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广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学(文)试题含解析


广东省实验中学 2015 届高三第一次阶段考试数学(文)试题(解析版)
【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度, 体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的. 【题文】1. 从已编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实 验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是 A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32 【知识点】系统抽样方法.I1 【答案解析】B 解析:从 50 枚某型导弹中随机抽取 5 枚,采用系统抽样间隔应为 只有 B 答案中导弹的编号间隔为 10,故选 B. 【思路点拨】由系统抽样的特点知,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的 间隔要求相等, 这时间隔一般为总体的个数除以样本容量. 从所给的四个选项中可以看出间 隔相等且组距为 10 的一组数据是由系统抽样得到的. 【题文】2.如图,设全集为 U=R, A ? {x | x( x ? 2) ? 0}, B ? {x | y ? 1n(1 ? x)} ,则图中阴 影部分表示的集合为 A. {x | x ? 1} C. ? x | 0 ? x ? 1 ? B. {x |1 ? x ? 2} D. ?x | x ? 1 ? =10,

【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算.A1 【答案解析】B 解析: A ? {x | x( x ? 2) ? 0} ={x|0<x<2},B= B ? {x | y ? 1n(1 ? x)} = {x|1﹣x>0}={x|x<1},则?RB={x|x≥1}.由韦恩图中阴影部分表示的集合为 A∩ (?RB) , ∴A∩ (?RB)={x|1≤x<2},故选 B. 【思路点拨】由韦恩图中阴影部分表示的集合为 A∩ (?RB) ,然后利用集合的基本运算进行 求解即可. 【题文】3.已知复数 z1 , z2 在复平面上对应的点分别为 A ?1, 2 ? , B ? ?1,3? , 则

z2 ? z1

A. 1 ? i B. i C. 1 ? i D. ?i 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算.L4 【答案解析】A 解析:由复数的几何意义可知 z1=1+2i,z2=﹣1+3i, ∴ ,故选 A.

1

【思路点拨】利用复数的运算法则和几何意义即可得出. 【题文】4.如图是 2013 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为 某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数 据的众数和中位数分别为 A. 84 , 85 C. 85 , 84 B. 84 , 84 D. 85 , 85

7 8 9

9
4 5 6 4 7

3

第 4 题图

【知识点】众数、中位数、平均数;茎叶图.I2 【答案解析】A 解析:去掉一个最高分和一个最低分后,这组数据是 84,85,86,84,87, 在这组数据中出现的次数最多的是 84,∴众数是 84, 把这组数据按照从小到大的顺序排列,最中间一个是 85,∴中位数是 85,故选 A. 【思路点拨】按照要求调整数据以后,这组数据是 84,85,86,84,87,在这组数据中出 现的次数最多的是 84,把这组数据按照从小到大的顺序排列,最中间一个是 85,得到众数 和中位数. 【题文】5.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中“努”在正方体的后面, 那么这个正方体的前面是 A.定 B.有 C.收 D.获 【知识点】棱柱的结构特征.G7 【答案解析】B 解析:这是一个正方体的平面展开图,共有六个面,其中面“努”与面“有” 相对,所以图中“努”在正方体的后面,则这个正方体的前面是“有”.故选 B.

【思路点拨】利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题,把“努”在正方体的后面,然 后把平面展开图折成正方体,然后看“努”相对面. 【题文】6.已知 ?an ? 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6, S3 ? 12 ,则公差 d 等于 A.1 B.

5 3

C.2

D.3

【知识点】等差数列的前 n 项和.D2 【答案解析】C 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 a3=6,S3=12,得: 解得:a1=2,d=2.故选 C.

