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2013年海淀区高三数学三模练习(查漏补缺题附详细答案)


2013 年高三数学查漏补缺题
理科
1.函数 y ? cos(4 x ? A. 2013 年 5 月

?
3

) 图象的两条相邻对称轴间的距离为
B.

π 8

π 4

C.

π 2

D.

π

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? e x B. y ? sin 2 x C. y ? ? x 3 D. y ? log 1 x
2

3.若向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 ,且 a ? b ? b ? b ? 6 ,则向量 a , b 的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.90°

4.已知函数 f ( x) ? x sin x ,则 f (

π π ) 3 11 π π C. f ( ) ? f (?1) ? f ( ? ) 11 3
A. f (? ) ? f (?1) ? f (

π π 的大小关系为 ) , f ( ?1) , ( ? ) f 11 3 π π B. f (?1) ? f ( ? ) ? f ( ) 3 11 π π D. f (? ) ? f ( ) ? f ( ?1) 3 11

5.某空间几何体三视图如右图所示,则该几何体的表面积为_____, 体积为_____________.
6

6.设 m 、n 是不同的直线,? 、 ? 、? 是不同的平面,有以下四个命题: ① 若 ? / / ? , ? / /? , 则 ? / / ? ③ 若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? 其中所有真命题的序号是_____ ②若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ④若 m / / n, n ? ? ,则 m / /?
俯视图 主视图

6 5
左视图

5

?x ? 2 y ? 0 ? 7.设不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域为 D,若直线 2x ? y ? b 上存在区域 D 上的点, ?y ? 0 ?
则 b 的取值范围是_____.

?0 ? x ? 2, ? 8.已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域为 W ,则 W 的面积是_____; ?3 x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
2 2 设点 P( x, y ) ?W ,当 x ? y 最小时,点 P 坐标为_____.

3 5 ) 的展开式中的常数项为 x2 e 1 10. 计算 ? (2 x ? )dx ? . 1 x
9. ( x ?

? x ? 1 ? t, 11.若直线 l 的参数方程为 ? 其中 t 为参数,则直线 l 的斜率为_______. ? y ? 1 ? 2t,
12.如图,已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PO 交圆 O 于 B, C 两点,
P
B

A

PA ? 3, PB ? 1 ,则 AB ? ____, ?ACB ? ____.

O

C

13.如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C ?D ? 的棱长为 1, E , F 分别是棱 AA? , CC ? 的中点,过 直线 E , F 的平面分别与棱 BB? 、 DD? 交于 M , N , 设 BM ? x , x ? [0,1] ,给出以下四个命题: ①平面 MENF ? 平面 BDD?B? ; ②四边形 MENF 周长 L ? f ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数; ③四边形 MENF 面积 S ? g ( x ) , x ? [0,1] 是单调函数;
E A' D' N B' F C'

④四棱锥 C ? ? MENF 的体积 V ? h( x ) 为常函数;
A

D

M

C

B

以上命题中正确命题的个数( A.1 B.2 C.3 D.4



14.直线 y ? ax ? b 与抛物线 y ? 最小值为 .

1 2 x ? 1相切于点 P . 若 P 的横坐标为整数,那么 a 2 ? b2 的 4

?2n ? 1, ? n 项和 Sn ? ? 15.已知数列 {an } 的前 2 ??n ? ( a ? 1)n, ?
数 a 的取值范围是_____.

n ? 4, n ? 5.

若 a 5 是 {an } 中的最大值,则实

解答题部分: 1. 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x (I)求 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ) ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别是 a , b, c , f ( ) ? 且 a 2 ? bc , 在 角 若 试判断 ?ABC 2 的形状.

A 2

2. 如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P 是单位圆上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y ? 3 x ( x ? 0)交于点 Q ,与 x 轴交于点

π π M .记 ?MOP ? ? ,且 ? ? (? , ) . 2 2 1 (Ⅰ)若 sin ? ? ,求 cos ?POQ ; 3
(Ⅱ)求 ?OPQ 面积的最大值.

