上海交通大学附属中学下学期高一数学期终试卷附答案

上海交通大学附属中学第二学期 高一数学期终试卷
（满分 100 分，90 分钟完成，答案一律写在答题纸上）
一、填空题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共计 36 分） 1、已知 m>0 时 10 x ? lg(10m) ? lg(
?1

1 m

) ，则 x 的值为_____________；

2、设 f

( x ) 是函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 的反函数，若 [1 ? f

?1

( a )] ? [1 ? f

?1

(b )] ? 8 ，则 a ? b 的值为__________；

3、已知 f(x)是定义域为｛x|x∈R 且 x ? 0｝的偶函数，在区间（0，+∞）上是增函数，若 f (1)< f (lgx) ，则 x 的取值范围是_______________； 4、已知 A、B 为两个锐角，且 tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 1 ，则 cos（A+B）的值是______； 5、已知钝角 ? 的终边经过点 P（ sin 2? ， sin 4? ） ，且 cos ? ?
1 2

，则 ? 的值为
10

I

____________； 6、电流强度 I（安）随时间 t（秒）变化的函数 I= A ? sin( ?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的图象如图所
-10

1 75

o

1 300

1 300

t

1 300

示，则当 t ?

1 50

秒时，电流强度是

安；

7、 将函数 y ? f ( x) sin x 的图象向右平移

? 个单位后， 再作关于 x 轴对称的曲线， 得到函数 y ? 1 ? 2 sin 2 x ， f ( x ) 则 4

是_____； 8、函数 y ? arccos( x ? x 2 ) 的值域为______； 9、曲线 y ? 2 sin( x ?
?
4 ) cos( x ?
A?1 N?1

?
4

) 和直线 y ?

1 2

在 y 轴右侧的交点按横坐
打印 A

标从小到大依次记为 P1，P2，P3，…，则 ? P2P4 ? 等于______； 10、△ ABC 中，a、b、c 分别为?A、?B、?C 的对边。如果 a、b、c 成 等差数列， ?B ? 30? ，△ABC 的面积为
3 2
N?N+1

，那么 b=______；
结束

否

N?7

是
A= 2?A+1

11、根据右边的框图，请写出所打印数列的全部项的和_____； 12、已知等比数列{an}及等差数列{bn}，其中 b1=0，公差 d ? 0 。将这两

个数列的对应项相加，得一新数列 1，1，2，…，则等比数列{an}的前 10 项之和为

。

二、选择题（本大题共 4 小题，每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，共计 12 分） 13、已知奇函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (x) 是以 2 为周期的周期函数，数列 ?a n ? 是首项为 1，公差为 1 的等差 数列，则 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a 2008 ) 的值为 A．0 ； B．2008 ； （ ） D．1004
?

C．－2008 ；
?

14、已知 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) ? m ，恒有 f ( x ? A． ? 1 ； B． ? 3 ；

) ? f ( ? x ) 成立，且 f ( ) ? ?1 ，则实数 m 的值为 3 6

(

)

C．－1 或 3 ；

D．－3 或 1

?

? 2

y 1 0 -1
? 2

y x

y

y

y

o

?
2

甲

A

?

x

o

?
2

?

x

o C

?
2

?

x

o D

?
2

?

x

B
2 3

15、已知 A 是△ABC 的一个内角，且 sin A ? cos A ?

，则△ABC 是

（

）

A．锐角三角形 ； B．钝角三角形 ； C．直角三角形 ；

D．形状不确定

? 16、已知函数 y ? f (x ) 图象如图甲，则 y ? f ( ? x) sin x 在区间[0， ? ]上大致图象是（
2

）

三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、 （本小题满分 10 分）已知： f ( x ) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ( a ? R , a 为常数） （1）若 x ? R ，求 f (x) 的最小正周期； （2）若 f (x) 在 [ ?
? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3，求 a 的值； 6 4

（3）在（2）条件下 f (x) 先经过平移变换，再经过伸缩变换后得到 y ? sin x ，请写出完整的变换过程。

18． （本小题满分 10 分）已知定义在区间 [ ? ? ,

2 3

? ] 上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称，当

x ?[ ?

?

2 ? ? , ? ] 时，函数 f ( x ) ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) ，其图象如图所示。 6 3 2 2 2 3

（1）求函数 y ? f (x) 在 [ ? ? , （2）求方程 f ( x ) ?
2 2

? ] 的表达式；

的解.

