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山西省山西大学附中高三10月月考数学(理)


山西省山西大学附属中学 2013 届高三 10 月月考 数学(理)试题
(考查时间:120 分钟) 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? R, A ? x | x ? 2 x ? 0 , B ? x | 2 ? 2 ? 0 , 则 A ? (CU B) ? (
2 x

?

?


?

?



A. ? x | 0 ? x ? 2?

B. ? x | 0 ? x ? 1?

C. ? x | 0 ? x ? 1? ) C.

D. ? x | 0 ? x ? 2?

2. 复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是( B.

D. (1, ?1) 1 1 1 1 3.老师给学生出了一道题,“试写一个程序框图,计算 S=1+ + + + ”.发现同学们 3 5 7 9 有如下几种做法,其中有一个是错误的,这个错误的做法是 ( )

1 i A. (1,1)

(?1,1)

(?1, ?1)

4.对任意 x ? R , | 2 ? x | ? | 3 ? x |? a ? 4a 恒成立,则 a 的取值范围是(
2



A. [?1,5]

B. (?1,5]

C. [?1,5)

D. (?1,5)

5.在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, CD ? A.

1 CA ? ? CB ,则 ? =( 3

)

3 6.设 0< a <1,函数 f ( x) ? log a (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 A. (?? , 0) B. (0 , ? ?) C. (?? , log a 3) D. (log a 3 , ? ?)
7. 已知 {an } 为等比数列, s n 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2a7 的等差中项 为

2 3

B.

1

C. ?

1 3

D. ?

2 3

5 ,则 S 5 =( 4



A. 35 B. 33 C. 31 D. 29 8.设 f (x) 为偶函数,对于任意的 x ? 0 的数,都有 f (2 ? x) ? ?2 f (2 ? x) ,已知 ) f (?1) ? 4 ,那么 f (?3) 等于( A. 2 B. ? 2 C. 8 D. ? 8 3 sin ? 3 cos ? 2 ? 5? ? x ? x ? 4 x ? 1 ,其中 ? ? ?0, ? ,则导数 f ??? 1? 的取 9.设函数 f ?x ? ? 3 2 ? 6? 值范围是( A. [3,6] ) B. [3,4 ? 3 ] C. [4 ? 3,6] D. [4 ? 3 ,4 ? 3 ]

10.双曲线 心率等于( A.

y 2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 相切,则该双曲线的离 2 a b
) B. 5
3 2

5 2

C. 6
2

D.

6 2
)

11.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1处有极值 10 ,则 f (2) 等于( A. 11 或 18 B. 11 C. 18 D. 17 或 18

12.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , 长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱

DD1 上运动, 另一端点 N 在正方形 ABCD 内运动, 则 MN 的中点的轨迹的面积( )
A. 4? B. 2? C. ? D.

? 2

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量 为 n 的样本,其频率分布直方图如图所示, 其中支出在 ?50,60 ? 元的同学有 30 人,则 n 的值为____.

1 6 . ) 展开式中含 x 2 项的系数是 x ??? ???? ? 15.设 A、B、C、D 是半径为 2 的球面上的四个不同点,且满足 AB ? AC ? 0 , ???? ???? ???? ??? ? AC ? AD ? 0 , AD ? AB ? 0 ,用 S1、S2 、S3 分别表示△ ABC 、△ ACD 、△ ABD 的面 积,则 S1 ? S2 ? S3 的最大值是 .
14.设 a ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则二项式 (a x ?

16.给出以下四个命题: ①已知命题 p : ?x ? R, tan x ? 2 ;命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 则命题 p且q 是真命题;
2

②过点 (?1,2) 且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ; ③函数 f ( x) ? 2 ? 2 x ? 3 在定义域内有且只有一个零点;
x

④若直线 x sin ? ? y cos? ? 1 ? 0 和直线 x cos ? ?

? ? k? ?

?
2

或? ? 2k? ?

?
6

1 y ? 1 ? 0 垂直,则角 2

(k ? Z).

其中正确命题的序号为 . (把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题: (本大题共 70 分) 17.(本小题 10 分) 已知 A, B, C 为锐角 ?ABC 的三个内角, 向量 m ? (2 ? 2sin A,cos A ? sin A) ,

n ? ( 1 ? s iA , c o? n A s
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 y ? 2sin 2 B ? cos(

,且 ) As i n m ? n .