M

3. 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? a sin( x ? ) ? 1 ,且 f ( ) ? 1 ? 2 (Ⅰ)求 a 的值. (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, π] 上的最大和最小值.

π 2

π 4

4. 数 列 ?an ? 的 各 项 都 是 正 数 , 前 n 项 和 为 S n , 且 对 任 意 n ? N ? , 都 有
3 3 3 a1 ? a 2? a ? ? ? an ?3 Sn . 3 2

2 (Ⅰ)求证: an ? 2Sn ? an ;

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

5. 已知正三角形 ACE 与平行四边形 ABCD 所在的平面互相垂直.

E B O F A

A ,C 又 ?ACD ? 90? , C ? 2 且D
(I) 求证: CF ? DE

2 , O , F 分别为 AC , AD 的中点. ? 点
C

(Ⅱ) 求二面角 O ? DE ? C 值.

D

6. 袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (Ⅰ )采取放回抽样方式,从中依次摸出两个球,求两球颜色不同的概率; (Ⅱ )采取不放回抽样方式,从中依次摸出两个球,记 ? 为摸出两球中白球的个数,求 ? 的期望和方差.

7. 已知函数 f ( x) ? ?6ln(ax ? 2) ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 2 x 在 x ? 2 处有极值. 2

(Ⅱ)若直线 y ? kx 与函数 f '( x ) 有交点,求实数 k 的取值范围.

8. 已知函数 f ( x) ? eax ? ( ? a ? 1) ,其中 a ? ?1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若存在 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

a x

9. 设函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx(a ? b ? c) ,其图象在点 A(1, f (1)), B(m, f (m)) 处的切线 的斜率分别为 0, ? a . (Ⅰ)求证: 0 ≤

1 3

b ?1; a

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 的递增区间为 [ s, t ] ,求 | s ? t | 的取值范围.

10. 已知椭圆 C :

x2 y2 1 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 A(1, ) . 2 a b 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M , N 为椭圆 C 上的两个动点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0 ) ,求 y0 的取值范围.

11. 如 图 , 已 知 M ( ?3m,0)(m ? 0) , N , P 两 点 分 别 在 y 轴 和 x 轴 上 运 动 , 并 且 满 足

???? ???? ? ??? 1 ??? ? ? MN ? NQ ? 0 , NP ? PQ . 2
(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若正方形 ABCD 的三个顶点 A,B , C 在点 Q 的轨迹上, 求正方形 ABCD 面积的最小值.
M

y N P O Q x

12. 动圆过点 F (0,2) 且在 x 轴上截得的线段长为 4 ,记动圆圆心轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知 P, Q 是曲线 C 上的两点,且 PQ ? 2 ,过 P, Q 两点分别作曲线 C 的切线,设两 条切线交于点 M ,求△ PQM 面积的最大值.

13.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的左右两个顶点分别为 A, B ,点 M 是直线 l : x ? 4 上任意一 4 3

点,直线 MA , MB 分别与椭圆交于不同于 A, B 两点的点 P ,点 Q . (Ⅰ)求椭圆的离心率和右焦点 F 的坐标; (Ⅱ) (i)证明 P, F , Q 三点共线; (Ⅱ)求 ?PQB 面积的最大值。

2013 年最后阶段高三数学复习参考资料答案
理科
题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 B 6 ①③ 11 -2 2 C 7 3 C 8 4 A 9

2013 年 5 月
5

33π , 30π
10

[0,8]
12

5,(
13 B

12 24 , ) 13 39

15 14 1

e2
15

1,30?

a?

53 5

解答题部分: 1. 解:﹙Ⅰ﹚ f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x

? 3sin 2 x ? cos2 x

? 2sin(2 x ? ) 6
所以 T ? ? , f ( x ) ? [?2,2] ﹙Ⅱ﹚由 f ( ) ? 2 ,有 f ( ) ? 2sin( A ?

?

