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2015-2016学年高中数学 2.1.2第2课时 离散型随机变量的分布列课时作业 新人教A版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 2.1.2 第 2 课时 离散型随机变量的分布列 课时作业 新人教 A 版选修 2-3

一、选择题 1 1.已知随机变量 X 的分布列为:P(X=k)= k,k=1、2、?,则 P(2<X≤4)=( 2 3 A. 16 1 C. 16 [答案] A [解析] P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4) 1 1 3 = 3+ 4= . 2 2 16 2.某射手射击所得环数 X 的分布列为 1 B. 4 5 D. 16 )

X P

4 0.02

5 0.04

6 0.06

7 0.09

8 0.28 )

9 0.29

10 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( A.0.28 C.0.79 [答案] C B.0.88 D.0.51

[解析] P(ξ >7)=P(ξ =8)+P(ξ =9)+P(ξ =10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 3.已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ =i)= (i=1,2,3),则 P(ξ =2)=( 2a 1 A. 9 1 C. 3 [答案] C 1 2 3 6 [解析] 由离散型随机变量分布列的性质知 + + =1,∴ =1,即 a=3, 2 a 2a 2a 2a 1 1 ∴P(ξ =2)= = . a 3 4.袋中有 10 个球,其中 7 个是红球,3 个是白球,任意取出 3 个,这 3 个都是红球的 概率是( )
1

i

)

1 B. 6 1 D. 4

1 A. 120 7 C. 10 [答案] B C7·C3 7 [解析] P= 3 = . C10 24
3 0

7 B. 24 3 D. 7

5.一个袋中有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,还有 4 个同样大小的白球, 编号为 7,8,9,10.现从中任取 4 个球,有如下几种变量: ①X 表示取出的球的最大号码; ②Y 表示取出的球的最小号码; ③取出一个黑球记 2 分, 取出一个白球记 1 分,ξ 表示取出的 4 个球的总得分;④η 表示取出的黑球个数. 这四种变量中服从超几何分布的是( A.①② C.①②④ [答案] B [解析] 依据超几何分布的数学模型及计算公式,或用排除法. 6.用 1、2、3、4、5 组成无重复数字的五位数,这些数能被 2 整除的概率是( 1 A. 5 2 C. 5 [答案] C 2A4 2 [解析] P= 5 = . A5 5 二、填空题 7.从装有 3 个红球、3 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ξ 个红球,则随机变 量 ξ 的概率分布为: ξ 0 1 2
4

) B.③④ D.①②③④

)

1 B. 4 3 D. 5

P
[答案] 1 5 3 1 5 5

8.随机变量 ξ 的分布列为: ξ 0 1 9 1 2 15 2 7 45 3 8 45 4 1 5 5 2 9

P

则 ξ 为奇数的概率为________.
2

[答案]

8 15

9.从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加一项竞技测试,则在选出的 3 名同学中,至少有一名女同学的概率是______. [答案] 5 6
3

[解析] 从 10 名同学中选出 3 名同学有 C10种不同选法, 在 3 名同学中没有女同学的选 C6 5 3 法有 C6种,∴所求概率为 P=1- 3 = . C10 6 三、解答题 10.(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生 2013 年 9 月“健康上网”(健康上网是 指每天上网不超过两个小时)的天数情况, 随机抽取了 40 名本校学生作为样本, 统计他们在 该月 30 天内健康上网的天数, 并将所得的数据分成以下六组: [0,5], (5,10], (10,15], ?, (25,30],由此画出样本的频率分布直方图,如图所示.
3

(1)根据频率分布直方图,求这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数; (2)现从这 40 名学生中任取 2 名,设 Y 为取出的 2 名学生中健康上网天数超过 20 天的 人数,求 Y 的分布列. [ 解析 ] (1) 由图可知,健康上网天数未超过 20 天的频率为 (0.01 + 0.02 + 0.03 +

0.09)×5=0.15×5=0.75, 所以健康上网天数超过 20 天的学生人数是 40×(1-0.75)=40×0.25=10. (2)随机变量 Y 的所有可能取值为 0、1、2.

P(Y=0)= 2 = ;P(Y=1)=
C10 3 P(Y=2)= 2 = . C40 52 所以 Y 的分布列为:
2

C30 29 C40 52

2

C10C30 5 ; 2 = C40 13

1

1

Y P

0 29 52

1 5 13

2 3 52

3

一、选择题 11.随机变量 ξ 的概率分布列为 P(ξ =k)= 5? ?1 数,则 P? <ξ < ?则值为( 2? ?2 2 A. 3 4 C. 5 [答案] D [解析] + + + 1×2 2×3 3×4 4×5 ) 3 B. 4 5 D. 6

c ,k=1、2、3、4,其中 c 是常 k?k+1?

