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上海交通大学附属中学下学期高一数学期终试卷附答案


上海交通大学附属中学第二学期 高一数学期终试卷
(满分 100 分,90 分钟完成,答案一律写在答题纸上)
一、填空题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共计 36 分) 1、已知 m>0 时 10 x ? lg(10m) ? lg(
?1

1 m

) ,则 x 的值为_____________;



2、设 f

( x ) 是函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 的反函数,若 [1 ? f

?1

( a )] ? [1 ? f

?1

(b )] ? 8 ,则 a ? b 的值为__________;

3、已知 f(x)是定义域为{x|x∈R 且 x ? 0}的偶函数,在区间(0,+∞)上是增函数,若 f (1)< f (lgx) ,则 x 的取值范围是_______________; 4、已知 A、B 为两个锐角,且 tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos(A+B)的值是______; 5、已知钝角 ? 的终边经过点 P( sin 2? , sin 4? ) ,且 cos ? ?
1 2

,则 ? 的值为
10

I

____________; 6、电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I= A ? sin( ?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的图象如图所
-10

1 75

o

1 300

1 300

t

1 300

示,则当 t ?

1 50

秒时,电流强度是

安;

7、 将函数 y ? f ( x) sin x 的图象向右平移

? 个单位后, 再作关于 x 轴对称的曲线, 得到函数 y ? 1 ? 2 sin 2 x , f ( x ) 则 4

是_____; 8、函数 y ? arccos( x ? x 2 ) 的值域为______; 9、曲线 y ? 2 sin( x ?
?
4 ) cos( x ?
A?1 N?1

?
4

) 和直线 y ?

1 2

在 y 轴右侧的交点按横坐
打印 A

标从小到大依次记为 P1,P2,P3,…,则 ? P2P4 ? 等于______; 10、△ ABC 中,a、b、c 分别为?A、?B、?C 的对边。如果 a、b、c 成 等差数列, ?B ? 30? ,△ABC 的面积为
3 2
N?N+1

,那么 b=______;
结束



N?7


A= 2?A+1

11、根据右边的框图,请写出所打印数列的全部项的和_____; 12、已知等比数列{an}及等差数列{bn},其中 b1=0,公差 d ? 0 。将这两

个数列的对应项相加,得一新数列 1,1,2,…,则等比数列{an}的前 10 项之和为



二、选择题(本大题共 4 小题,每小题只有一个正确答案,每小题 3 分,共计 12 分) 13、已知奇函数 f (x) 的定义域为 R,且 f (x) 是以 2 为周期的周期函数,数列 ?a n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差 数列,则 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a 2008 ) 的值为 A.0 ; B.2008 ; ( ) D.1004
?

C.-2008 ;
?

14、已知 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) ? m ,恒有 f ( x ? A. ? 1 ; B. ? 3 ;

) ? f ( ? x ) 成立,且 f ( ) ? ?1 ,则实数 m 的值为 3 6

(

)

C.-1 或 3 ;

D.-3 或 1

?

? 2

y 1 0 -1
? 2

y x

y

y

y

o

?
2



A

?

x

o

?
2

?

x

o C

?
2

?

x

o D

?
2

?

x

B
2 3

15、已知 A 是△ABC 的一个内角,且 sin A ? cos A ?

,则△ABC 是





A.锐角三角形 ; B.钝角三角形 ; C.直角三角形 ;

D.形状不确定

? 16、已知函数 y ? f (x ) 图象如图甲,则 y ? f ( ? x) sin x 在区间[0, ? ]上大致图象是(
2



三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 10 分)已知: f ( x ) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ( a ? R , a 为常数) (1)若 x ? R ,求 f (x) 的最小正周期; (2)若 f (x) 在 [ ?
? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值; 6 4

(3)在(2)条件下 f (x) 先经过平移变换,再经过伸缩变换后得到 y ? sin x ,请写出完整的变换过程。

18. (本小题满分 10 分)已知定义在区间 [ ? ? ,

2 3

? ] 上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称,当

x ?[ ?

?

2 ? ? , ? ] 时,函数 f ( x ) ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) ,其图象如图所示。 6 3 2 2 2 3

(1)求函数 y ? f (x) 在 [ ? ? , (2)求方程 f ( x ) ?
2 2

? ] 的表达式;

的解.

19、 (本小题满分 10 分)假设 A 型进口车关税税率在 2002 年是 100%,在 2007 年是 25%,2002 年 A 型进口车 每辆价格为 64 万元(其中含 32 万元关税税款) . (1)已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车,2002 年每辆价格为 46 万元,若 A 型车的价格只受关税降低 的影响,为了保证 2007 年 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90%,B 型车价格要逐年降低,问平均每年至少 下降多少万元?