【思路点拨】设出等差数列的首项和公差,由 a3=6,S3=12,联立可求公差 d. 【题文】7.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin A cos C ? cos A sin C ,则 ?ABC 的形状是
2

A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 【知识点】三角形的形状判断.C8 【答案解析】B 解析:∵sinA﹣sinAcosC=cosAsinC, ∴sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB ∴A=B(A+B=π 舍去) ,是等腰三角形,故选 B

D.等腰直角形

【思路点拨】由 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC,结合两角和的正弦公式即可得 A,B 的关系,从 而可判断. 【题文】8.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则“ l // m ”是“ ? ? ? ”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案解析】C 解析:∵直线 l 丄平面 α,l∥m,∴m 丄平面 α, ∵直线 m?平面 β,∴α⊥β 成立.若 α⊥β,当直线 l 丄平面 α 时, 则 l?β 或 l∥β,但 l∥m,不一定成立,∴“l∥m”是“α⊥β”的充分条件.故选:C. 【思路点拨】利用充分条件和必要条件和必要条件的定义进行判断. 【题文】9.已知 m 是两个正数 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率是 m

A.

3 5 或 2 2

B.

3 2

C. 5

D.

3 或 5 2

【知识点】圆锥曲线的共同特征;等比数列的性质.D3 【答案解析】D 解析:依题意可知 m= 当 m=4 时,曲线为椭圆,a=2,b=1,则 c= =±4 ,e= =

当 m=﹣4 时,曲线为双曲线,a=1,b=2,c= 则,e= 故选 D 【思路点拨】先根据等比中项的性质求得 m 的值,分别看当 m 大于 0 时,曲线为椭圆,进 而根据标准方程求得 a 和 b,则 c 可求得,继而求得离心率. 当 m<0,曲线为双曲线,求得 a,b 和 c,则离心率可得.最后综合答案即可. 【 题 文 】 10. 各 项 互 不 相 等 的 有 限 正 项 数 列 ?a n ? , 集 合 A ? a1, a 2, ..., a n ,

B ? ?(ai , a j )

?

?

,集 )

ai ? A, a j ? A, ai ? a j ? A ,1 ? i, j ? n? ,则集合 B 中的元素至多有(
B. 2
n ?1

个. A.

n(n ? 1) 2

?1

C.

(n ? 2)(n ? 1) 2

D. n ? 1

【知识点】集合中元素个数的最值.A1 【答案解析】A 解析:因为各项互不相等的有限正项数列{an},所以不妨假设数列是单调 递增的因为集合 A={a1,a2,…,an},集合 B={(ai,aj)|ai∈A,aj∈A,ai﹣aj∈A,1≤i,j≤n}, 所以 j=1,i 最多可取 2,3,…,n,j=2,i 最多可取 3,…,n…,j=n﹣1,i 最多可取 n
3

所以集合 B 中的元素至多有 1+2+…+(n﹣1)=

n(n ? 1) ,故选 A. 2

【思路点拨】根据各项互不相等的有限正项数列{an},不妨假设数列是单调递增的,进而分 类讨论,利用数列的求和公式,即可得到结论. 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 【题文】 11. 各项都是正数的等比数列 ?an ?的公比q ? 1,且a2 ,

1 a3 , a1 成等差数列,则 2

a3 ? a4 的值为_________. a4 ? a5
【知识点】等差数列与等比数列的综合.D5

【答案解析】

5 -1 2
2

解析:设{an}的公比为 q(q>0) ,

由 a3=a2+a1,得 q ﹣q﹣1=0,解得 q=

.∴则

= =



故答案为

5 -1 2 .

【思路点拨】由 a2, a3,a1 成等差数列可得 a1、a2、a3 的关系,结合等比数列的通项公式

即可求出 q,而由等比数列的性质可得 则

= ,故本题得解.

【题文】12. 在 ?ABC 中, AB ? 1 , AC ? 2 , S ?ABC ? 【知识点】余弦定理.C8 【答案解析】1 或 5 解析:由题意可得

1 ,则 BC ? 2

.