A 2

A 2

?
6

)?2,

所以 sin( A ? ) ? 1.

?

6

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

.

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 及 a 2 ? bc ,所以 (b ? c)2 ? 0 . 所以 b ? c, 所以 B ? C ?

?
3

.

所以 ?ABC 为等边三角形.

2. 解:依题意 ?MOQ ?

π π ,所以 ?POQ ? ?MOQ ? ?MOP ? ? ? . 3 3 2 2 1 π π 因为 sin ? ? ,且 ? ? (? , ) ,所以 cos ? ? . 3 3 2 2 π π π 2 2? 3 所以 cos ?POQ ? cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? . 3 3 3 6

(Ⅱ)由三角函数定义,得 P(cos ? ,sin ? ) ,从而 Q(cos? , 3cos? )

所以 S?POQ ?

1 | cos? || 3cos? ? sin ? | 2 1 ? | 3cos2 ? ? sin ? cos? | 2 1 3 3 cos 2? 1 1 3 π ? | ? ? sin 2? |? | ? sin( ? 2? ) | 2 2 2 2 2 2 3

1 3 3 1 | ? 1 |? ? 2 2 4 2 π π π 因为 ? ? (? , ) ,所以当 ? ? ? 时,等号成立 12 2 2 3 1 ? 所以 ?OPQ 面积的最大值为 . 4 2 ?

3.解: (I) a ? ?2 (II)因为 f ( x) ? cos2 x ? a cos x ? 1 ? 2cos2 x ? 2cos x 设 t ? cos x , 因为 x ? [0, π], 所以 t ? [ ?1,1] 所以有 y ? 2t 2 ? 2t, t ? [ ?1,1] 由二次函数的性质知道, y ? 2t 2 ? 2t 的对称轴为 t ? ?

1 2

所以当 t ? ? ,即 t ? cos x ? ?

1 2

2π 1 1 ,x? 时,函数取得最小值 ? 3 2 2

当 t ? 1 ,即 t ? cos x ? 1 , x ? 0 时,函数取得最大小值 4

3 2 4. 证明: (I)当 n ? 1 时, a1 ? a1

因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 1
3 3 3 3 2 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn 3 3 3 3 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? Sn?1





3 ①-②得, an ? an (2a1 ? 2a2 ? ? ? 2an?1 ? an )

因为 an ? 0

2 所以 an ? 2a1 ? 2a2 ??? 2an-1 ? an ,

2 即 an ? 2Sn-an

因为 a1 ? 1 适合上式

2 所以 an ? 2Sn-an (n ? N ? ) 2 (Ⅱ)由(I)知 an ? 2Sn -an (n ? N ? ) ③ 2 当 n ? 2 时, an ?1 ? 2Sn ?1 ? an ?1



2 2 ③-④得 an - an -1 ? 2( Sn -Sn -1 )-an ? an -1 ? 2an -an ? an -1 ? an ? an -1

因为

an ? an -1 ? 0 ,所以 an -an -1 ? 1

所以数列 ?an ? 是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 an ? n

5.(I)因为在正三角形 ACE 中, O 为 AC 中点, 所以 EO ? AC 又平面 ACE ? 平面 ABCD ,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? CF 在 Rt ?ACD 中, tan ?FCO ?

2 2 , tan ?ODC ? 2 2

所以 ?FCO ? ?ODC ,所以 ?FCD ? ?ODC ? 90? , 即 CF ? DO ,又 DO ? OE ? O 所以 CF ? 平面 DOE ,所以 CF ? DE

(Ⅱ)以 O 为坐标原点, OF , OA, OE 所在直线为坐标轴建立坐标系,

2 ,0,0), A(0,1,0), C (0, ?1,0), E (0,0,0 3) , D( 2, ?1,0) 2 ??? ? 2 ,1,0) 由(I)得平面 DOE 的法向量为 CF ? ( 2 ? 设平面 DCE 的法向量为 n ? ( x, y, z )
则 O (0,0,0), F ( 因为 CD ? ( 2,0,0), CE ? (0,1, 3),

??? ?

