此, 生产 A 产品 3.25 百吨, 生产 B 产品 2.5 百米, 可获得最大利润, 最大利润为 1475 万元. (理)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都有一部分是一等品,其余是二等品,已知 甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多 0.25,甲产品为二等品的概率比乙产品 为一等品的概率少 0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率 P 甲,P 乙; (2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示, 且该厂有工人 32 名, 可用资

金 55 万元.设 x,y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(1)的条件下,求 x,y 为何值时,

z=xP 甲+yP 乙最大,最大值是多少?

?P甲-P乙=0.25 ? [解析] (1)依题意得? ? ?1-P甲=P乙-0.05



解得?

?P甲=0.65, ? ?P乙=0.4, ?

故甲产品为一等品的概率 P 甲=0.65,乙产品为一等品的概率 P 乙=0.4. (2)依题意得 x、y 应满足的约束条件为

?4x+8y≤32, ?20x+5y≤55, ?x≥0, ?y≥0, ?

且 z=0.65x+0.4y.

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域. 作直线 l:0.65x+0.4y=0 即 13x+8y=0,把直线 l 向上方平移到 l1 的位置时,直线 经过可行域内的点 M,且 l1 与原点的距离最大,此时 z 取最大值.

? ?x+2y=8, 解方程组? ? ?4x+y=11,

得 x=2,y=3.

故 M 的坐标为(2,3),所以 z 的最大值为 zmax=0.65×2+0.4×3=2.5. 16.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个,生产一个卫 兵需 5min,生产一个骑兵需 7min,生产一个伞兵需 4min,已知总生产时间不超过 10h.若生 产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 W(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少? [解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y,

所以利润 W=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.

?5x+7y+4? 100-x-y? ≤600, ? (2)约束条件为:?100-x-y≥0, ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z. ?

?x+3y≤200, ? 整理得?x+y≤100, ?x≥0,y≥0,x∈Z,y∈Z. ?
目标函数为 W=2x+3y+300, 如图所示,作出可行域. 初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,W 有最大值,由?
?x=50, ? ?y=50. ? ?x+3y=200, ? ? ?x+y=100,

得?

最优解为 A(50,50),所以 Wmax=550(元). 答:每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最大,为 550 元.

1.在坐标平面上,不等式组?

? ?y≥x-1, ? ?y≤-3|x|+1,

所表示的平面区域的面积为( 3 2

)

A. 2 C. 3 2 2

B.

D.2

[答案] B [解析] 不等式组?
?y≥x-1, ? ? ?y≤-3|x|+1,

的图形如图.

1 1 解得:A(0,1) D(0,-1) B(-1,-2) C( ,- ) 2 2

S△ABC= ×|AD|×|xC-xB|= ×2×( +1)
3 = ,故选 B. 2 2.已知 a,b∈R ,a+b=1,M=2 +2 ,则 M 的整数部分是( A.1 C.3 [答案] B [解析] ∵a,b∈R ,a+b=1,∴0<a<1,设 t=2 ,则 t∈(1,2),M=2 +2 =2 +2
-a + +

1 2

1 2

1 2

a

b

)

B.2 D.4

a

a

b

a

1

2 =t+ ≥2 2,等号在 t= 2时成立,又 t=1 或 2 时,M=3,∴2 2≤M<3,故选 B.

t

?x≥0, ?y≥0, 3. (2011·湖北高考)直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ?4x+3y≤20, ?
区域的公共点有( )

表示的平面

A.0 个 C.2 个 [答案] B

B.1 个 D.无数个

[解析] 直线 2x+y-10=0 与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示,故直线 与此区域的公共点只有 1 个,选 B.