= ?AB?AC?sinA= 当 cosA= 当 cosA=﹣
2 2

,故 sinA=
2

,故 cosA=±



时,由余弦定理求得 BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cosA=1+2﹣2=1,故 BC=1. 时,由余弦定理求得 BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cosA=5,故 BC= 5 ,
2 2 2

故答案为 1 或 5 . 【思路点拨】由三角形的面积求得 sinA 的值,可得 cosA 的值,再由余弦定理求得 BC 的值. 【题文】13.已知点 A x1 , a

?

x1

?、B ? x , a ? 是函数 y ? a
2 x2

x

的图象上任意不同两点,依据图象

4

可知,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论

x1 ? x2 a x1 ? a x2 >a 2 成 2

立.运用类比思想方法可知,若点 A ? x1 ,sin x1 ? 、B ? x2 ,sin x2 ? 是函数y ? sin x ? ? x ? ? 0, ? ? ? ? 图象上的不同两点,则类似地有________________成立. 【知识点】类比推理.M1 【答案解析】

sin x1 ? sin x 2 x ? x2 ? sin 1 2 2

解析:由题意知,点 A、B 是函数 y=a (a>1)

x

的图象上任意不同两点,函数是变化率逐渐变大的函数,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间
x1 ? x2 a x1 ? a x2 >a 2 成立; 函数图象的上方,因此有结 2

而函数 y=sinx(x∈(0,π) )其变化率逐渐变小,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图 象的下方,故可类比得到结论 故答案为: . .

【思路点拨】 由类比推理的规则得出结论, 本题中所用类比的函数是一个变化率越越大的函 数,而要研究的函数是一个变化率越越小的函数,其类比方式可知. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 【题文】14.(几何证明选讲选做题) 如图,点 A、B、C 都在⊙O 上,过点 C 的切线交 A B 的 延长线于点 D , 若 AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段 AC 的长为
_______。

【知识点】 与圆有关的比例线段; 相似三角形的性质; 弦切角. N1 【答案解析】

9 解析:∵过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D, 2
2

∴DC 是圆的切线, DBA 是圆的割线,根据切割线定理得到 DC =DB?DA, ∵AB=5, CD=6, ∴36=DB(DB+5) ,∴DB=4,由题意知∠D=∠D,∠BCD=∠A ∴△DBC∽△DCA,∴ ,∴AC= =4.5,故答案为:4.5

【思路点拨】根据圆的切线和割线,利用切割线定理得到与圆有关的比例线段,代入已知线 段的长度求出 DB 的长,根据三角形的两个角对应相等,得到两个三角形全等,对应线段成 比例,得到要求的线段的长度. 【题文】15.(坐标系与参数方程选做题)

5

? 的切线,则切线的极坐标方程 在 极 坐 标 系 中 , 过 点 ?2 2 , ? 作 圆 ? ? 4 s i n
4?
是 . 【知识点】极坐标系.N3 【答案解析】 ? cos? ? 2 解析: ? 2 2,
2 2

? ?

??

? ?

??

(2,2) ,圆 ρ=4sinθ 的直角坐 ? 的直角坐标为: 4?

标方程为:x +y ﹣4y=0;显然,圆心坐标(0,2) ,半径为:2; 所以过(2,2)与圆相切的直线方程为:x=2,所以切线的极坐标方程是: ? cos? ? 2 故答案为: ? cos? ? 2 【思路点拨】求出极坐标的直角坐标,极坐标方程的直角坐标方程,然后求出切线方程,转 化为极坐标方程即可. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答填写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( ) 的值;

( 3 cos x ? sin x)sin 2 x 1 ? . 2cos x 2

?

3

(2)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间. 【知识点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的单调性.C3 C5 C6 【答案解析】(1)

1 ; (2) ? ;单调递减区间为 2

? ?? ? ? 2? ? ? ? k? ? 6 , k? ? 2 ? , ? k? ? 2 , k? ? 3 ? (k ? Z ) ? ? ? ?
解析: (1) f ( ) ? 3

?

( 3 cos

?

