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【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章 3.2一元二次不等式及其解法(一)导学案新人教A版必修5


§3.2

一元二次不等式及其解法(一)

课时目标 1.会解简单的一元二次不等式. 2.了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系. 1.一元一次不等式 一元一次不等式经过变形,可以化成 ax>b (a≠0)的形式.

b? a? ? ? b? (2)若 a<0,解集为?x|x< ?.

a? ?

(1)若 a>0,解集为?x|x> ?;

?

2.一元二次不等式 一元二次不等式经过变形,可以化成下列两种标准形式: 2 2 (1)ax +bx+c>0 (a>0);(2)ax +bx+c<0 (a>0).3.一元二次不等式与二次函数、一元 二次方程的关系如下表所示: 判别式 2 Δ =b -4ac 二次函数 y=ax +bx +c (a>0)的图象
2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

一元二次方程 ax + bx+c =0(a>0)的根

2

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

(-∞,x1)∪(x2,+ ∞)

{x|x∈R 且 x≠- } 2a

b

R

{x|x1<x<x2}

?

?

一、选择题 2 1.不等式-6x -x+2≤0 的解集是( ? 2 1? A.?x|- ≤x≤ ? 3 2? ? ? 2 1? B.?x|x≤- 或x≥ ? 3 2? ? ? 1? C.?x|x≥ ? 2? ?

)

1

? 3? D.?x|x≤- ? 2? ? 答案 B 2 2 解析 ∵-6x -x+2≤0,∴6x +x-2≥0, ∴(2x-1)(3x+2)≥0, 1 2 ∴x≥ 或 x≤- . 2 3 2 2 2.一元二次方程 ax +bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a<0 时,不等式 ax +bx+c≥0 的解集为( ) A.{x|x<-1 或 x>2} B.{x|x≤-1 或 x≥2} C.{x|-1<x<2} D.{x|-1≤x≤2} 答案 D

解析

由题意知,- =1, =-2,

b a

c a

∴b=-a,c=-2a, 2 又∵a<0,∴x -x-2≤0,∴-1≤x≤2. 2 2 3.函数 y=lg(x -4)+ x +6x的定义域是( A.(-∞,-2)∪[0,+∞) B.(-∞,-6]∪(2,+∞) C.(-∞,-2]∪[0,+∞) D.(-∞,-6)∪[2,+∞) 答案 B 2 ?x -4>0, ? 解析 ∵? 2 ∴x≤-6 或 x>2. ?x +6x≥0, ? (

)

4.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为 ) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 答案 B 解析 ∵x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0, 2 ∴x +x-2<0.∴-2<x<1. 2 2 5.若不等式 mx +2mx-4<2x +4x 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-2,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2) 答案 B 2 2 解析 ∵mx +2mx-4<2x +4x, 2 ∴(2-m)x +(4-2m)x+4>0. 当 m=2 时,4>0,x∈R; 2 当 m<2 时,Δ =(4-2m) -16(2-m)<0, 解得-2<m<2.此时,x∈R. 综上所述,-2<m≤2. 2 ? ?x -4x+6,x≥0, 6.设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解是( ) ?x+6, x<0, ? A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 2 解析 f(1)=1 -4×1+6=3, 2 当 x≥0 时,x -4x+6>3,解得 x>3 或 0≤x<1; 当 x<0 时,x+6>3,解得-3<x<0.
2

所以 f(x)>f(1)的解是(-3,1)∪(3,+∞). 二、填空题 2 7.二次函数 y=ax +bx+c 的部分对应点如下表: X y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 2 则不等式 ax +bx+c>0 的解集是______________. 答案 {x|x<-2 或 x>3} 2 8.不等式-1<x +2x-1≤2 的解集是________. 答案 {x|-3≤x<-2 或 0<x≤1} 2 ?x +2x-3≤0, ? 解析 ∵? 2 ?x +2x>0, ? ∴-3≤x<-2 或 0<x≤1. 2 2 9.已知 x=1 是不等式 k x -6kx+8≥0 的解,则 k 的取值范围是______________. 答案 k≤2 或 k≥4 2 2 2 解析 x=1 是不等式 k x -6kx+8≥0 的解,把 x=1 代入不等式得 k -6k+8≥0, 解得 k≥4 或 k≤2. 2 2 10.不等式(x -x+1)(x -x-1)>0 的解集是________________. 1- 5 1+ 5 答案 {x|x< 或 x> } 2 2 ? 1?2 3 2 解析 ∵x -x+1=?x- ? + >0, ? 2? 4 2 2 ∴(x -x-1)(x -x+1)>0 可转化为 2 解不等式 x -x-1>0,由求根公式知, 1- 5 1+ 5 x1= ,x2= . 2 2 2 ∴x -x-1>0 的解集是 ? ? ? 1- 5 1+ 5 ? ?x|x< ?. 或x> 2 2 ? ? ? ?