?x+2y-19≥0, ? 4.(2011·黄山期末)设二元一次不等式组?x-y+8≥0, ?2x+y-14≤0, ?
M,使函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是(
A.[1,3] C.[2,9] [答案] C [解析] 作出不等式表示的平面区域如图,由 ? B.[2, 10] D.[ 10,9]

所表示的平面区域为

)

?x+2y-19=0, ? ? ?x-y+8=0,

得 A(1,9),由

? ?x+2y-19=0, ? ?2x+y-14=0, ?
x

得 B(3,8),当函数 y=a 过点 A 时,a=9,过点 B 时,a=2,∴要使 y

x

=a 的图象经过区域 M,应有 2≤a≤9.

?x≥0, ? 5.(2012·河南洛阳市模拟)设变量 x,y 满足约束条件?y≥3x, ?x+ay≤7, ?
目标函数 z=x+y 的最大值为 4,则 a 的值为________. [答案] 2 [解析]

其中 a>1,若

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.∵y=-x+z,∴欲使 z 最大,只 需使直线 y=-x+z 的纵截距最大,∵a>1,∴直线 x+ay=7 的斜率大于-1,故当直线 y 7 21 =-x+z 经过直线 y=3x 与直线 x+ay=7 的交点( , )时,目标函数 z 取得最大 1+3a 1+3a 28 28 值,最大值为 .由题意得 =4,解得 a=2. 1+3a 1+3a

?x-y-1≥0, ? 6. (2012·太原部分重点中学联考)设实数 x, 满足不等式组?2x-y-6≤0, y ?x+y-k-2≥0, ?
x2+y2 的最小值为 m,当 9≤m≤25 时,实数 k 的取值范围是(
A.( 17-2,5) C.( 17-2,5] [答案] B [解析] )



B.[ 17-2,5] D.(0,5]

不等式组表示的可行域如图中的阴影部分,x +y 的最小值 m 即为|OA| , 联立?
?x-y-1=0 ? ?x+y-k-2=0 ?

2

2

2

,得 A(

k+3 k+1
2 , 2

).

由题知 9≤(

k+3
2

) +(

2

k+1
2

) ≤25,解得 17-2≤k≤5.

2

?y≥0, ? 7.(2012·山西大同调研)设变量 x、y 满足约束条件?x-y+1≥0, ?x+y-3≤0, ?
的最大值为( A.-2 C.6 [答案] C [解析] ) B.4 D.8

则 z=2x+y

作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.作出直线 2x+y=0,平移该直线,当 平移到经过平面区域内的点(3,0)时, 相应的直线在 x 轴上的截距最大, 此时 z=2x+y 取得 最大值,最大值是 6,故选 C. 8.某人有楼房一幢,室内面积共计 180m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每 间面积 18m ,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费 40 元;小房间每间面积 15m ,可住游客 3 名, 每名游客每天住宿费为 50 元; 装修大房间每间需要 1000 元, 装修小房间每间需要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他隔出大房间和小房间各多少
2 2 2

间,能获得最大收益? [解析] 设隔出大房间 x 间,小房间 y 间时收益为 z 元,

?18x+15y≤180, ? 则 x,y 满足?1000x+600y≤8000, ?x≥0,y≥0,x,y∈Z, ?
约束条件可化简为:

且 z=200x+150y.

?6x+5y≤60, ? ?5x+3y≤40, ?x≥0,y≥0,x,y∈Z. ?

可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线 l:200x+150y=0,即直线 l:4x+3y =0 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过点 B,且与原点的距离最大,此时 z= 200x+150y 取得最大值.
?6x+5y=60, ? 解方程组? ? ?5x+3y=40,

20 60 得到 B( , ). 7 7

由于点 B 的坐标不是整数,而最优解(x,y)中的 x,y 必须都是整数,所以,可行域内 20 60 的点 B( , )不是最优解,通过检验,当经过的整点是(0,12)和(3,8)时,z 取最大值 1800 7 7 元. 于是,隔出小房间 12 间,或大房间 3 间、小房间 8 间,可以获得最大收益. [点评] 当所求解问题的结果是整数, 而最优解不是整数时, 可取最优解附近的整点检 验,找出符合题意的整数最优解.


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