? 2? 1 3 3 ? sin )sin 1 1 ( 3? ? )? 3 3 3 ?1 1 ? 0 ? ? ..4 分 2 2 2 ? ? 2 2 ? 2 1 2 2cos 2? 3 2

(2)由 cos ? 0得x ? k? ?

?
2

( k ? Z ) 故 f ( x ) 的定义域为

? ? ? ? x ? R x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

????5 分

f ( x) ?

3 1 ( 3 cos x ? sin x )sin 2 x 1 1 sin 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x( 3 cos x ? sin x ) ? ? 2 2 2 2cos x 2
6

?

? 3 1? c o s x2 1 3 1 sinx 2? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? s i n (x2? 6 2 2 2 2 2
2? ? ? ????9 分 2

)

??8 分

所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ?

因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ? 2k? ?

? ?

?

3 ? , 2k? ? ? ? (k ? Z ) , 2 2 ?

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ? , x ? k? ? ( k ? Z ) ??10 分 2 2

得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? , x ? k? ? ????11 分 3 2

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ? k? ? 【思路点拨】(1) 把 x= 得 x≠kπ+ 由 2kπ+

? ?

?
6

, k? ?

?? ?

? 2? ? , ? k? ? , k? ? ? ? (k ? Z ) ??12 分 2? ? 2 3 ?
)的值. (2) 由 cosx≠0,

直接代入函数的解析式,化简求得 f(

, (k∈z ) .化简函数的解析式为 sin(2x+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,x≠kπ+

) ,从而求得 f(x)的最小正周期.再

,k∈z,求得 x 的范围,即可求得函数的减区间.

【题文】17. (本小题满分 12 分) 为了宣传今年 10 月在某市举行的“第十届中国艺术节”, “十艺节”筹委会举办了“十艺节” 知识有奖问答活动, 随机对市民 15~65 岁的人群抽样 n 人, 回答问题统计结果如下图表所示:

(1)分别求出 a,x 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,“十艺节”筹委会决 定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖, 求所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运 奖的概率. 【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.I2 K2 【答案解析】(1)18,0.9; (2)

3 5

7

解析: (1)由频率表中第 1 组数据可知,第 1 组总人数为 再结合频率分布直方图可知 n ?

5 ? 10 , 0.5

10 ? 100 . 0.01 ? 10 x?

…1 分 ……5 分

∴a=100×0.020×10×0.9=18,……3 分

27 ? 0.9 , 100 ? 0.03 ? 10

(2)第 2,3,4 组中回答正确的共有 54 人.∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分 别抽取的人数为:第 2 组: 人. ……7 分

6 6 6 ? 18 ? 2 人,第 3 组: ? 27 ? 3 人,第 4 组: ? 9 ? 1 54 54 54

C ,则从 6 人 设第 2 组的 2 人为 A 1 、 A2 ,第 3 组的 3 人为 B 1 、 B2 、B3,第 4 组的 1 人为
中抽 2 人所有可能的结果有:? A 1, A 2 ? ,? A 1 , B2 ? ,? A 1 , B3 ? ,? A 1 , C ? ,? A 2, B 1? , 1, B 1 ? ,? A

? A2 , B2 ? ,? A2 , B3 ? ,? A2 , C ? ,? B1, B2 ? ,? B1, B3 ? ,? B1 , C ? ,? B2 , B3 ? ,? B2 , C ? ,? B3 , C ? ,
共 15 个基本事件, ……………10 分 其中第 2 组至少有 1 人被抽中的有 ? A 1, A 2? ,?A 1 , B2 ? , ? A 1 , B3 ? , ? A 1,C? , 1, B 1? ,? A

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C ? 这 9 个基本事件.……11 分
获得幸运奖的概率为