19、 （本小题满分 10 分）假设 A 型进口车关税税率在 2002 年是 100％，在 2007 年是 25％，2002 年 A 型进口车 每辆价格为 64 万元（其中含 32 万元关税税款） ． （1）已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车，2002 年每辆价格为 46 万元，若 A 型车的价格只受关税降低 的影响，为了保证 2007 年 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90％，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少 下降多少万元？

（2）某人在 2002 年将 33 万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 1.8％ （5 年内不变） ，且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金） ，那么 5 年到期时这笔钱连本带息是否 一定够买按（1）中所述降价后的 B 型车一辆？

20、 （本小题满分 10 分）已知奇函数 f ? x ? 的定义域为 R，且在区间 [0， +∞）上是增函数，问是否存在这样
? 的实数 ? ，使得 f (cos 2? ? 3) ? f (4? ? 2? cos ? ) ? f (0) 对所有的 ? ? [0, ] 均成立？若存在，求出所有适合条件
2

的实数 ? ；若不存在，试说明理由。

21、 （本小题满分 12 分）如图，下面的表格内的数值填写规则如下：先将第 1 行的所有空格填上 1；再把一个 首项为 1，公比为 q 的数列 ?a n ? 依次填入第一列的空格内；其它空格按照 “任意一格的数是它上面一格的数与 它左边一格的数之和”的规则填写. … 第1列 第2列 第3列 第n列 第1行 第2行 第3行 … 第n行 1
q
q2

1

1

…

1

…
q n ?1

(1) 设第 2 行的数依次为 b1 , b2 , ? , b n ，试用 n, q 表示 b1 ? b2 ? ? ? bn 的值； (2) 设第 3 列的数依次为 c1 , c 2 , c 3 , ? , c n ，求证：对于任意非零实数 q ， c1 ? c 3 ? 2 c 2 ； (3) 能否找到 q 的值，使得(2) 中的数列 c1 , c 2 , c 3 , ? , c n 的前 m 项 c1 , c 2 , ? , c m ( m ? 3 ) 成为等比数列？若 能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由。

高一第二学期期末考试数学卷 一、填空题： （本大题共 12 小题，每小题 3 分，共计 36 分） 1、已知 m>0 时 10 x ? lg(10m) ? lg(
?1

1 m

) ，则 x 的值为______0_________；

2、设 f

( x ) 是函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 的反函数，若 [1 ? f

?1

( a )] ? [1 ? f

?1

(b )] ? 8 ，则 a ? b 的值为_____3______；

3、已知 f(x)是定义域为｛x|x∈R 且 x ? 0｝的偶函数，在区间（0，+∞）上是增函数，若 f (1)< f (lgx) ，则 x 的取值范围是____（0，0.1）∪（10，+∞）___________； 4、已知 A、B 为两个锐角，且 tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 1 ，则 cos（A+B）的
2 2

值是___ ?

___；
I 10

5、已知钝角 ? 的终边经过点 P（ sin 2? ， sin 4? ） ，且 cos ? ?

1 2

，则 ? 的值为 o
1 300

1 75

1 300

______

3? 4

t

______；
-10

1 300

6、电流强度 I（安）随时间 t（秒）变化的函数 I= A ? sin( ?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的 图象如图所示，则当 t ?
1 50

秒时，电流强度是

5

安；

7、 将函数 y ? f ( x) sin x 的图象向右平移

? 个单位后， 再作关于 x 轴对称的曲线， 得到函数 y ? 1 ? 2 sin 2 x , 则 f ( x ) 4

是__ 2 cos x ___； 8、函数 y ? arccos( x ? x 2 ) 的值域为__ [arccos
1 4 , ? ] ____；
A?1 N?1

9、曲线 y ? 2 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) 和直线 y ?

1 2

在 y 轴右侧的交点按横坐标

打印 A

从小到大依次记为 P1，P2，P3，…，则 ? P2P4 ? 等于_____ ? ______； 10、△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为 ?A 、 ?B 、 ?C 的对边。如果 a 、 b 、 c 否 成等差数列， ?B ? 30? ，
结束

N?N+1

N?7

是
A= 2?A+1

△ABC 的面积为

3 2

，那么 b=____ 1 ? 3 _______；

11、根据右边的框图，请写出所打印数列的全部项的和_247_____；

12、已知等比数列{an}及等差数列{bn}，其中 b1=0，公差 d ? 0 。将这两个数列的对应项相 加，得一新数列 1，1，2，…，则等比数列{an}的前 10 项之和为 1023 ；

二、选择题： （本大题共 4 小题，每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，共计 12 分） 13、已知奇函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (x) 是以 2 为周期的周期函数，数列 ?a n ? 是首项为 1，公差为 1 的等差 数列，则 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a 2008 ) 的值为 A．0 ； B．2008 ； （ A ） D．1004

C．－2008 ；

?

? 2

y 1 0 -1
? 2

y x

y

y

y

o

?
2

?

x

o

?
2

?

x

o C

?
2

?

x

o D

?
2

?

x

甲

A

B
?

14 、 已 知 f ( x) ? 2 c o s (x ? ? ) ? m ， 恒 有 f ( x ? ?