(2)某人在 2002 年将 33 万元存入银行,假设银行扣利息税后的年利率为 1.8% (5 年内不变) ,且每年按复利计算(上一年的利息计入第二年的本金) ,那么 5 年到期时这笔钱连本带息是否 一定够买按(1)中所述降价后的 B 型车一辆?

20、 (本小题满分 10 分)已知奇函数 f ? x ? 的定义域为 R,且在区间 [0, +∞)上是增函数,问是否存在这样
? 的实数 ? ,使得 f (cos 2? ? 3) ? f (4? ? 2? cos ? ) ? f (0) 对所有的 ? ? [0, ] 均成立?若存在,求出所有适合条件
2

的实数 ? ;若不存在,试说明理由。

21、 (本小题满分 12 分)如图,下面的表格内的数值填写规则如下:先将第 1 行的所有空格填上 1;再把一个 首项为 1,公比为 q 的数列 ?a n ? 依次填入第一列的空格内;其它空格按照 “任意一格的数是它上面一格的数与 它左边一格的数之和”的规则填写. … 第1列 第2列 第3列 第n列 第1行 第2行 第3行 … 第n行 1
q
q2

1

1



1


q n ?1

(1) 设第 2 行的数依次为 b1 , b2 , ? , b n ,试用 n, q 表示 b1 ? b2 ? ? ? bn 的值; (2) 设第 3 列的数依次为 c1 , c 2 , c 3 , ? , c n ,求证:对于任意非零实数 q , c1 ? c 3 ? 2 c 2 ; (3) 能否找到 q 的值,使得(2) 中的数列 c1 , c 2 , c 3 , ? , c n 的前 m 项 c1 , c 2 , ? , c m ( m ? 3 ) 成为等比数列?若 能找到,m 的值有多少个?若不能找到,说明理由。

高一第二学期期末考试数学卷 一、填空题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共计 36 分) 1、已知 m>0 时 10 x ? lg(10m) ? lg(
?1

1 m

) ,则 x 的值为______0_________;

2、设 f

( x ) 是函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 的反函数,若 [1 ? f

?1

( a )] ? [1 ? f

?1

(b )] ? 8 ,则 a ? b 的值为_____3______;

3、已知 f(x)是定义域为{x|x∈R 且 x ? 0}的偶函数,在区间(0,+∞)上是增函数,若 f (1)< f (lgx) ,则 x 的取值范围是____(0,0.1)∪(10,+∞)___________; 4、已知 A、B 为两个锐角,且 tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos(A+B)的
2 2

值是___ ?

___;
I 10

5、已知钝角 ? 的终边经过点 P( sin 2? , sin 4? ) ,且 cos ? ?

1 2

,则 ? 的值为 o
1 300

1 75

1 300

______

3? 4

t

______;
-10

1 300

6、电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I= A ? sin( ?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的 图象如图所示,则当 t ?
1 50

秒时,电流强度是

5

安;

7、 将函数 y ? f ( x) sin x 的图象向右平移

? 个单位后, 再作关于 x 轴对称的曲线, 得到函数 y ? 1 ? 2 sin 2 x , 则 f ( x ) 4

是__ 2 cos x ___; 8、函数 y ? arccos( x ? x 2 ) 的值域为__ [arccos
1 4 , ? ] ____;
A?1 N?1

9、曲线 y ? 2 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) 和直线 y ?

1 2

在 y 轴右侧的交点按横坐标

打印 A

从小到大依次记为 P1,P2,P3,…,则 ? P2P4 ? 等于_____ ? ______; 10、△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为 ?A 、 ?B 、 ?C 的对边。如果 a 、 b 、 c 否 成等差数列, ?B ? 30? ,
结束

N?N+1

N?7


A= 2?A+1

△ABC 的面积为

3 2

,那么 b=____ 1 ? 3 _______;

11、根据右边的框图,请写出所打印数列的全部项的和_247_____;

12、已知等比数列{an}及等差数列{bn},其中 b1=0,公差 d ? 0 。将这两个数列的对应项相 加,得一新数列 1,1,2,…,则等比数列{an}的前 10 项之和为 1023 ;

二、选择题: (本大题共 4 小题,每小题只有一个正确答案,每小题 3 分,共计 12 分) 13、已知奇函数 f (x) 的定义域为 R,且 f (x) 是以 2 为周期的周期函数,数列 ?a n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差 数列,则 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a 2008 ) 的值为 A.0 ; B.2008 ; ( A ) D.1004

C.-2008 ;

?

? 2

y 1 0 -1
? 2

y x

y

y

y

o

?
2

?

x

o

?
2

?

x

o C

?
2

?

x

o D

?
2

?

x



A

B
?

14 、 已 知 f ( x) ? 2 c o s (x ? ? ) ? m , 恒 有 f ( x ? ?

