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汕头市2016届普通高中毕业班教学质量监测(理数)


汕头市 2016 届普通高中毕业班教学质量监测 数学(理科)
注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否 正确;之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓 名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区, 请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答 案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答 案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.

第Ⅰ卷
一.选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1.已知集合 A. (0, ) , B. ( ,1) ,则 P ? Q ? ( D. (0.1) )

1 1 C. ( ?1, ) 2 2 4 (1 ? i ) ) 的虚部为( 2. i 是虚数单位,复数 ( ) 1? i
A.2

1 2

i

3.将函数 y ? sin( x ?

?

B.-2

C.

i

D.1

把图象上各点向左平移 A. y ? sin( 2 x ?

) B. y ? sin( x ? ) 2 6 6 2? 1 5? ) ) C. y ? sin( 2 x ? D. y ? sin( x ? 3 2 12 4. 已知 ? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ;
③若 ? ? ? ? m, n // m ,且 n ? ? , n ? ? ,,则 n // ? , n // ? ④若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; 其中真命题的个数是 ( A.0 B.1 C .2 ) D.3

? 个单位长度,则所得的图象的解析式为( 4 5? 1 ?

6

)( x ? R) 的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的
)

1 倍,再 2

1

6.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,从“n=k 到 n=k+1” 左端需增乘的代数式为( )

2k ? 3 2k ? 1 D. k ?1 k ?1 7. 如果执行右边的程序框图,且输入 n ? 6 , m ? 4 ,则输出的 p ? ( )
A.2(2k+1) B.2k+1 C. A.240 C.720 8.已知 sin(? ? A. B.120 D.360

7 9

1 2? ) 的值是( ,则 cos(2? ? 6 3 3 1 1 7 B. C. ? D. ? 3 3 9 )?

?



9.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 5 名教师去 3 个边远地区支教 (每地至少 1 人),其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地, 则不同的选派方案共有( A.27 B.30 )种. C.33 D.36 (第 7 题图)

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 10. 当实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围( ) ?x ? 1 ? 3 3 A. [1, ] B. [?1,2] C. [?2,3] D. [1, ) 2 2 2 lg(1 ? x ) x ?1 2 11.已知函数 f 1 ( x) ? 2 ; f 2 ( x) ? ?x ? 1? ? ; f 3 ( x ) ? log a ( x ? x ? 1) , x ?1 x ?2 ?2

1? ? 1 (a ? 0, a ? 1) ; f 4 ( x) ? x ? ? x ? ? , ?x ? 0? ,下面关于这四个函数奇偶性的判断 ? 2 ?1 2 ?
正确的是( ) A.都是偶函数 B.一个奇函数,一个偶函数,两个非奇非偶函数 C.一个奇函数,两个偶函数,一个非奇非偶函数 D. 一个奇函数,三个偶函数 12. 若过点 A(2, m)可作函数 f ( x) ? x ? 3x 对应曲线的三条切线, 则实数 m 的取值范围 (
3



A. [?2,6]

B. (?6,1)

C. (?6,2)

D. (?4,2)

2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。第 22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。) 13. 在某项测量中,测量结果 ? ~ N 1, ? 2 ,若 ? 在 ?0,2? 内取值的概率为 0 .8, 则 ? 在 ?? ?,2? 内取 值的概率为___________.

?

?

14.在 (1 ? x)(1 ? x) 5 的展开式中 x 的系数是 (用数字作答). 15.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 . 2a sin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C. 则 A 的大小是
4

D A B

16. 如图,已知点 A、B、C、D 是球 O 的球面上四点,DA ? 平面 ABC, AB ? BC,DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于___________. 三.解答题:( 本大题 8 个小题 ,共 70 分,解答须写出文字说明、证明过程、 C 演算步骤。) 17. (本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 ? a (a ? 0) ,该数列的前 n 项和为 Sn , 且

1 , a1

1 1 , 成等比数列, a2 a4 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式及 Sn ; 1 1 (Ⅱ) 设 bn ? , , 且 Bn 、 cn ? C n 分别为数列 ?bn ? , Sn a 2n ?1

?cn ?的前 n 项和,当 n ? 2 时,试比较 Bn 与 Cn 的大小。

D E

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在 Rt△ACD 中, AH ? CD, H 为垂足, CD=4, AD= 2 3 ,?CAD ? 90? , 以 CD 为轴, 将△ACD 按逆时针方向旋转 90° 到△BCD 位置, E 为 AD 的中点: (Ⅰ)证明:AB⊥CD (Ⅱ)求二面角 B-CE-D 的平面角的余弦值。

A B C

19. (本小题满分 12 分)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸 2 7 出 1 个球, 得到黑球的概率是 ; 从袋中任意摸出 2 个球, 至少得到 1 个白球的概率是 . 5 9 (Ⅰ)若袋中共有 10 个球,(i)求白球的个数;(ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白 球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的数学期望 E? . 7 (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 .并指出袋中哪 10 种颜色的球个数最少.