??? ?

??? ? ? ?CD ? n ? 0, ? ?x ? 0 ? ? 所以 ? ??? ? 解得 ? ,取 n ? (0,3, ? 3) ? ? y ? 3z ? 0 ?CE ? n ? 0, ? ?
? ??? ? 2 所以 cos ? n, CF ? = , 2
所以二面角 O ? DE ? C 的值为

π . 4

6. 解: (Ⅰ)记 “摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件 A,

2 , 5 3 摸出一球得黑球的概率为 , 5 2 3 3 2 12 所以 P(A)= × + × = . 5 5 5 5 25 12 答:两球颜色不同的概率是 . 25 ? 可取 0,1,2, 依题意得 (Ⅱ)由题知
摸出一球得白球的概率为
3 2 3 3 2 2 3 3 2 1 1 P(? ? 0) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? , P(? ? 2) ? ? ? 5 4 10 5 4 10 5 4 5 4 5

则 E? ? 0 ?

3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? , 10 5 10 5
2 2 2

3

4? 1 9 ? 4? 3 ? 4? 3 ? D? ? ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? . 5 ? 10 25 ? 5 ? 10 ? 5 ? 5 ?

答: 摸出白球个数 ? 的期望和方差分别是

4 5



9 25

.

7. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ?6ln(ax ? 2) ? 所以 f ' ( x) ? ?6 ?

1 2 x , 2

a ?x ax ? 2

由 f ' (2) ? 0 ,可得 a ? 2

经检验 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 x ? 2 处取得极值,

1 f ( x) ? ?6ln(2 x ? 2) ? x 2 , 2 2 ?6 x ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) f ' ( x) ? ?x? ? x ?1 x ?1 x ?1
而函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?1, ??) , 当 x 变化时, f ' ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x

( ?1,2)

2

(2, ??)

f ' ( x)
f ( x)

?
?

0
极小值

?
?

由表可知, f ( x ) 的单调减区间为 ( ?1,2) , f ( x ) 的单调增区间为 (2, ??)

(Ⅱ)若 f '( x ) ? kx ,则有 x 2 ? x ? 6 ? kx 2 ? kx ,其中 x ? ?1 , 所以 (k ? 1) x 2 ? (k ? 1) x ? 6 ? 0 有大于 ?1 的根, 显然 k ? 1 ,设 g ( x) ? (k ? 1) x 2 ? (k ? 1) x ? 6 则其对称轴为 x ? ?

1 ,根据二次函数的性质知道, 2

只要 ? ? (k ? 1)2 ? 24(k ? 1) ? 0 解得 k ? 25 或 k ? 1 .

8. (Ⅰ)解: f ?( x) ? aeax

( x ? 1)[(a ? 1) x ? 1] x2 ① 当 a ? ?1 时,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ?1
f ( x ) 的单调递减区间为 ( ??, ?1) ;单调递增区间为 ( ?1,0) , (0, ??)
当 a ? ?1 时,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,或 x ?

1 a ?1

② 当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ??, ?1) , (

1 , ??) a ?1 1 单调递增区间为 ( ?1,0) , (0, ) a ?1

③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 为常值函数,不存在单调区间 ④ 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?1,0) , (0,

1 ) a ?1

单调递增区间为 ( ??, ?1) , (

1 , ??) a ?1

(Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时,若 x ? (0, ??) , f ( x ) min ? f (

a 1 ) ? e a ?1 ( a ? 1) 2 ? 1 a ?1

若 x ? ( ??,0) , f ( x)max ? f (?1) ? e? a ? 1 ,不合题意 ② 当 a ? 0 时,显然不合题意
a ? a ③ 当 ?1 ? a ? 0 时,取 x1 ? ? ,则 f ( x1 ) ? e 2 (a ? 1) ? 0 2
2