2? ? 2 B) 取最大值时角 B 的大小. 3

18. (本小题 12 分) 已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前 6 项和为 60 , a6 为 a1 和 a21 且 的等比中项. (I)求数列 {an } 的通项公式;
* (II)若数列 {bn } 满足 bn ?1 ? bn ? an (n ? N ) ,且 b1 ? 3 ,求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn 。 bn

19.(本小题 12 分)为了某项大型活动能够安全进行,警方从武警训练基地挑选防爆警察, 从体能、射击、反应三项指标进行检测,如果这三项中至少有两项通过即可入选。假定 某基地有 4 名武警战士(分别记为 A、B、C、D)拟参加挑选,且每人能通过体能、射 击、反应的概率分别为

2 2 1 , , 。这三项测试能否通过相互之间没有影响。 3 3 2

(I)求 A 能够入选的概率;

(II)规定:按人选人数得训练经费(每人选 1 人,则相应的训练基地得到 3000 元的 训练经费) ,求该基地得到训练经费的分布列与数学期望。

20.(本小题 12 分)下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. (Ⅰ)若 F 为 PD 的中点,求证: AF ? 面 PCD ; (Ⅱ)证明 BD / / 面 PEC ; (Ⅲ)求面 PEC 与面 PCD 所成的二面 角(锐角)的余弦值.

21. (本小题 12 分)设椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 2 2 a b

21 x y , O 为坐标原点。 ? ? 1 的距离 d ? 7 a b
(I)求椭圆 C 的方程; (II)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两点,证明:点 O 到直线

AB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值。

22.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ( x ? R, a ? 0) , ? 2 是 f (x) 的一
3 2

个零点,又 f (x) 在 x ? 0 处有极值,在区间 (?6,?4) 和 (?2,0) 上是单调的,且在这两个区 间上的单调性相反. (I)求

b 的取值范围; a

(II)当 b ? 3a 时,求使 ?y | y ? f ( x),?3 ? x ? 2? ? ?? 3,2?成立的实数 a 的取值范围.

山西大学附中 10 月月考数学(文理)参考答案

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)? m ? n ,

??

?

A ) n ? ( 2? 2 s i n ?( 1 As i?
? 2 ( 1? s 2i A n ?)
2

) A (? o sA c
2

s i A ? ) ( cA s n o?

sin

)

0

sA n? i

Ao s c
……………3 分 ………5 分

1 . 4 1 ? ? ?ABC 是锐角三角形,? cos A ? ? A ? . 2 3 ? 2cos2 A ? 1 ? 2cos 2 A ? cos 2 A ?
(Ⅱ)? ?ABC 是锐角三角形,且 A ?

?

3



?

?
6

?B?

?
2

? y ? 2sin 2 B ? cos(

2? 1 3 ? 2 B) ? 1 ? cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B ………7 分 3 2 2
………9 分 ……………10 分

?

3 3 ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? 3 sin(2 B ? ) ? 1 2 2 3

5 ?. 3 2 12 18.解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ( d ? 0 ),
当 y 取最大值时, 2 B ?

?

?

?

即B ?

则?

?6a1 ? 15d ? 60, ? 2 ?a1 ? a1 ? 20d ? ? ? a1 ? 5d ? , ?

解得 ?

? d ? 2, ? a1 ? 5,

∴ an ? 2n ? 3 .
*

(Ⅱ)由 bn ?1 ? bn ? an ,

∴ bn ? bn ?1 ? an ?1 n ? 2, n ? N

?

?,

bn ? ? bn ? bn ?1 ? ? ? bn ?1 ? bn ?2 ? ? ? ? ? b2 ? b1 ? ? b1

? an?1 ? an?2 ? ? ? a1 ? b1 ? ? n ? 1?? n ? 1 ? 4 ? ? 3 ? n ? n ? 2 ? .
* ∴ bn ? n ? n ? 2 ? n ? N .

?

?



1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? bn n ? n ? 2 ? 2 ? n n ? 2 ?

1 1 ? 3n 2 ? 5n 1? 1 1 1 1 1 ? 1?3 ? ? ? ? ? Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? . ? ? 2? 3 2 4 n n ? 2 ? 2 ? 2 n ? 1 n ? 2 ? 4 ? n ? 1?? n ? 2 ?
19. (文科做)解: (Ⅰ)∵ A 班的 5 名学生的平均得分为 (5 ? 8 ? 9 ? 9 ? 9) ÷ 5 ? 8 ,

方差 S12 ? [(5 ? 8)2 ? (8 ? 8)2 ? (9 ? 8)2 ? (9 ? 8)2 ? (9 ? 8)2 ] ? 2.4 ;??3 分

B 班的 5 名学生的平均得分为 (6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ÷ 5 ? 8 , ????????4 分 1 方差 S22 ? [(6 ? 8)2 ? (7 ? 8)2 ? (8 ? 8)2 ? (9 ? 8)2 ? (10 ? 8) 2 ] ? 2 . ??6 分 5 2 2 ∴ S1 ? S 2 , ∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些. ????????????8 分 (Ⅱ)从 B 班 5 名同学中任选 2 名同学的方法共有 10 种, ???????10 分 其 中 样 本 6 和 7 , 6 和 8 , 8 和 10 , 9 和 10 的 平 均 数 满 足 条 件 , 故 所 求 概 率 为
4 2 ????????12 分 ? . 10 5 19. (理科做)解: (1)设 A 通过体能、射击、反应分别记为事件 M、N、P 则 A 能够入选包含以下 几个互斥事件: MNP, MNP, MNP, MNP.

