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2014广西高一“创新杯”数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准


2014 广西高一“创新杯”数学竞赛决赛试题 参考答案与评分标准
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分,请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后 面的括号内) 1.选(B). 2.选(C). 3.选(B). 4.选(A). 5.选(C). 6.选(B). 1.选(B). 解析:易知 x ? 0,故 ( x ? 1) 2 =1-x.

2.

选(C).
解析:由 x 2 ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0 的交集可得.

3.选(B).
解析:易证 (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 0 与已知等式等价,故 a, b, c 中必有两个数互为相反数.

4.选(A).
解析: an ?

1 1 n ? n ?1 1 1 ? ? ? ? n n ? 1 ? (n ? 1) n n ? 1 n ( n ? n ? 1) n ?1 n n ?1 n 1 1 1 1 1 1 9 ? ? ? )+( )+…+( )= 10 1 2 2 3 99 100

所以,原式=(

5.选(C).
解析:由已知,有 x ? ?

k ?1 3 ,由 x 为整数可知 k ? ?1, 3,5 ,且只要 x 为整数, y 也 ? ?1 ? k ?2 k ?2

必为整数. 故整数 k 的可能值共 4 个.

6.选(B).
解 析 : 设 三 边 长 分 别 为 a, b, c , 则 有 a ? b ? c ?

1 ab , 代 入 a 2 ? b 2 ? c 2 , 得 2

8 ab ,由于 a, b 都是正整数,故有 5,12,13 或 6,8,10 符合 (ab ? 4a ? 4b ? 8) ? 0 ,即 a ? 4 ? 4 b?4 题意.
二、填空题(每小题 9 分,共 54 分,请将答案填写在第二页答题区填空题相应题号后面的横 线上)

7.28

8.0

9.222

10.4

11.29

12.

1 6

7.28
1

?a ? 4 解:因为 4 x ? 3 x ? 1 ? a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c ? ax ? ? 2a ? b ? x ? a ? b ? c 对任意 x 成立,所以 ? ? 2a ? b ? 3 , ?a ? b ? c ? 1 ?
2 2 2

?a ? 4 解得: ? ?b ? 5 ,所以 ?c ? 2 ?

4a+2b+c=28.

8.0
解:令 y ? tx ,则 (1 ? t 2 ) x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,由 ? ? (?4) 2 ? 4(1 ? t 2 ) ? 0 ? ? 3 ? t ? 3

? m ? ? 3, n ? 3 ? m ? n ? 0 . 9.222
解:由已知易得: a ? 2 ,从而 bb c ? 999 ? 33 ? 37 ,所以 b ? 3 , c ? 37 ,所以 abc ? 222 . 10.4 解:延长 CB 至 F,使 BF ? ED ,连接 AF,AD,易得 ?ABF ? ?AED ? 90 .
?

又 AB ? AE ,所以 ?ABF ≌ ?AED ,所以 AF ? AD . 又 FC ? BC ? BF ? BC ? ED ? CD ? 2 , AC ? AC ,所以 ?ACF ≌ ?ACD . 从而 S ABCDE ? 2 S ?ACF ? 2 ?

1 1 CF ? AB ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 4 . 2 2

11.29
解:设前 5 场总成绩为 x 分,第十场成绩至少为 y 分,则
? x ? 23 ? 14 ? 11 ? 20 x ? ???? ① ? ? 9 5 , ? ? ? ? ? ? x 23 14 11 20 y ? ? 18?? ② ? 10 ?

由①得: x ? 85 ,所以 x ? 84 ; 由②得: y ? 112 ? x ,所以 y ? 112 ? x ? 112 ? 84 ? 28 ,所以 y ? 29 .

12.

1 6

解:设 f ( x) ? ax 2 ? (a ? b) x ? (a ? 2b) ,则由题设

? f (?1) ? a (?1) 2 ? (a ? b)(?1) ? (a ? 2b) ? 0 ? 得 ? f (0) ? (a ? 2b) ? 0 ? f (1) ? a ? (a ? b) ? (a ? 2b) ? 0 ?
即 b ? a ? 2b , ? (a, b) ? {(3, 2), (4,3), (5,3), (5, 4), (6, 4), (6,5)} ,
2

其概率为

6 1 ? . 36 6

三、 (20 分) 解:由图象过点(2,5) ,解得 a ? 4 . …………………………5 分

? 2 x ? 2 x ? 5, ? ? 2 故 y ? x ? 4? | 2 x ? 1| = ? ? x 2 ? 2 x ? 3, ? ?
2

1 2 …………………………10 分 1 x? 2

x?

易知 y ? x ? 2 x ? 5 在 [ ,3] 上的最小值为 4,最大值为 8;…………15 分

1 2

1 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在 [?4, ] 上的最小值为 2,最大值为 11. 2
故在[-4,3]上 ymin ? 2 , ymax ? 11 . ………………………………20 分

四、 (20 分)证明:如图,作平行四边形 ABFC 和平行四边形 ABGP,连结 GF,
则 AC ? FB, ?ACE ? ?FBD . ………………………………………………………………5 分 又 BD ? CE ,从而 ?AEC ? ?FDB ? ?BDF ? ?AEC 于是 FD // AE ,又 PD // AE ,则 P, D, F 三点共线. ………………………………………10 分 故 ?BFP ? ?BFD ? ?EAC ? ?BAP ? ?BGP ,

于是 B、G、F、P 四点共圆.

………………………………………15 分

由 AP //BG , AC //BF ,
可得 ?APC ? ?GBF ? ?ABP ? ?BPG ? ?BFG ? ?ACP . ……………………20 分

3

五、 (20 分)
解:由 49(a+b)=4(a +ab+b )及 a,b 都是正整数,(4,49)=1
2 2

知 4∣(a+b),故存在正整数 k,使 a+b=4k 从而 a 2 +ab+b 2 =49k, 即(a+b) 2 -ab=49k,故 ab=16k 2 -49k 从而 a,b 是关于 x 的方程 ②

① ………………………………5 分

x 2 -4kx+(16k 2 -49k)=0



的两个正整数根.………………………………………………………………10 分 由⊿=16k 2 -4(16k 2 -49k)≥0,得 0≤k≤

49 , 12

? k 为正整数∴k=1,2,3,4. ……………………………………………………15 分
容易验证,当 k=1,2,3 时,方程③均无正整数根; 当 k=4 时,方程③为 x 2 -16x+60=0,解得 x 1 =10,x 2 =6.故 a+b=4k=16. ……20 分

4


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