∴第 2 组至少有 1 人

9 3 ? .…12 分 15 5

【思路点拨】 (1)根据频率=该组人数÷总人数 n,即可求得 a,x 的值. (2)依题意第 2,3, 4 组中回答正确的共有 54 人,所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,得出每组分别抽取的 人数,由此能求出所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率. 【题文】18. (本小题满分 14 分) 如图,斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧面 AA1C1C ? 底 面 ABC, 底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形, 侧面 AA1C1C 是菱形, ?A1 AC ? 60 ,E、F 分别是 A1C1 、AB 的中点. 求证: (1) EC ? 平面ABC ; (2)求三棱锥 A1 ? EFC 的体积. A F B
第 18 题图

A1

E B1

C1

C

【知识点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.G5G7 【答案解析】(1)见解析; (2)

1 4

? AC ,O 为垂足.因为 ?A1 AC ? 600 , 解析: (1) 在平面 AA1C1C 内,作 AO 1

所以 AO ?

1 1 AA1 ? AC ,即 O 为 AC 的中点,所以 OC ∥ A1 E .……3 分 2 2
8

因而 EC ∥ AO .因为侧面 AA1C1C ⊥底面 ABC,交线为 AC, AO ? AC , 1 1
? 底面 ABC.所以 EC ? 底面 ABC. ……6 分 所以 AO 1

(2)F 到平面 A1 EC 的距离等于 B 点到平面 A1 EC 距离 BO 的一半,而 BO= 3 . ……9 分
1 1 1 1 3 1 1 3 1 所以 VA1 ? EFC ? VF ? A1EC ? SV A1EC g BO ? g A1 E gEC g ? g g 3 g ? . ……14 分 3 2 3 2 2 3 2 2 4 【思路点拨】 (1)在平面 AA1C1C 内,作 A1O⊥AC,O 为垂足.易得四边形 OCEA1 为平行 四边形,进而可得 EC∥A1O,且 EC=A1O.再由已知和面面垂直的性质可得所以 A1O⊥底 面 ABC, 进而可得结论; (2) F 到平面 A1EC 的距离等于 B 点到平面 A1EC 距离 BO 的一半,

可得 BO= 3 ,所以 VA1 ? EFC ? VF ? A1EC ,代入数据计算可得. 【题文】19.(本小题满分 14 分)
n ?1 n ? N * , 数列?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 等 .比 .数 .列 . ?cn ? 满 足 cn ?1 ? cn ? 10 ? 4

?

?

an ? l o g 2 cn .
(1)求 an , S n ; (2) 数列 ?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

是否存在正整数 m,? m ? 1? , , Tn为数列?bn ? 的前 n 项和,

使得 T1 , Tm , T6m 成等比数列?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由. 【知识点】数列递推式;等差数列与等比数列的综合.D1 D5 【答案解析】(1) an ? 2n ? 1, Sn ? n2 ; (2) 存在正整数 m ? 2 ,使得 T1 , Tm , T6m 成等比 数列。 解析:(1) c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4 ?2 分

c1 ? 4c1 ? 10

得 c1 ? 2

, cn ? 2 ? 4 n?1 ? 2 2n?1 ????????4 分

n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n 2 ??6 分 2 2 1 1? 1 1 ? (2)由(Ⅰ)知 bn ? ? ? ? ? 2 4n ? 1 2 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 于是 Tn ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????9 分 ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2n ? 1
所以 an ? log2 22n?1 ? 2n ? 1 ???5 分

Sn ?

6m ? m ? 1 假设存在正整数 m ? m ? 1? ,使得 T1 , Tm , T6m 成等比数列,则 ? ,11 ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 12m ? 1

2 整理得 4m ? 7m ? 2 ? 0 ,

2

解得 m ? ?

1 或 m?2 4
9

, 由 m ? N , m ? 1 ,得 m ? 2 ,
?