取 x2 ? ?1 ,则 f ( x2 ) ? e? a ? 0 ,符合题意 ④ 当 a ? ?1 时,取 x1 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? ?e?1 ? 0 取 x2 ? ?1 ,则 f ( x2 ) ? e? a ? 0 ,符合题意 综上, a 的取值范围是 [?1,0) . 9.解: (Ⅰ)证明: f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c ,由题意及导数的几何意义得

f ?(1) ? a ? 2b ? c ? 0 ,

(1) (2)

f ?(m) ? am2 ? 2bm ? c ? ?a ,

又 a ? b ? c ,可得 4a ? a ? 2b ? c ? 4c ,即 4 a ? 0 ? 4 c ,故 a ? 0, c ? 0, 由(1)得 c ? ? a ? 2b ,代入 a ? b ? c ,再由 a ? 0 ,得

1 b ? ? ? 1, 3 a

(3)

将 c ? ? a ? 2b 代入(2)得 am 2 ? 2bm ? 2b ? 0 ,即方程 ax 2 ? 2bx ? 2b ? 0 有实根. 故其判别式 ? ? 4b2 ? 8ab ≥0 得 由(3)(4)得 0 ≤ ,

b b ≤ ?2 ,或 ≥0 , a a

(4)

b ?1; a

(Ⅱ)由 f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c 的判别式 ?? ? 4b2 ? 4ac ? 0 , 知方程 f ?( x) ? ax 2 ? 2bx ? c ? 0 (?) 有两个不等实根,设为 x1 , x2 , 又由 f ?(1) ? a ? 2b ? c ? 0 知, x1 ? 1 为方程( ? )的一个实根,则由根与系数的关系得

x1 ? x2 ? ?

2b 2b , x2 ? ? ? 1 ? 0 ? x1 , a a

当 x ? x2 或 x ? x1 时, f ?( x ) ? 0 ,当 x2 ? x ? x1 时, f ?( x ) ? 0 , 故函数 f ( x ) 的递增区间为 [ x2 , x1 ] ,由题设知 [ x2 , x1 ] ? [ s, t ] , 因此 | s ? t |?| x1 ? x2 |? 2 ?

2b b ,由(Ⅰ)知 0 ≤ ? 1 得 a a

| s ? t | 的取值范围为 [2, 4) .

x2 y2 ? ? 1. 4 3 x2 y2 x2 y2 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 1 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 . 4 3 4 3
10.解: (Ⅰ)椭圆 C 的方程为:
2 2 依题意有 | PM | ? | PN | ,即 x1 ? ( y0 ? y1 )2 ? x2 ? ( y0 ? y2 )2 ,
2 2 2 2 整理得 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 0 .

将 x12 ? 4 ?

4 y12 4 y2 2 2 , x2 ? 4 ? 2 代入上式,消去 x12 , x2 , 3 3

2 2 得 ( y1 ? y2 ) ? 6 y0 ( y1 ? y2 ) ? 0 .

依题意有 y1 ? y2 ? 0 ,所以 y0 ? ?

y1 ? y2 . 6

注意到 | y1 | ? 3 , | y2 | ? 3 ,且 M , N 两点不重合,从而 ?2 3 ? y1 ? y2 ? 2 3 . 所以 y0 ? ( ?

3 3 , ). 3 3

11. 解:(I) 设Q( x, y),因为NP ?

? 1 ??? y PQ, 所以N (0, ? ), 2 2 ???? ? ???? y 3y 又M (?3m,0), 所以MN ? (3m, ? ), NQ ? ( x, ), 2 2 ???? ???? ? 3 2 由已知 MN ? NQ ? 0, 则 3mx ? y ? 0 4
y 2 ? 4mx,即Q点轨迹方程为y 2 ? 4mx.

??? ?