) ? f ( ? x ) 成 立 , 且 f ( ) ? ?1 , 则 实 数 m 的 值 为 3 6

?

( D

) B. ? 3 ; C.-1 或 3 ;
2 3

A. ? 1 ;

D.-3 或 1 ( B )

15、已知 A 是△ABC 的一个内角,且 sin A ? cos A ?

,则△ABC 是

A.锐角三角形 ; B.钝角三角形 ; C.直角三角形 ;

D.形状不确定

? 16、已知函数 y ? f (x ) 图象如图甲,则 y ? f ( ? x) sin x 在区间[0, ? ]上大致图象是(D
2



三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 10 分)已知: f ( x ) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ( a ? R , a 为常数) (1)若 x ? R ,求 f (x) 的最小正周期; (2)若 f (x) 在 [ ?
? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值; 6 4

(3)在(2)条件下 f (x) 先经过平移变换,再经过伸缩变换后得到 y ? sin x ,请写出完整的变换过程。
?

解:? f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? ) ? a ? 1
6

…… 2 分

(1)最小正周期 T
? ?
6 4 ,

? 2? ? ? 2

……3 分
? ?
3 2 , ] ? 2x ?

(2) x ? [ ?

] ? 2 x ? [?

?
6

? [?

? 2?
6 , 3

]

……4 分

??

1 2

? sin( 2 x ?

?
6

) ?1

…5 分 ……6 分

即 f ( x ) min=a, f ( x ) max=a+3,? a+a+3=3? a=0 (3)将 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 的图像先向右平移
6

?

?
12

个单位,再向下平移 1 个单位,得到 f ( x ) ? 2 sin 2 x 的图

像,

……8 分 将 f ( x ) ? 2 sin 2 x 的图像上每一个点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标缩短到原来的
1 2

, 得到 f ( x) ? sin x

的图像。

……10 分
2 3

18. (本小题满分 10 分)已知定义在区间 [ ? ? ,

? ] 上的函数

y
2

y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称,当 x ? [ ?

?

6 3

,

? ] 时,函
?

1

数 f ( x) ? A sin( ?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? 其图象如图所示。 (1)求函数 y ? f (x) 在 [ ? ? , (2)求方程 f ( x ) ? 解: (1)当 x ? [ ? ? 6 函数 即
,
2 ? 3

?
2

?? ?

?
2

),



?

o
x??? 6

? 6

? 2? 3

x

2 3

? ] 的表达式;

2 2

的解.

] 时,

f ( x ) ? A sin(? x ?? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ?? ? ? ) 2 2



观察图象易得: A ? 1 , ?
f ( x ) ? sin( x ? ? ) ,
3

?1,? ?

?
3

, ……2 分
?
6

由函数 y ?

f (x) 的图象关于直线 x ? ?
?
6

对称,

当 x ?[ ? ? , ? ? y ? sin( ? ∴
?
3

] 时, ?
?
3

?
3

? x ?[ ?

?
6

,

2? 3

]
……4 分

?x?

) ? sin( ? x ) ? ? sin x
? x ? [ ? ? , 23 ] 6

?sin( x ? ? ) ? 3 f ( x) ? ? ? ? sin x ?

x ? [ ?? , ? ? ) 6

.
?
3 )? 2 2

……5 分 ,

(2)当 x ? [ ?

?
6

,

2 3

? ] 时, x ?

?
3

?[

?
6

, ? ] ,由 sin( x ?

得x?

?
3

?

?
4

或 1

3? 4

?x??

?
12



5? 12


2 2

……7 分 ,得 x ? ?
3? 4 或?

当 x ? [ ? ? ,? ? ] 时,由 ? sin x ?
6

?
4



……9 分

.∴方程

f ( x) ?

2 2

的解集为 {?

3? 4

,?

?
4

,?

? 5? , }。 12 12

……10 分

19、 (本小题满分 10 分)已知奇函数 f ? x ? 的定义域为 R,且在区间 [0, +∞)上是增函数,问是否存在这样
? 的实数 ? ,使得 f (cos 2? ? 3) ? f (4? ? 2? cos ? ) ? f (0) 对所有的 ? ? [0, ] 均成立?若存在,求出所有适合条件
2

的实数 ? ;若不存在,试说明理由。 解:因为 f(x)在 R 上为奇函数,又在[0, +∞)上是增函数,所以 f(x)在 R 上也是增函数, ……2 分 且 f(0)=0,所以 f (cos 2? ? 3) ? ? f (4? ? 2? cos ? ) ? f (2? cos ? ? 4? )
?

……4 分

故 cos 2? ? 3 ? 2? cos ? ? 4? 对所有的 ? ? [0, ] 均成立。
2

……5 分

因为 cos ? ? 2 ? 0 ,所以 ? ?

cos 2? ? 3 2 cos ? ? 4

?