因此,存在正整数 m ? 2 ,使得 T1 , Tm , T6m 成等比数列

????????14 分

【思路点拨】 (1) 由已知令 n=1,n=2 可求,c1+c2,c2+c3,从而可求公比 q,及 c1,结合 等比数列的通项公式可求 cn,进而可求 an,结合等差数列的求和公式可求 sn; (2) 由(1) 知 bn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ? ,利用裂项可求 Tn,然后结合等比数列的性质可求满 4n ? 1 2 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 1
2

足条件的 m,k。 【题文】20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ax ? a , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ). x ?1
2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)求证:当 a ? 0 时,对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质.B12 【答案解析】(1) 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (??, ?1) ,

(1, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1) ,(1, ??) , 单调递减区间为 (?1,1) .
(2) 见解析。 解析:(1)函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ?( x) ?

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) . ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

当 a ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?1)

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

.??2 分

?


0

?


0

?


当 a ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?1)

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

?


0

?


0

?

.??4 分

综上所述,
10

当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) .??5 分 (2)由(1)可知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, 1) 上单调递增, f ( x) ? f (0) ; f ( x ) 在 (1, e] 上

f (e) ?
单调递减, 且

ae ?a ?a e ?1 .
2

所以 x ? (0,e] 时, f ( x) ? a .因为 g ( x) ? a ln x ? x ,

g ?( x ) ?
所以

a ?1 x ,

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? a .????7 分 ①当 0 ? a ? e 时,由 g ?( x) > 0 ,得 0 ? x ? a ;由 g ?( x) < 0 ,得 x ? a , 所以函数 g ( x) 在 (0, a ) 上单调递增,在 ( a, e] 上单调递减.所以 g ( x)max ? g (a) ? a ln a ? a . 因 a ? (a ln a ? a) ? a(2 ? ln a) ? a(2 ? ln e) ? a ? 0 , 对 任 意 x1 , x2 ? ? 0,e? , 总 有

g ( x1 ) ? f ( x2 ) .?10 分
②当 a ? e 时, g ?( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立, 所以函数 g ( x) 在 (0, e] 上单调递增, g ( x)max ? g (e) ? a ? e < a . 所以对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,仍有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . 综上所述,对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . ???????14 分

【思路点拨】(1) 先求函数 f(x)的导数,再对字母 a 进行分类讨论,根据导数大于 0 函数 单调递增,导数小于 0 时函数单调递减可得答案.(2) 欲证当 a>0 时,对于任意 x1,x2∈ (0,e],总有 g(x1)<f(x2)成立,只须证明对于任意 x1,x2∈(0,e],总有 g(x)max <f(x)min.然后分类讨论即可。 . 【题文】21. (本小题满分 14 分) 已 知 点 列 B1 (1, y1 ), B 2 (2,y 2 ), 点,点列 A 1 ( x1 , 0), A 2 ( x2 , 0), (1)证明数列 ?y n ?是等差数列;

B , n n ( y,n

), (n ? N *) 顺 次 为 直 线 y ?

x 上的 4

(n ? N *) 顺次为 x 轴上的点,其中 , An ( xn , 0), x1 ? a (0 ? a ? 1),对任意的 n ? N * ,点 An 、 Bn 、 An?1 构成以 Bn 为顶点的等腰三角形.

11

(2)求证:对任意的 n ? N * , xn? 2 ? xn 是常数,并求数列 ?xn ? 的通项公式; (3)试探究是否存在等腰直角三角形 An Bn An?1 ?并说明理由. 【知识点】等差关系的确定;数列的函数特性;三角形的形状判断.D2C8 【答案解析】(1)见解析; (2)见解析; (3) 当 n ? 1, 2,3 时,使得三角形 An Bn An?1 为等 腰直角三角形. 解析:(1)依题意有 y n ?

n 1 ,于是 y n ?1 ? y n ? .所以数列 ?y n ?是等差数列.………….2 分 4 4

(2)由题意得 Bn ( n, ) , An ( xn ,0) , An?1 ( xn?1 ,0) ,点 An 、 Bn 、 An?1 构成以 Bn 为顶点的 等腰三角形, ∴ | An Bn |?| An?1Bn | ,即 ( xn ? n) ? ( ) ? ( xn?1 ? n) ? ( )
2 2 2

n 4

n 4

n 4

2

2 2 得 xn ? 2nxn ? xn ?1 ? 2nxn?1 ? ( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ) ? 2n( xn?1 ? xn )

又∵ xn?1 ? xn ,∴ xn?1 ? xn ? 2n ,

①,

则 xn?2 ? xn?1 ? 2(n ? 1)
?