) ? f ( ? x ) 成 立 ， 且 f ( ) ? ?1 ， 则 实 数 m 的 值 为 3 6

?

( D

) B． ? 3 ； C．－1 或 3 ；
2 3

A． ? 1 ；

D．－3 或 1 （ B ）

15、已知 A 是△ABC 的一个内角，且 sin A ? cos A ?

，则△ABC 是

A．锐角三角形 ； B．钝角三角形 ； C．直角三角形 ；

D．形状不确定

? 16、已知函数 y ? f (x ) 图象如图甲，则 y ? f ( ? x) sin x 在区间[0， ? ]上大致图象是（D
2

）

三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、 （本小题满分 10 分）已知： f ( x ) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ( a ? R , a 为常数） （1）若 x ? R ，求 f (x) 的最小正周期； （2）若 f (x) 在 [ ?
? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3，求 a 的值； 6 4

（3）在（2）条件下 f (x) 先经过平移变换，再经过伸缩变换后得到 y ? sin x ，请写出完整的变换过程。
?

解：? f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? ) ? a ? 1
6

…… 2 分

（1）最小正周期 T
? ?
6 4 ,

? 2? ? ? 2

……3 分
? ?
3 2 , ] ? 2x ?

（2） x ? [ ?

] ? 2 x ? [?

?
6

? [?

? 2?
6 , 3

]

……4 分

??

1 2

? sin( 2 x ?

?
6

) ?1

…5 分 ……6 分

即 f ( x ) min=a， f ( x ) max=a+3，? a+a+3=3? a=0 （3）将 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 的图像先向右平移
6

?

?
12

个单位，再向下平移 1 个单位，得到 f ( x ) ? 2 sin 2 x 的图

像，

……8 分 将 f ( x ) ? 2 sin 2 x 的图像上每一个点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标缩短到原来的
1 2

， 得到 f ( x) ? sin x

的图像。

……10 分
2 3

18． （本小题满分 10 分）已知定义在区间 [ ? ? ,

? ] 上的函数

y
2

y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称，当 x ? [ ?

?

6 3

,

? ] 时，函
?

1

数 f ( x) ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? 其图象如图所示。 （1）求函数 y ? f (x) 在 [ ? ? , （2）求方程 f ( x ) ? 解： （1）当 x ? [ ? ? 6 函数 即
,
2 ? 3

?
2

?? ?

?
2

)，

?π

?

o
x??? 6

? 6

? 2? 3

x

2 3

? ] 的表达式；

2 2

的解.

] 时，

f ( x ) ? A sin(? x ?? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ?? ? ? ) 2 2

，

观察图象易得： A ? 1 , ?
f ( x ) ? sin( x ? ? ) ，
3

?1,? ?

?
3

， ……2 分
?
6

由函数 y ?

f (x) 的图象关于直线 x ? ?
?
6

对称，

当 x ?[ ? ? , ? ? y ? sin( ? ∴
?
3

] 时， ?
?
3

?
3

? x ?[ ?

?
6

,

2? 3

]
……4 分

?x?

) ? sin( ? x ) ? ? sin x
? x ? [ ? ? , 23 ] 6

?sin( x ? ? ) ? 3 f ( x) ? ? ? ? sin x ?

x ? [ ?? , ? ? ) 6

.
?
3 )? 2 2

……5 分 ，

（2）当 x ? [ ?

?
6

,

2 3

? ] 时， x ?

?
3

?[

?
6

, ? ] ，由 sin( x ?

得x?

?
3

?

?
4

或 1

3? 4

?x??

?
12

或

5? 12

；
2 2

……7 分 ，得 x ? ?
3? 4 或?

当 x ? [ ? ? ,? ? ] 时，由 ? sin x ?
6

?
4

；

……9 分

.∴方程

f ( x) ?

2 2

的解集为 {?

3? 4

,?

?
4

,?

? 5? , }。 12 12

……10 分

19、 （本小题满分 10 分）已知奇函数 f ? x ? 的定义域为 R，且在区间 [0， +∞）上是增函数，问是否存在这样
? 的实数 ? ，使得 f (cos 2? ? 3) ? f (4? ? 2? cos ? ) ? f (0) 对所有的 ? ? [0, ] 均成立？若存在，求出所有适合条件
2

的实数 ? ；若不存在，试说明理由。 解：因为 f(x)在 R 上为奇函数，又在[0， +∞）上是增函数，所以 f(x)在 R 上也是增函数， ……2 分 且 f(0)=0，所以 f (cos 2? ? 3) ? ? f (4? ? 2? cos ? ) ? f (2? cos ? ? 4? )
?

