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高中数学选修2精品课件2.1.1曲线与方程


复习回顾
在必修二,我们研究了直线和圆的方程,讨论了 这些曲线和相应的方程的关系.

y ? kx ? b 1.经过y轴截距为b 和斜率为k的直线l的方程________.
2.圆心为(a,b) ,半径为r的圆C的方程为

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ______________.
2

2

2

热身练习
3、说出下列方程所表示的曲线: (1) x = a (2) y = b (1) 过点 ( a , 0 ) 垂直于 x 轴的直线

(2) 过点 ( 0 , b ) 垂直于 y 轴的直线

想想:曲线和方程之间有什么对应关系呢?
1 .第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 x-y=0. 第一、三象限角平分线 l ? 点的横坐标与纵坐标相等 条件 曲线
y

l
0

x-y=0 x

x=y(或x- y=0) 方程

(1) l 上点的坐标都是方程x-y=0的解 含有关系:

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上 ∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直线是 l .

知识探究
定义:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的 集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程f(x,y)=0叫做这条 f(x,y)=0 曲线C的方程;这条曲线C叫做这个 x 方程f(x,y)=0的曲线. 0 说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.

知识探究
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上?点P ( x0 , y0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x, y) ? 0 的解. 即如果曲线 C 的方程是 f ( x, y) ? 0 , 那么点 P ( x0 , y0 ) 在曲线 C 上的充要条件是方
程 f ( x0 , y0 ) =0.
即曲线 C 是点集 ?( x, y ) f ( x, y ) ? 0? .
3.集合的观点:曲线 C 是坐标满足方程 f ( x, y) ? 0 的点 P( x0 , y0 ) 的点的集合(又叫点的轨迹).

根据定义,判断下列曲线与方程的关系:
说明过A(2,0)平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系

①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论:过A(2,0)平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y

0

2

A

x

解题探究
例1:判断下列结论的正误并说明理由 1.过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3; 2.到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=2 ;
3.△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点, 则中线AD的方程x=0 错

对 错

4.到两坐标轴距离乘积等于常数k(k>0) 的点的轨迹方程 为xy=k.

为什么?

解题探究
k (k ? 0) 例 2:证明与两条坐标轴的距离的积是常数 的点的轨迹方程是 xy ? ?k .
证明:(1)设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点.因为点M 与x轴的距离为|x0|,所以|x0|· |y0|=k,即(x0,y0)是方 程xy=±k的解. (2)设点M1(x1,y1)是方程xy=±k的解,则x1y1=±k, 即|x1|· |y1|=k.而|x1|,|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距 离,因此点M1到这两条直线的距离的积是常数,点M1是曲 线上的点. 由(1) (2)知, xy=±k与两条坐标轴的距离的积是常数 的点的轨迹方程

归纳小结:

证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是f(x,y)=0的解,证明 点M (x0,y0)在曲线C上.

热身练习
练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方程是所列出的方 程吗?为什么? 1.曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折线(如图(1)) 其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 不是

2.曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+ y =0;

3.曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴的距离乘积为1的点 集其方程为y= 。 是
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1

y
x

y
x

-2 -1 0 1 2







热身练习
练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个? ① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y Y

1
O 1 X

1
O 1 X -1 O

Y 1 1 -1 X

Y

1
O -1 1 X

A

B

C

D

①表示 B

②表示 C

③表示 D

热身练习
练习3 :设圆M的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 , 直 线的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么 C
2 2

A.点P在直线上,但不在圆上 B.点P在圆上,但不在直线上;

C.点P既在圆上,也在直线上
D.点P既不在圆上,也不在直线上

解题探究
例3:证明以坐标原点为圆心,半径等于5的圆的方程是

x2 +y2 = 25.
证明:(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标 原点的距离等于5,所以 x0 2 ? y0 2 ? 5, 也就是x02 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解,那么

x0 +y0 = 25 两边开方取算术根,得 x0 ? y0 ? 5,
2 2

2

2

即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5,点M (x0,y0)是 这个圆上的一点. 由(1)、(2)可知,x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心,半径等于5的圆的方程.

变式训练:写出下列半圆的方程
y 5 5 y y 5 5 x -5 -5 x -5 5 5x y

-5

0

5 x -5

0

热身练习
1. “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”是 “方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的( )条件.

(A)充分
(C)充要

(B)必要
(D)既非充分也非必要

2.△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(2,-1),
C(5,7),则AB边上的中线的方程为___________.

3x ? 2 y ? 1(?1≤ x ≤5)

课堂练习3:已知方程 mx2 ? ny 2 ? 4 ? 0 的曲线 经过点 A(1,?2), B(?2,1) ,则m=_____, 4

4 n=________. 5

5

变式思维训练,深化理解
(1)举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系符合①而不符合② (2)举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系符合②而不符合①. (3) 举出一个方程与曲线,使 它们之间 的关系符合①又符合② 。

课时小结
一、证明已知曲线的方程的方法和步骤:
1.用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; 设点 2.写适合条件p的点M的集合P={M|P(M)}; 列式 3.用坐标表示条件P(M),列方程f(x,y)=0; 化简 4.化方程f(x,y)=0为最简形式; 5.说明化简以后的方程的解为坐标的点都在曲线上。 二、在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程,当 说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味 着具备上述两个条件,只有具备上述两个方面的要求, 才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问 题,以数助形正是解析几何的思想,本节课正是这一思 想的基础。


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