3

20.(本小题满分 12 分)如图在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和 圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (Ⅰ)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长 为 2 3,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷 多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直 线 l2 被 C2 截得的弦长相等.试求所有满足条 件的点 P 的坐标. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)若函数 f ( x) 在[

1 2 ax ? (a 2 ? 1) x ? a ln x . 2

1 ,e]上单调递减,求实数 a 的取值范围; e

(Ⅱ)当 a ? ? 0, ? 时,求 f ( x) 在[1,2]上的最大值和最小值.(注意: ln 2 ? 0.7 )

? ?

3? 5?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写 清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1(几何证明选讲) 已知 AD 为圆 O 的直径,直线BA与圆O相切与点 A, 直线 OB 与弦 AC 垂直并相交于点 G,与弧 AC 相交于 M,连接 DC,AB=10,AC=12。 (Ⅰ)求证:BA· DC=GC· AD; (Ⅱ)求 BM。 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4(坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 , 以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐 标系,直线 l 的参数方程为 ? ?
? x ? 1? ? ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ? t 2

( t 为参数).

(Ⅰ)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程;
/ ? ?x ? 2x C (Ⅱ)设曲线 经过伸缩变换 ? / 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) , ? y ? y ?

求 x ? 2 3 y 的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5(不等式选讲) 已知 a+b=1,对 ? a ,b∈(0,+∞), (Ⅰ)求

1 4 + ≥|2x-1|-|x+1|恒成立, a b

1 4 + 的最小值; a b

(Ⅱ)求 x 的取值范围。

4

数学(理科)参考答案
选择题:ABCCC ADDBA CC 6、试题分析:考点:数学归纳法 当 n ? k 时,原式是 ?k ? 1??k ? 2?......? ?k ? k ? ,

?k ? k ??2k ? 1??2k ? 2? , 当 n ? k ? 1 时,变为 ?k ? 2??k ? 3?......
所以增乘的代数式是

?2k ? 1??2k ? 2? ? 2?2k ? 1? ?k ? 1?
14、 -5 15、

一、填空题:13、 0.9 二、解答题:

2? , 或 120? 3

16、

9? 2

17.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论思 想。 解:(I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由 (

1 2 1 1 ) ? ? , ………………………1 分 a2 a1 a4

得 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,因为 d ? 0 ,所以 d ? a ………………………2 分 所以 an ? na ………………………3 分

an ? na1 , S n ?

an(n ? 1) . ………………………4 分 2

(II)解:因为

1 2 1 1 ? ( ? ) ,所以 Sn a n n ? 1

B An ?

1 1 1 1 2 1 ? ? ??? ? (1 ? ) ………………………6 分 S1 S2 S3 Sn a n ?1
n?1

因为 a2n?1 ? 2

a ,所以

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 2 (1 ? 1 ). ………………………9 分 Bn ? ? ??? ? ? C n ? a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 a 2n 2
当 n ? 2时, 2 ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? n ? 1 ,………………………11 分
n 0 1 2 n

即1 ?

1 1 ? 1? n , n ?1 2

所以,当 a ? 0时, A 分 B ? CB n ………………………12 nn < n;

5

18、证明:(Ⅰ)? DC ? AH , DC ? BH , AH ? BH ? H …………1 分

DC ? 平面 ABH ,又因为 AB ? 平面 ABH ………………………3 分 所以 AB ? CD ………………………4 分
(Ⅱ)分别以 HA, HB, HD 为 x, y , z 轴,建立如图所示的直角坐标系 由已知条件不难求得: AH ? HB ? 3, HD ? 3, HC ? 1 ………………………5 分 所以 A( 3,0,0) , B(0, 3,0) , C (0,0,?1) , D(0,0,3) ………………………6 分 又因为点 E 为中点,所以点 E (

3 3 ,0, ) 2 2

所以 CE ? (

3 3 3 5 ,0, ) , BE ? ( ,? 3, ) , HB ? (0, 3,0) …………7 分 2 2 2 2

设平面 BCE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z)

? ?n ? CE ? ? 所以 ? ?n ? BE ? ? ?

3 5 x? z ?0 3 3 2 2 令 x ? 3 解得: y ? ,z ? ? 5 5 3 3 x ? 3y ? z ? 0 2 2
3 3 ,? ) …………9 分 5 5

所以平面 BCE 的一个法向量为 n ? ( 3 ,

又 HB ? 平面 DEC ,所以向量 HB ? (0, 3,0) 为平面 DEC 的一个法向量……10 分

设所求二面角是 ? ,所以 cos? ?

n ? HB n ? HB

? 3?