(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中 A、 B 在 x 轴的下方(包括 x 轴) , 记 A、 B、 C 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ) ,其中 y3 ? 0 ? y2 ? y1

k 并设直线 AB 的斜率为 ( k<0)

? y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 ) ? 则有 ? ??① 1 ? y3 ? y2 ? ? k ( x3 ? x2 ) ?
又因为 A、 B、 C 在抛物线 y 2 ? 4mx 上,故有

y

C D O B A x

x1 ?

y12 y2 y2 , x2 ? 2 , x3 ? 3 代入①式得 4m 4m 4m 4m y1 ? ? y2 , y3 ? ?4mk ? y2 ??② k

因为 | AB |?| BC | 即 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x3 ? x2 )2 ? ( y3 ? y2 )2 所以 1 ?

1 ( y2 ? y1 ) ? 1 ? k 2 ( y3 ? y2 ) k2

所以 ( y2 ? y1 ) ? ?k ( y3 ? y2 ) 将②代入可得:

4m ? y2 ? ?k (?4mk ? 2 y2 ) k 4m 即 ?4mk 2 ? ? ?2(?k ? 1) y2 , k 4m 4mk 2 ? k 得 y2 ? 2( ?k ? 1) y2 ?
正方形的边长为 | AB |? 1 ? k 2 ( y3 ? y2 ) ? 1 ? k 2 (?4mk ? 2 y2 )

? 1 ? k ( ?4mk ?
2

4mk 2 ?

4m k ) ? 4m 1 ? k 2 ?k ? 1

? k3 ?1 ? ?k ? ? k ( ?k ? 1) ? ? ?

? 4m

1 ? k 2 (k 2 ? 1) ?k ( ?k ? 1)

易知

1 ? k 2 (k 2 ? 1) (k 2 ? 1) 1? k2 2 ? 2, ? ? 4 2m , 所以 4m ?k ?k ? 1 2 ?k ( ?k ? 1)

所以正方形 ABCD 面积的最小值为 32m 2 .

12.解: (Ⅰ)设圆心坐标为 ( x , y ) ,那么 22 ? y ? ( y ? 2)2 ? x2 ,化简得 x 2 ? 4 y
2

(Ⅱ)解法一:设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 )

设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? b ,代入曲线 C 的方程得 x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4b, ? ? 16k 2 ? 16b ? 0 因为 PQ ? 2 ,所以 (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 4,?(1 ? k 2 )[16k 2 ? 16b] ? 4 所以, 4(1 ? k 2 )[k 2 ? b] ? 1,? k 2 ? b ?

1 4(1 ? k 2 )

过 P、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为 y ? y1 ? 两式相减,得 y2 ? y1 ?

x1 x ( x ? x1 ), y ? y2 ? 2 ( x ? x2 ) 2 2

x x 2 ? x12 ( x1 ? x2 ) ? 2 2 2 2 2 2 2 x ? x1 x x ? x1 x ? x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 ,? x1 ? x2 ,? x ? 1 ? 2k 4 2 2 2 x x ? x2 代入过 P 点曲线 C 的切线方程得, y ? y1 ? 1 ( 1 ? x1 ) 2 2 x 2 x x ? x2 xx ?y? 1 ? 1 ( 1 ? x1 ) ,? y ? 1 2 ? ?b 4 2 2 4
即两条切线的交点 M 的坐标为( 2k , ?b ) ,所以点 M 到直线 PQ 的距离为

d?

2k 2 ? 2b 1? k
2

?

2 k2 ? b 1? k
2

?

1 2(1 ? k )
3 2 2

当 k ? 0 时, d max ?

