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3.3.3导数的实际应用


1.3.3 导数的实际应用

在经济生活中,人们经常遇到最优化
问题,例如为使经营利润最大、生产效 率最高,或为使用力最省、用料最少、 消耗最省等等,需要寻求相应的最佳方 案或最佳策略,这些都是最优化问题。

导数是解决这类问题的基本方法之一。
现在,我们研究几个典型的实际问题。

解决优化问题的

方法: 首先是需要分析问题中各个变量之间的 关系,建立适当的函数关系,并确定函数 的定义域,通过创造在闭区间内求函数取 值的情境,即核心问题是建立适当的函数 关系。再通过研究相应函数的性质,提出 优化方案,使问题得以解决,在这个过程 中,导数是一个有力的工具.

利用导数解决优化问题的基本思路:
优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题

例1. 在边长为a的正方形铁片的四角切去 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起 (如图),做成一个无盖的长方体容器,为 使其容积最大,截下的小正方形边长应是 多少?
解:设小正方形边长 为xcm,则箱子容积
a V ( x) ? (a ? 2 x) x, 0<x ? 2
2

a 所以 V ( x) ? 4x ? 4ax ? a x (0 ? x ? 2 )
3 2 2

V ?( x) ? 12x ? 8ax ? a
2 2 2

2

令 V ?( x) ? 12 x ? 8ax ? a ? 0

解得x1=

1 6

1 a,x2= 2 a(舍去),

1 1 在区间(0, a)内,且当0<x< a时, 2 6

V’(x)>0,当

1 6

a<x<a时,V’(x)<0,

因此x=

1 6

a是极大值点,

由题意可知,当x过小(接近0)或过大 (接近a)时,箱子容积很小, 因此当截下的正方形边长是 积最大。
1 6

a时,容

例2.横截面为矩形的横梁的强度同它的 断面高的平方与宽的积成正比,要将直径 为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的 宽度和高度应是多少? 解:如图,设断面的宽为x, h 高为h,则h2=d2-x2, 横梁的强度函数f(x)=kxh2(k 为强度系数, k>0), 所以f(x)=kx(d2-x2),0<x<d,
d x

在开区间(0,d)内,
令f ' (x)=k(d2-3x2)=0, 解得x=± 当0<x< f ' (x)<0,
3 3 3 3

其中负根没有意义,舍去. d, ' (x)>0,当
3 3

3 d时,f 3

d<x<d时,

因此在区间(0,d)内只有一个极大值点
x= d,所以f(x)在x=
3 3

d取得最大值,

这就是横梁强度的最大值,
6 这时h ? d ? x ? d 3
2 2

即当宽为 强度最大。

6 3 d,高为 d 3 3

时,横梁的

例3.如图,一海岛驻扎一支部队,海岛 离岸边最近点B的距离是150km,在岸边 距点B300km的点A处有一军需品仓库,有 一批军需品要尽快送达海岛,A与B之间 有一铁路,现有海陆联运方式运送。火车 时速为50km,船时速为30km,试在岸边 选一点C,先将军需品用火车 送到点C,再用轮船从点C 运到海岛,问点C选在何处 可使运输时间最短?

解:设点C与点B的距离是xkm,则运输时间
150 ? x 300 ? x T ( x) ? ? (0≤x≤300) 30 50 x 2 2 因为 ( 150 ? x ) ' ? 1502 ? x 2
2 2

1 ? 所以 T '( x) ? 2 2 50 30 150 ? x

x

令T ' (x)=0,则有
5x ? 3 1502 ? x2 ? 0

5x ? 3 150 ? x
2

2

即25x2=9(1502+x2),
9 ?150 3 ?150 ?? ? ?112.5 解此方程,得 x=± 4 4
2

舍去负值,取x0=112.5 . 因为T(0)=11,T(300)=11.2,
2 2

150 ? 112.5 187.5 T(112.5)= ? ? 10 30 50

则10是三数中最小者,

所以选点C在与点B距离为112.5km处, 运输时间最小。

例4.如图,已知电源的电动势为ε,内电 阻为r,问当外电阻取什么值时,输出的 功率最大? 解:由欧姆定律得电流强度
I?

?
R?r

电源

r

R

在负载电路上的输出功率是 2 ? R 2R= P=P(R)=I 2
(R ? r)

实验表明,当ε,r一定时,输出功率由负 载电阻R的大小决定, 当R很小时,电源的功率大都消耗在内 阻r上,输出的功率可以变的很小;R很大 时,电路中的电流强度很小,输出的功率 也会变的很小,因此R一定有一个适当的

数值,使输出的功率最大。

( R ? r ) ? 2 R( R ? r ) ]' ? ? 令 P '( R) ? [ 2 4 (R ? r) (R ? r) 2 r?R ?? ?0 2 (R ? r) 2 即 ? (R ? r ) ? 0 ,解得R=r,
2 2 2

? R

因此,当R=r时,输出的功率最大。

例5.圆柱形金属饮料罐的容积一定时, 它的高与底与半径应怎样选取,才能使 所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为 R,则表面积 S=2πRh+2πR2 V 由V=πR2h,得 h ? 2 ?R V +2πR2 则 S(R)=2πR 2 ?R 2V = +2πR2
R

2V 令 s?( R) ? ? 2 ? 4? R ? 0 R V 解得 R= 3 2? V V V ? ? 23 从而h= ? R 2 V 2 ? 3 ?( ) 2?

即h=2R, 因为S(R)只有一个极值,所 以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用 材料最省

例6.已知某商品生产成本C与产量q的函 数关系式为C=100+4q,价格p与产量q的 函数关系式为.求产量q为何值时,利润 L最大?
1 ? 1 2 ? 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ? q ? ? 25q ? q 8 ? 8 ?

利润

1 2? ? L ? R ? C ? ? 25q ? q ? ? (100 ? 4q) 8 ? ? 1 2 ? ? q ? 21q ? 100 (0<q<100) 8

1 L? ? ? q ? 21 4

令L'=0 , 即

1 ? q ? 21 ? 0 4

求得唯一的极值点 q=84.
答:产量为q=84时,利润L最大


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