c

c

c

c

?? 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1?? =c??1- ?+? - ?+? - ?+? - ?? ?? 2? ?2 3? ?3 4? ?4 5??
4 5 = c=1.∴c= . 5 4 5? ?1 ∴P? <ξ < ?=P(ξ =1)+P(ξ =2) 2? ?2 1 ? 5 5? 1 + = ? ?=6. 1×2 2×3 4? ? 2 3 12.将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为 m 和 n,则函数 y= mx -nx+1 在[1, 3 +∞)上为增函数的概率是( 1 A. 2 3 C. 4 [答案] B 2 3 2 [解析] 由题可知, 函数 y= mx -nx+1 在[1, +∞)上单调递增, 所以 y′=2mx -n≥0 3 在[1,+∞)上恒成立,所以 2m≥n,则不满足条件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), 2 3 (2,5),(2,6)共 6 种情况,所以满足条件的共有 30 种情况,则函数 y= mx -nx+1 在[1, 3 30 5 +∞)上单调递增的概率为 P= = ,故选 B. 36 6 13.已知在 10 件产品中可能存在次品,从中抽取 2 件检查,其次品数为 ξ ,已知 P(ξ ) 5 B. 6 2 D. 3

4

16 =1)= ,且该产品的次品率不超过 40%,则这 10 件产品的次品率为( 45 A.10% C.30% [答案] B [解析] 设 10 件产品中有 x 件次品,则 P(ξ =1)= =2 或 8. ∵次品率不超过 40%,∴x=2, 2 ∴次品率为 =20%. 10 B.20% D.40%

)

Cx·C10-x x?10-x? 16 = = ,∴x 2 C10 45 45

1

1

14.(2014~2015·长春市高二期中)一批产品分为一、二、三级,其中一级品是二级品 的两倍,三级品为二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量 ξ , 1 5 则 P( ≤ξ ≤ )=( 3 3 1 A. 7 3 C. 7 [答案] D [解析] 设二级品数为 x,则一级品有 2x,三级品有 ,用 ξ =k 表示“从这批产品中 2 任取一个,检验级别为 k 级品”,则 ) 2 B. 7 4 D. 7

x

P(ξ =1)=

4 = , x 7 x+2x+ 2

2x

2 1 同理得 P(ξ =2)= ,P(ξ =3)= , 7 7 1 5 4 ∴P( ≤ξ ≤ )=P(ξ =1)= ,故选 D. 3 3 7 二、填空题 15.已知离散型随机变量 X 的分布列 P(X=k)= ,k=1、2、3、4、5,令 Y=2X-2, 15 则 P(Y>0)=________. [答案] 14 15 1 2 3 ,P(Y=2)= ,P(Y=4)= 15 15 15
5

k

[解析] 由已知 Y 取值为 0、2、4、6、8,且 P(Y=0)=

1 4 5 14 = ,P(Y=6)= ,P(Y=8)= .则 P(Y>0)=P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=6)+P(Y=8)= . 5 15 15 15 16. 一批产品分为四级, 其中一级产品是二级产品的两倍, 三级产品是二级产品的一半, 四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,其级别为随机变量 ξ , 则 P(ξ >1)=________. [答案] 1 2

1 [解析] 依题意, P(ξ =1)=2P(ξ =2), P(ξ =3)= P(ξ =2), P(ξ =3)=P(ξ =4), 2 由分布列性质得 1=P(ξ =1)+P(ξ =2)+P(ξ =3)+P(ξ =4), 1 1 4P(ξ =2)=1,∴P(ξ =2)= ,P(ξ =3)= . 4 8 1 ∴P(ξ >1)=P(ξ =2)+P(ξ =3)+P(ξ =4)= . 2 三、解答题 17.盒子中装着标有数字 1、2、3、4、5 的卡片各 2 张,从盒子中任取 3 张卡片,每张 卡片被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 张卡片上的最大数字,求: (1)取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ξ 的概率分布. C5C2C2C2 [解析] (1)记“一次取出的 3 张卡片上的数字互不相同的事件”为 A, 则 P(A)= 3 C10 2 = . 3 (2)由题意 ξ 可能的取值为 2、3、4、5, C2C2+C2C2 1 P(ξ =2)= = , 3 C10 30
2 1 1 2 3 1 1 1

P(ξ =3)= P(ξ =4)= P(ξ =5)=

C4C2+C4C2 2 = , 3 C10 15 C6C2+C6C2 3 = , 3 C10 10 C8C2+C8C2 8 = . 3 C10 15
2 1 1 2 2 1 1 2

2 1

1 2

所以随机变量 ξ 的分布列为: ξ 2 1 30 3 2 15 4 3 10 5 8 15

P

6

18.设 S 是不等式 x -x-6≤0 的解集,整数 m、n∈S. (1)记“使得 m+n=0 成立的有序数组(m,n)”为事件 A,试列举 A 包含的基本事件; (2)设 ξ =m ,求 ξ 的分布列. [解析] 本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识,考查运算求解能力、应用意 识,考查分类与整合思想、化归与转化思想. 解题思路是先解一元二次不等式, 再在此条件下求出所有的整数解. 解的组数即为基本 事件个数,按照古典概型求概率分布列. (1)由 x -x-6≤0 得-2≤x≤3, 即 S={x|-2≤x≤3}. 由于 m、n∈Z,m、n∈S 且 m+n=0,所以 A 包含的基本事件为: (-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)由于 m 的所有不同取值为-2、-1、0、1、2、3, 所以 ξ =m 的所有不同取值为 0、1、4、9. 1 2 1 2 1 1 且有 P(ξ =0)= ,P(ξ =1)= = ,P(ξ =4)= = ,P(ξ =9)= . 6 6 3 6 3 6 故 ξ 的分布列为: ξ 0 1 6 1 1 3 4 1 3 9 1 6
2 2 2

2

P

7


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