3 5 3 9 ? ? 3 25 25

?

29 ……12 分 29

19.本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念,同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力. 解:(Ⅰ)(i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A, C2 7 设袋中白球的个数为 x ,则 P ( A) ? 1 ? 102? x ? ,………………………2 分 C10 9 得到 x ? 5 .故白球有 5 个.………………………3 分 (ii)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3,分布列是………………………4 分

?

0
1 12

1
5 12

2
5 12

3
1 12

P

6

………………………6 分 注解:(每算对 2 各给 1 分) ? 的数学期望
E? ? 1 5 5 1 3 ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? .………………………8 分 12 12 12 12 2

2 (Ⅱ)证明:设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球,由题意得 y ? n , 5

所以 2 y ? n , 2 y ≤ n ? 1 ,故

y 1 ≤ .………9 分 n ?1 2

记“从袋中任意摸出两个球,至少有 1 个黑球”为事件 B,则 2 3 y 2 3 1 7 P( B ) ? ? ? ≤ ? ? ? .………11 分 5 5 n ? 1 5 5 2 10
2 n 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于 n ,红球的个数少于 . 5 5

故袋中红球个数最少.………12 分 20. 解:(Ⅰ)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.………1 分 设直线 l 的方程为 y=k(x-4),………2 分 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为圆 C1 被直线 l 截得的弦长为 2 3, 所以 d= 22-? 3?2=1. ………3 分 |1-k?-3-4? | 由点到直线的距离公式得 d= ,………4 分 1+k2 7 从而 k(24k+7)=0,即 k=0 或 k=- ,………5 分 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0. ………6 分

(Ⅱ)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0, 1 则直线 l2 的方程为 y-b=- (x-a).………7 分 k 因为圆 C1 和 C2 的半径相等,且圆 C1 被直线 l1 截得的弦长与圆 C2 被直线 l2 截得的弦长相等, 所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即 1 |5+ ? 4 -a?-b| k |1-k?-3-a?-b| = ,………9 分 1 1+k2 1+ 2 k 整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,………10 分 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5, 因为 k 的取值有无穷多个,所以 ?a+b-2=0, ?a-b+8=0, ? ? ? 或? ………11 分 ? ? ?b-a+3=0, ?a+b-5=0,
7

?a=2, 解得? 1 ?b=-2,

5

?a=-2, 或? 13 ?b= 2 .

3

5 1? ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ?2,-2?或点 P2?-2, 2 ?. 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.………12 分

1 ,e]上单调递减, e a 1 ? f , ( x) ? ax ? ? (a 2 ? 1) ? 0 在[ ,e]上恒成立………………………1 分 x e
21.解(Ⅰ)? f ( x) 在[ 方法一:? ax ?

a ? (a 2 ? 1) x

?

a ? 2 a ?1

1 x? 1 x

在[

1 ,e]上恒成立………2 分 e

令 g ( x) ? x ? 1 x

?1 ? 1 ( x ? ? , e? ) g , ( x) ? 1 ? 2 x ?e ?

, ?1 ? ( x ? ? , e?) 令 g ( x) ? 0 则 x ? 1 ?e ?

1 当 ? x ? 1时g , ( x) ? 0 ; e 1 x e

当 1 ? x ? e时g , ( x) ? 0
1 ( ,1) e
1 0 极小值 2

(1, e)
+

e
/

y,
y

/

e?

1 e

?

?

e?

1 e

? g ( x) ? x ?

1 1 ?e? x e

?

1 x? 1 x

?

e ………4 分 e ?1
2

a e ? 2 ? ea 2 ? (e 2 ? 1)a ? e ? (ea ? 1)( a ? e) ? 0 a ?1 e ?1 1 ? a ? 或a ? e ……………6 分 e a 2 方法二:? ax ? ? (a ? 1) (可做如下分类讨论) x ?
2

(1)当 a ? 0 时,结论显然成立………………………2 分 (2)当 a ? 0 时,可化为: x ? 显然,当 x ? (0,??) 时,

1 1 1 ? a ? 对任意 x ? [ ,e]上恒成立………3 分 x a e

1 在 ?0,1? 上是减函数,在 ?1,??? 上是增函数。…………4 分 x 1 1 所以要使得 h( x) ? h(a) 在 x ? [ ,e]上恒成立,只需 0 ? x ? 或 x ? e .………5 分 e e
对钩函数 h ( x ) ? x ?
8

综上:? a ?
,

1 或a ? e e

(Ⅱ) ? f ( x) ? ax ? 令 f , ( x) ? 0 则 x ? ① 当0 ? a ?