1 1 1 ,此时 ?PQM 的面积的取最大值 Smax ? ? PQ ? d max ? 2 2 2

解法二: 设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则过 P、Q 两点曲线 C 的切线方程分别为

x1 x ( x ? x1 ), y ? y2 ? 2 ( x ? x2 ) 2 2 x x 2 ? x12 两式相减得 y2 ? y1 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 , 2 2 x 2 ? x12 x x 2 ? x12 x ? x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 ,? x1 ? x2 ,? x ? 1 4 2 2 2 x1 x1 ? x2 代入过 P 点曲线 C 的切线方程得, y ? y1 ? ( ? x1 ) 2 2 x 2 x x ? x2 xx ?y? 1 ? 1 ( 1 ? x1 ) ,? y ? 1 2 4 2 2 4 x ? x2 y ? y2 即两条切线的交点 M 的坐标为( 1 , 1 ) 2 2 x ? x2 y ? y2 设 PQ 中点为 C,则 C 的坐标为( 1 , 1 ),所以 MC 平行于 y 轴,所以 2 2 y ? y1 ?
MC ? x1 x2 y1 ? y2 x x x 2 ? x2 2 ( x ? x )2 ( x ? x )2 ? ? 1 2? 1 ? 1 2 ? 1 2 4 2 4 8 8 8

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,那么 d ? MC ? 立) .

( x1 ? x2 ) 2 (当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时等号成 8

又因为 PQ ? 2 ,所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2 , 即 ( x1 ? x2 )2 ?

( x1 ? x2 )2 ( x1 ? x2 )2 ( x ? x )2 ? 2 ,? ( x1 ? x2 )2 [1 ? 1 2 ] ? 2 . 16 16

所以 ( x1 ? x2 )2 ? 4 (当且仅当 x1 ? x2 ? 0 时等号成立) .

1 1 1 1 1 , S?PQM ? PQ ? d ? ? 2 ? ? , 2 2 2 2 2 1 所以 ?PQM 的面积的最大值为 . 2
因此 d ?

13.解:(Ⅰ) a 2 ? 4 , b 2 ? 3 ,所以, c 2 ? a 2 ? b2 ? 1 。 所以,椭圆的离心率 e ? 右焦点 F ?1,0? 。 (Ⅱ) (i) A? ?2,0? , B ? 2,0 ? 。设 M ? 4, m ? ,显然 m ? 0 。

c 1 ? 。 a 2

m m ? x ? 2? , MB : y ? ? x ? 2? 。 6 2 m ? ? 54 ? 2m2 y ? ? x ? 2?, xP ? , ? ? 6 ? ? 27 ? m2 由? 2 解得 ? 2 ?x ? y ?1 ? y ? 18m . ?4 ? P 27 ? m2 3 ? ? m ? ? 2m 2 ? 6 y ? ? x ? 2?, xQ ? 2 , ? ? ? ? 2 m ?3 由? 2 解得 ? 2 ? y ? ?6m . ?x ? y ?1 ?4 ? Q m2 ? 3 3 ? ?
则 MA : y ? 当 m 2 ? 9 时, xP ? xQ ? 1 , P, Q , F 三点共线。 当 m 2 ? 9 时, k FP ?

yP ? 0 18m 6m ? ? , xP ? 1 27 ? 3m 2 9 ? m 2

kFQ ?

yQ ? 0 xQ ? 1

?

?6m 6m , ? 2 m ? 9 9 ? m2

所以, kFP ? kPQ ,所以, P, Q , F 三点共线。

综上, P, Q , F 三点共线。 (Ⅱ)因为 P, Q , F 三点共线,所以,△PQB 的面积

9? ? 12 ? m ? ? 1 m? ? S ? ? FB ? y P ? yQ ? ? 2 2 2 2 ? m ? 3?? m ? 27 ? ? m ? 9 ? ? 12 ? ? m? ?

12m ? m 2 ? 9 ?

设u ? m ?

9 12u ,则 S ? 2 m u ? 12
,且 u ? m ?

因为 S ' ?

?u

24 ? 6 ? u ?
2

? 12 ?

2

9 ? 6 ,所以, S ' ? 0 ,且仅当 u ? 6 时, S ' ? 0 , m

12u 在 [6, ??) 上单调递减。 u ? 12 12 ? 6 3 所以, S ? 2 ? ,等号当且仅当 u ? 6 ,即 m ? ?3 时取得。 6 ? 12 2 3 所以,△PQB 的面积的最大值为 . 2
所以, S ?
2


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