……4 分

故 cos 2? ? 3 ? 2? cos ? ? 4? 对所有的 ? ? [0, ] 均成立。
2

……5 分

因为 cos ? ? 2 ? 0 ，所以 ? ?

cos 2? ? 3 2 cos ? ? 4

?

2 ? cos 2 ? 2 ? cos ?

……6 分

要使不等式对任意 ? ? [0, ] 恒成立，只要 ? 大于函数 y ?
2

?

2 ? cos 2 ? 2 ? cos ?

的最大值即可。

令 2 ? cos ? ? t ? [1,2] ，则 y ?

2 ? (2 ? t ) 2 t

=

? t 2 ? 4t ? 2 t

2 ? 4 ? (t ? ) ? 4 ? 2 2 t

……9 分

当且仅当 t ? 2 ，y 有最大值 4 ? 2 2 ，所以 ? ? 4 ? 2 2

……10 分

20、 （本小题满分 10 分）假设 A 型进口车关税税率在 2002 年是 100％，在 2007 年是 25％，2002 年 A 型进口车 每辆价格为 64 万元（其中含 32 万元关税税款） ． （1）已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车，2002 年每辆价格为 46 万元，若 A 型车的价格只受关税降低 的影响，为了保证 2007 年 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90％，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少 下降多少万元？

（2）某人在 2002 年将 33 万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 1.8％（5 年内不变） ，且每年按

复利计算（上一年的利息计入第二年的本金） ，那么 5 年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降 价后的 B 型车一辆？

解： （1）2007 年 A 型车价为 32＋32× 25％＝40（万元） 设 B 型车每年下降 d 万元，则 46-5d≤40×90％=36 ∴d≥2， 故每年至少下降 2 万元。 （2）2007 年到期时共有钱 33 ? (1 ? 1.8%) ＝36.07692＞36（万元）
5

……2 分

……5 分 ……9 分 ……10 分

故 5 年到期后这笔钱够买一辆降价后的 B 型车

21、 （本小题满分 12 分）如图，下面的表格内的数值填写规则如下：先将第 1 行的所有空格填上 1；再把一个 首项为 1，公比为 q 的数列 ?a n ? 依次填入第一列的空格内；其它空格按照 “任意一格的数是它上面一格的数与 它左边一格的数之和”的规则填写. … 第1列 第2列 第3列 第n列 … 1 1 1 1 第1行 q 第2行 第3行 q2 … 第n行 …
q n ?1

(1) 设第 2 行的数依次为 b1 , b2 , ? , b n ，试用 n, q 表示 b1 ? b2 ? ? ? bn 的值； (2) 设第 3 列的数依次为 c1 , c 2 , c 3 , ? , c n ，求证：对于任意非零实数 q ， c1 ? c 3 ? 2 c 2 ； (3) 能否找到 q 的值，使得(2) 中的数列 c1 , c 2 , c 3 , ? , c n 的前 m 项 c1 , c 2 , ? , c m ( m ? 3 ) 成为等比数列？若 能找到，m 的值有多少个？若不能找到，说明理由。 解： (1) b1 ? q, b2 ? 1 ? q, b3 ? 1 ? (1 ? q ) ? 2 ? q, ? , bn ? (n ? 1) ? q ， 所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? nq ? (2) c1 ? 1 ， c 2 ? 1 ? (1 ? q ) ? 2 ? q ，
c 3 ? ( 2 ? q ) ? (1 ? q ? q 2 ) ? 3 ? 2 q ? q 2 ，

n ( n ? 1) 2

? nq .

…… 3 分

…… 5 分
2

由 c1 ? c 3 ? 2c 2 ? 1 ? 3 ? 2 q ? q ? 2( 2 ? q ) ? q ? 0 得 c1 ? c 3 ? 2c 2 .
2

…… 7 分
1 2

2 (3) 先设 c1 , c 2 , c 3 成等比数列，由 c1 c 3 ? c 2 ，得 3 ? 2 q ? q 2 ? ( 2 ? q ) 2 ， q ? ?

.

此时 c1 ? 1 ， c 2 ?

的等比数列. …… 9 分 2 2 4 如果 m ? 4 ， c1 , c 2 , ? , c m 为等比数列，那么 c1 , c 2 , c 3 一定是等比数列. c 3 3 9 23 1 由上所述，此时 q ? ? ， c1 ? 1 ， c 2 ? , c3 ? ， c 4 ? ，… 由于 4 ? ， c3 2 2 8 2 4
,

3

c3 ?

9

，所以 c1 , c 2 , c 3 是一个公比为

3

因此，对于任意 m ? 4 ， c1 , c 2 , c 3 , ? , c m 一定不是等比数列. 综上所述，当且仅当 m ? 3 且 q ? ?
1 2

…… 11 分

时，数列 c1 , c 2 , c 3 , ? , c m 是等比数列.…… 12 分