由②-①得, xn?2 ? xn ? 2 ,即数列 ?x2k ?1? ,?x2k ? (k ? N ) 都是等差数列. ----5 分 (注:可以直接由图像得到

x n ? x n ?1 ? n ,即 xn ? xn?1 ? 2n , ( n ? N ? ) ) 2
n ?1 ? 1) ? 2 ? a ? n ? 1, 2
n 2

当 n 为正奇数时, xn ? x1 ? (

当 n 为正偶数时,由 x2 ? x1 ? 2 得, x2 ? 2 ? a ,故 xn ? x2 ? ( ? 1) ? 2 ? n ? a ,

∴ xn ? ?

?a ? n ? 1, (n为正奇数) . ?n ? a, (n为正偶数)

-----------------------7 分

(2)假设存在等腰直角三角形 An Bn An?1 ,由题意 ?An Bn An?1 ? 90 .

n n ? . 4 2 n 3 ? (注:可以直接由图像得到 n ? xn ? ,? xn ? n , ( n ? N ) ) 4 4
在 Rt ?An Bn An ?1 中, | An An ?1 |?| xn ?1 ? xn |? 2 ? 当 n 为正奇数时, xn ? a ? n ?1 , xn?1 ? n ? 1 ? a ,

-----------8 分

∴ | xn?1 ? xn |?| n ? 1 ? a ? a ? n ? 1|?| 2 ? 2a |? 2(1 ? a) ,故有 2(1 ? a ) ? 2 ? 即1 ? a ?

n , 4

n n ,又∵ 0 ? a ? 1 ,∴ 0 ? 1 ? a ? 1 ,∴ 0 ? ? 1 ,即 0 ? n ? 4 , 4 4
12

∴当 n ? 1,3 时,使得三角形 An Bn An?1 为等腰直角三角形. 当 n 为正偶数时, xn ? n ? a , xn?1 ? a ? n ? 1 ? 1 ? a ? n , ∴ | xn?1 ? xn |?| a ? n ? n ? a |?| 2a |? 2a ,故有 2a ? 2 ? 又∵ 0 ? a ? 1 ,∴ 0 ? 直角三角形.

--------10 分

n n ,即 a ? , 4 4

n ? 1 ,即 0 ? n ? 4 , ∴当 n ? 2 时,使得三角形 An Bn An?1 为等腰 4

综上所述,当 n ? 1, 2,3 时,使得三角形 An Bn An?1 为等腰直角三角形. ------------14 分

1 1 3 , , 时,使得三角形 An Bn An?1 为等腰直角三角形.) 4 2 4 x n 【思路点拨】 (1)根据 Bn(n,yn)在直线 y ? 上可得 y n ? ,然后根据等差数列的定 4 4
(注:也可以回答为 a ? 义可知数列{yn}是等差数列; (2)由题意得

x n ? x n ?1 ? n ,则 xn+xn+1=2n,根据递推关系又有 xn+2+xn+1=2(n+1)两式 2

作差可得 xn+2﹣xn 是常数,从而 x1,x3,x5,…;x2,x4,x6,…都是等差数列,即可求出数 列{xn}的通项公式; (3)提出问题:若等腰三角形 AnBnAn+1 中,是否有直角三角形,若有,求出实数 a.讨论 n 的 奇 偶 , 求 出 |AnAn+1| , 要 使 等 腰 三 角 形 AnBnAn+1 为 直 角 三 角 形 , 必 须 且 只 须 : |AnAn+1|=2|BnCn|,从而求出 a 的值.

13


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