? ? ? 1- 5 1+ 5? ?. ∴原不等式的解集为?x|x< 或 x> 2 2 ? ? ? ? 三、解答题 ? ? 1 2 2 11. 若不等式 ax +bx+c≥0 的解集为?x|- ≤x≤2?, 求关于 x 的不等式 cx -bx+a<0 3 ? ? 的解集. ? ? 1 2 解 由 ax +bx+c≥0 的解集为?x|- ≤x≤2?, 3 ? ? 1 2 知 a<0,且关于 x 的方程 ax +bx+c=0 的两个根分别为- ,2, 3

1 b - +2=- ? ? 3 a ∴? 1 c - ×2= ? ? 3 a
2

5 2 ,∴b=- a,c=- a. 3 3

所以不等式 cx -bx+a<0 可变形为 ?-2a?x2-?-5a?x+a<0, ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? 2 即 2ax -5ax-3a>0. 2 又因为 a<0,所以 2x -5x-3<0,
3

? ? 1 所以所求不等式的解集为?x|- <x<3?. 2 ? ? 2 2 3 12.解关于 x 的不等式 x -(a+a )x+a >0. 2 2 3 解 将不等式 x -(a+a )x+a >0 变形为 2 (x-a)(x-a )>0. 2 ∵a -a=a(a-1). 2 2 ∴当 a<0 或 a>1 时,a<a ,解集为{x|x<a 或 x>a }. 2 2 当 0<a<1 时,a <a,解集为{x|x<a 或 x>a}. 当 a=0 或 1 时,解集为{x|x∈R 且 x≠a}. 2 综上知,当 a<0 或 a>1 时,不等式的解集为{x|x<a 或 x>a }; 2 当 0<a<1 时,不等式的解集为{x|x<a 或 x>a}; 当 a=0 或 1 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠a}.

【能力提升】 2 13.已知 a1>a2>a3>0,则使得(1-aix) <1 (i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围是( ? 1? ? 2? ? 1? ? 2? A.?0, ? B.?0, ? C.?0, ? D.?0, ?

)

?

a1?

?

a1?

?

a3?

?

a3?

答案 B 2 解析 由(1-aix) <1, 2 得 1-2aix+(aix) <1, 即 ai·x(aix-2)<0. 又 a1>a2>a3>0. 2 ∴0<x< ,

ai

2 2 2 即 x< ,x< 且 x< .

a1

a2

a3

2 2 2 ∵ > > >0

a3 a2 a1 a1

2 ∴0<x< . 14.解关于 x 的不等式:ax -2≥2x-ax(a∈R). 2 解 原不等式移项得 ax +(a-2)x-2≥0, 化简为(x+1)(ax-2)≥0. 当 a=0 时,x≤-1; 2 当 a>0 时,x≥ 或 x≤-1;
2

a

2 当-2<a<0 时, ≤x≤-1;

a 当 a=-2 时,x=-1; a

2 当 a<-2 时,-1≤x≤ . 综上所述,
? ? 2 当 a>0 时,解集为?x|x≥ 或x≤-1?; ?

a

?

当 a=0 时,解集为{x|x≤-1}; ? 2 ? 当-2<a<0 时,解集为?x| ≤x≤-1?;

a ? 当 a=-2 时,解集为{x|x=-1};
? ? 2? 当 a<-2 时,解集为?x|-1≤x≤ ?. ?

a?

4

1.解一元二次不等式可按照“一看,二算,三写”的步骤完成,但应注意,当二次项 系数为负数时,一般先化为正数再求解,一元二次不等式的解集是一个集合,要写成集合的 形式. 2.一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根. 3.含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论,分类标准要明确,表达要有层次, 讨论结束后要进行总结.

5


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