1 5

? P( A) ? P( MNP ) ? P( MNP) ? P( MNP) ? P( MNP) 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 12 2 (6 分) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 3 (2)记 ? 表示该训练基地得到的训练经费 0 3000 6000 9000 12000 ? P 8 24 32 16 81 81 81 81 8 24 32 16 E? ? 3000 ? ? 6000 ? ? 9000 ? ? 12000 ? ? 8000 (元) (12 分) 81 81 81 81
20.解: (Ⅰ)由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PA⊥面 ABCD, PA∥EB,PA=2EB=4.∵PA=AD,F 为 PD 的中点, ∴PD⊥AF,又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A, ∴CD⊥面 ADP,∴CD⊥AF.又 CD∩DP=D, ∴AF⊥面 PCD. (Ⅱ)取 PC 的中点 M,AC 与 BD 的交点为 N,连结 MN, ∴MN=

---------- 4 分

1 PA,MN∥PA, 2

∴MN=EB,MN∥EB,故四边形 BEMN 为平行四边形, ∴EM∥BN,又 EM ? 面 PEC,∴BD∥面 PEC. -------------7 分 (理科) (Ⅲ)分别以 BC,BA,BE 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 C( 4,0,0),D(4 ,4 , 0),E(0,0,2),A(0,4 ,0),P(0,4,4), ∵F 为 PD 的中点,∴F(2,4,2). ∵AF⊥面 PCD,∴ FA 为面 PCD 的一个法向量,

FA =(-2,0,-2),设平面 PEC 的法向量为 n =(x,y ,z), ?n ? CE ? 0 ?z ? 2x ? 则? , ∴? ,令 x=1,∴ n ? (1,?1,2) , ? n ? CP ? 0 ?? x ? y ? z ? 0 ?
∴ cos ? FA, n ??

---10 分

FA ? n | FA || n |

??

3 5? , ∴ FA 与 n 的夹角为 . 2 6

面 PEC 与面 PDC 所成的二面角(锐角)的余弦值为

3 . 2

----12 分[来

21.. 解: (I)由 e ?

1 c 1 得 ? 即a ? 2c,? b ? 3c. 2 a 2 21 x y , 由右焦点到直线 ? ? 1 的距离为 d ? 7 a b | bc ? ab | 21 x2 y2 ? , 解得 a ? 2, b ? 3. 所以椭圆 C 的方程为 得: ? ? 1. 7 4 3 a2 ? b2

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立消去 y 得 3x 2 ? 4(k 2 x 2 ? 2kmx ? m 2 ) ? 12 ? 0, 4 3 8km 4m 2 ? 12 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ? OA ? OB,? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0,
? x1 x 2 ? (kx1 ? m)( kx2 ? m) ? 0.
即 (k ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0,
2 2

? (k 2 ? 1)
|m|
2

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m ? 0, 整理得 7m 2 ? 12(k 2 ? 1) 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
12 2 21 ? . ??8 分 7 7

所以 O 到直线 AB 的距离

d?

k ?1 ? OA ? OB,? OA 2 ? OB 2 ? AB 2 ? 2OA ? OB ,当且仅当 OA=OB 时取“=”号。

?

AB 2 4 21 , , ? AB ? 2d ? 由 d ? AB ? OA ? OB得d ? AB ? OA ? OB ? 7 2 4 21 . 即弦 AB 的长度的最小值是 7
22.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d ,所以 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c
3 2 2

又 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,所以 f ?(0) ? 0 即 c ? 0 ……………………2 分 所以 f ?( x) ? 3ax ? 2bx
2

令 f ?( x) ? 0

所以 x ? 0 或 x ? ?

2b 3a

又因为 f ( x) 在区间 (?6 , ? 4) , (?2 , 0) 上是单调且单调性相反 所以 ?4 ? ?

2b b ? ?2 所以 3 ? ? 6 3a a
3 2

…………………6 分

(Ⅱ)因为 b ? 3a ,且 ?2 是 f ( x) ? ax ? 3ax ? d 的一个零点, 所以 f (?2) ? ?8a ? 12a ? d ? 0 ,所以 d ? ?4a ,从而 f ( x) ? ax ? 3ax ? 4a
3 2

所以 f ?( x) ? 3ax ? 6ax ,令 f ?( x) ? 0 ,所以 x ? 0 或 x ? ?2 …………8 分
2

列表讨论如下:列表讨论如下:

x

(?3 , ? 2)

?2
a?0

(?2, 0)

(0 , 2)
0

a?0
f ?( x)

a?0 a?0

a?0 a?0

2

+



0



+

0

+



f ( x)

?4a

?

?

0

?

?

?4a

?

?

16a

所以当 a ? 0 时,若 ?3 ? x ? 2 ,则 ?4a ? f ( x) ? 16a 当 a ? 0 时,若 ?3 ? x ? 2 ,则 16a ? f ( x) ? ?4a

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