a ax2 ? (a 2 ? 1) x ? a (ax ? 1)(x ? a) ? (a 2 ? 1) ? ? x x x

1 或x ? a . a

1 时f , ( x) ? 0 .? f ( x) 在[1,2]上单调递减. 2 y max ? f (1) ? 1 a ? (a 2 ? 1) ………………8 分 2

? y min ? f (2) ? 2a ? 2(a 2 ? 1) ? a ln 2
②当

1 3 ?a? 时 2 5 1 当1 ? x ? 时 f , ( x) ? 0 a 1 当 ? x ? 2时 f , ( x) ? 0 a 1 1 ? y min ? f ( ) ? ?a ? ? a ln a ………………9 分 a 2a 3 f (2) ? f (1) ? a ? (a 2 ? 1) ? a ln 2 2 3 1 3 令h( x) ? x ? ( x 2 ? 1) ? x ln 2 ( ?x? ) 2 2 5 3 1 3 ? h , ( x) ? ? 2 x ? ln 2 ? ? x ? ? h , ( x) ? 0 2 2 5 1 3 3 9 34 3 1 ? y ? h( x)在 ? x ? 上单调递增 ? hmax ( x) ? h( ) ? ? ? ln 2 ? ?0 2 5 5 10 25 5 25 1 ? f (1) ? f (2) ? f max ? f (1) ? a ? (a 2 ? 1) ………………11 分 2
综上所述: (1) 当0 ? a ?

1 时 2 y max ? f (1) ? 1 a ? (a 2 ? 1) 2

y min ? f (2) ? 2a ? 2(a 2 ? 1) ? a ln 2 1 3 ?a? 时 2 5 1 1 y min )2 ?a? a2 ? ?1a lna aln 2 y min ?? f (f2() ? ? (a 2 ? )? a 2a
(2) 当

y max ? f (1) ?

1 a ? (a 2 ? 1) ……12 分 2

选做题 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1(几何证明选讲)
0 (Ⅰ)证明:因为 AC ? OB ,所以 ?AGB ? 90

又 AD 是圆 O 的直径,所以 ?DCA ? 90 ………………………1 分
0

9

又因为 ?BAG ? ?ADC (弦切角等于同弧所对圆周角)………………………2 分

BA AG ? ………………………3 分 AD DC 又因为 OG ? AC ,所以 GC ? AG ………………………4 分 BA GC ? 所以 ,即 BA ? DC ? GC ? AD ………………………5 分 AD DC (Ⅱ)解:因为 AC ? 12 ,所以 AG ? 6 ,
所以 Rt ?AGB ∽ Rt ?DCA ,所以 因为 AB ? 10 ,所以 BG ?

AB2 ? AG2 ? 8 ………………………6 分
AB BG ? AD AC

由(1)知: Rt ?AGB ∽ Rt ?DCA ,所以

所以 AD ? 15 ,即圆的直径 2r ? 15 ………………………8 分
2 又因为 AB ? BM ? ? BM ? 2r ? ,即 BM ? 15BM ? 100 ? 0 ………………9 分

2

解得 BM ? 5 .………………………10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4(坐标系与参数方程) 解 :(I)直线 l 的方程为: 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 .……………………………2 分 曲线 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? 1 ………………………………………4 分 (II)∵ ?

? x? ? 2 x, ? y? ? y

x? ? x? , ? ( x?) 2 ∴将 ? 代入 ,得 : ? C C 2 ? ( y ?) 2 ? 1 , 4 ? ? y ? y?
即椭圆 C ? 的方程为 x ? y 2 ? 1 .
2

………………………………6 分

4

设椭圆的 C ? 参数方程为 ?

? x ? 2 cos? , ? ( 为参数),……………………………8 分 y ? sin ? ?

x ? 2 3 y ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4 sin(? ?

? ………………………………9 分 )
6

∴ x ? 2 3 y 的最小值为 ? 4 . ……………………………………10 分 24. 解:(Ⅰ)∵ a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,

1 4 1 4 b 4a ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ? ? 9 ,…………………3 分 a b a b a b b 4a 1 2 1 4 当且仅当 ? ,即 a ? , b ? 时, ? 取最小值 9.……………4 分 a b 3 3 a b


10

(Ⅱ)因为对 a, b ? (0, ??) ,使 所以

1 4 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立, a b

2x ?1 ? x ? 1 ? 9

, …………………6 分 解得 ?7 ? x ? ?1 ;…………………7 分

当 x ? ?1 时,不等式化为 2 ? x ? 9 , 当 ?1 ? x ?

1 1 时,不等式化为 ?3x ? 9 ,解得 ?1 ? x ? ;…………………8 分 2 2 1 1 当 x ? 时,不等式化为 x ? 2 ? 9 , 解得 ? x ? 11 ;…………………9 分 2 2 ∴ x 的取值范围为 ?7 ? x ? 11 . …………………10 分

11


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