2 ? cos 2 ? 2 ? cos ?

……6 分

要使不等式对任意 ? ? [0, ] 恒成立,只要 ? 大于函数 y ?
2

?

2 ? cos 2 ? 2 ? cos ?

的最大值即可。

令 2 ? cos ? ? t ? [1,2] ,则 y ?

2 ? (2 ? t ) 2 t

=

? t 2 ? 4t ? 2 t

2 ? 4 ? (t ? ) ? 4 ? 2 2 t

……9 分

当且仅当 t ? 2 ,y 有最大值 4 ? 2 2 ,所以 ? ? 4 ? 2 2

……10 分

20、 (本小题满分 10 分)假设 A 型进口车关税税率在 2002 年是 100%,在 2007 年是 25%,2002 年 A 型进口车 每辆价格为 64 万元(其中含 32 万元关税税款) . (1)已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车,2002 年每辆价格为 46 万元,若 A 型车的价格只受关税降低 的影响,为了保证 2007 年 B 型车的价格不高于 A 型车价格的 90%,B 型车价格要逐年降低,问平均每年至少 下降多少万元?

(2)某人在 2002 年将 33 万元存入银行,假设银行扣利息税后的年利率为 1.8%(5 年内不变) ,且每年按

复利计算(上一年的利息计入第二年的本金) ,那么 5 年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按(1)中所述降 价后的 B 型车一辆?

解: (1)2007 年 A 型车价为 32+32× 25%=40(万元) 设 B 型车每年下降 d 万元,则 46-5d≤40×90%=36 ∴d≥2, 故每年至少下降 2 万元。 (2)2007 年到期时共有钱 33 ? (1 ? 1.8%) =36.07692>36(万元)
5

……2 分

……5 分 ……9 分 ……10 分

故 5 年到期后这笔钱够买一辆降价后的 B 型车

21、 (本小题满分 12 分)如图,下面的表格内的数值填写规则如下:先将第 1 行的所有空格填上 1;再把一个 首项为 1,公比为 q 的数列 ?a n ? 依次填入第一列的空格内;其它空格按照 “任意一格的数是它上面一格的数与 它左边一格的数之和”的规则填写. … 第1列 第2列 第3列 第n列 … 1 1 1 1 第1行 q 第2行 第3行 q2 … 第n行 …
q n ?1

(1) 设第 2 行的数依次为 b1 , b2 , ? , b n ,试用 n, q 表示 b1 ? b2 ? ? ? bn 的值; (2) 设第 3 列的数依次为 c1 , c 2 , c 3 , ? , c n ,求证:对于任意非零实数 q , c1 ? c 3 ? 2 c 2 ; (3) 能否找到 q 的值,使得(2) 中的数列 c1 , c 2 , c 3 , ? , c n 的前 m 项 c1 , c 2 , ? , c m ( m ? 3 ) 成为等比数列?若 能找到,m 的值有多少个?若不能找到,说明理由。 解: (1) b1 ? q, b2 ? 1 ? q, b3 ? 1 ? (1 ? q ) ? 2 ? q, ? , bn ? (n ? 1) ? q , 所以 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? nq ? (2) c1 ? 1 , c 2 ? 1 ? (1 ? q ) ? 2 ? q ,
c 3 ? ( 2 ? q ) ? (1 ? q ? q 2 ) ? 3 ? 2 q ? q 2 ,

n ( n ? 1) 2

? nq .

…… 3 分

…… 5 分
2

由 c1 ? c 3 ? 2c 2 ? 1 ? 3 ? 2 q ? q ? 2( 2 ? q ) ? q ? 0 得 c1 ? c 3 ? 2c 2 .
2

…… 7 分
1 2

2 (3) 先设 c1 , c 2 , c 3 成等比数列,由 c1 c 3 ? c 2 ,得 3 ? 2 q ? q 2 ? ( 2 ? q ) 2 , q ? ?

.

此时 c1 ? 1 , c 2 ?

的等比数列. …… 9 分 2 2 4 如果 m ? 4 , c1 , c 2 , ? , c m 为等比数列,那么 c1 , c 2 , c 3 一定是等比数列. c 3 3 9 23 1 由上所述,此时 q ? ? , c1 ? 1 , c 2 ? , c3 ? , c 4 ? ,… 由于 4 ? , c3 2 2 8 2 4
,

3

c3 ?

9

,所以 c1 , c 2 , c 3 是一个公比为

3

因此,对于任意 m ? 4 , c1 , c 2 , c 3 , ? , c m 一定不是等比数列. 综上所述,当且仅当 m ? 3 且 q ? ?
1 2

…… 11 分

时,数列 c1 , c 2 , c 3 , ? , c m 是等比数列.…… 12 分


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