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1.1 集合的概念与运算


§ 1.1

集合的概念与运算

【2014 高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性,以集合中含参数的元素为背景,探求 参数的值;2.求几个集合的交、并、补集;3.通过集合中的新定义问题考查创新能力. 【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论,重视空集的特殊性;2.会利用 Venn 图、数轴等工 具对集合进行运算;3.重视对集合中新定义问

题的理解.

1. 集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 符号 2. 集合间的关系 (1)子集:对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). (2)真子集:若 A?B,且 A≠B,则 A?B(或 B?A). (3)空集:空集是任意一个集合的子集,是任何非空集合的真子集.即??A,??B(B≠?). (4)若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1 个. (5)集合相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. 3.集合的运算 集合的并集 图形 集合的交集 集合的补集 自然数集 N 正整数集 N*(或 N+) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

符号 4. 集合的运算性质 并集的性质:

A∪B={x|x∈A 或 x∈B}

A∩B={x|x∈A 且 x∈B}

?UA={x|x∈U,且 x? A}

A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. [难点正本 疑点清源] 1. 正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特征,尤其是“确定性和互异性” 在解题中要注意运用. 在解决含参数问题时, 要注意检验, 否则很可能会因为不满足“互 异性”而导致结论错误. 2. 注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非 空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的 情况. 3. 正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元素 0 的集合,它不是空集,因为它 有一个元素, 这个元素是 0.{?}是含有一个元素?的集合. ??{0}, ??{?}, ?∈{?}, {0}∩{?} =?.

1. (2012· 江苏)已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∪B=________. 答案 {1,2,4,6}

解析 A∪B 是由 A,B 的所有元素组成的. A∪B={1,2,4,6}. 2. 已知集合 A={x|a-1≤x≤1+a},B={x|x2-5x+4≥0},若 A∩B=?,则实数 a 的取值 范围是________. 答案 (2,3)

解析 集合 B 中,x2-5x+4≥0,∴x≥4 或 x≤1. 又∵集合 A 中 a-1≤x≤1+a. ∵A∩B=?,∴a+1<4 且 a-1>1,∴2<a<3.

3. 已知集合 A={-1,2},B={x|mx+1=0},若 A∪B=A,则 m 的可能取值组成的集合为 ________. 1? ? 答案 ?0,1,-2?
? ?

解析 ∵A∪B=A,∴B?A, ∴当 B=?时,m=0; 当-1∈B 时,m=1; 1 当 2∈B 时,m=- . 2 1 ∴m 的值为 0,1,- . 2 4. (2012· 江西)若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的 个数为 A.5 答案 C 解析 当 x=-1,y=0 时,z=x+y=-1; 当 x=1,y=0 时,z=x+y=1; 当 x=-1,y=2 时,z=x+y=1; 当 x=1,y=2 时,z=x+y=3, 由集合中元素的互异性可知集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},即元素的个数 为 3. 5. (2011· 北京)已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围为( A.(-∞,-1] C.[-1,1] 答案 C 解析 由 P={x|x2≤1}得 P={x|-1≤x≤1}. 由 P∪M=P 得 M?P.又 M={a},∴-1≤a≤1. B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞) ) B.4 C .3 D.2 ( )

题型一 集合的基本概念 例1 (1)下列集合中表示同一集合的是 A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} ( )

D.M={2,3},N={(2,3)} b ? ? (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 b-a=________.
? ?

思维启迪:解决集合问题首先要考虑集合的“三性”:确定性、互异性、无序性,理解 集合中元素的特征. 答案 解析 (1)B (2)2 (1)选项 A 中的集合 M 表示由点(3,2)所组成的单点集,集合 N 表示由点(2,3)所组

成的单点集,故集合 M 与 N 不是同一个集合.选项 C 中的集合 M 表示由直线 x+y=1 上的所有的点组成的集合,集合 N 表示由直线 x+y=1 上的所有的点的纵坐标组成的集 合,即 N={y|x+y=1}=R,故集合 M 与 N 不是同一个集合.选项 D 中的集合 M 有两 个元素,而集合 N 只含有一个元素,故集合 M 与 N 不是同一个集合.对选项 B,由集 合元素的无序性,可知 M,N 表示同一个集合. b ? ? (2)因为{1,a+b,a}=?0,a,b?,a≠0,
? ?

b 所以 a+b=0,得 =-1, a 所以 a=-1,b=1.所以 b-a=2. 探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征,分清点集、数集;(2)要特别注

意集合中元素的互异性,在解题过程中最容易被忽视,因此要对计算结果进行检验,防 止所得结果违背集合中元素的互异性. 若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a=________. 9 答案 0 或 8 解析 ∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3 9 9 当 a≠0 时,Δ=(-3)2-4a×2=0,∴a= .故 a=0 或 . 8 8 题型二 集合间的基本关系 例2 已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,求实数 m 的取值 范围. 思维启迪:若 B?A,则 B=?或 B≠?,要分两种情况讨论. 解 当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B?A,如图.

m+1≥-2 ? ? 则?2m-1≤7 ? ?m+1<2m-1

,解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为 m≤4. 探究提高 (1)集合中元素的互异性,可以作为解题的依据和突破口;(2)对于数集关系问 题, 往往利用数轴进行分析; (3)对含参数的方程或不等式求解, 要对参数进行分类讨论. 已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是 (c,+∞),其中 c=________. 答案 4 解析 由 log2x≤2,得 0<x≤4,

即 A={x|0<x≤4}, 而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4. 题型三 集合的基本运算 例3 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?, 则 m 的值是________. 思维启迪:本题中的集合 A,B 均是一元二次方程的解集,其中集合 B 中的一元二次方 程含有不确定的参数 m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(?UA)∩B=?对集 合 A,B 的关系进行转化. 答案 1 或 2 解析 A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B?A, ∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠?. ∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}. ①若 B={-1},则 m=1; ②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)· (-2)=4,这两式不 能同时成立,∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且 m=(-1)· (-2)=2,由 这两式得 m=2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2. 探究提高 本题的主要难点有两个:一是集合 A,B 之间关系的确定;二是对集合 B 中 方程的分类求解.集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系,这

些联系通过 Venn 图进行直观的分析不难找出来, 如 A∪B=A? B? A, (? UA)∩B=? ? B? A 等,在解题中碰到这种情况时要善于转化,这是破解这类难点的一种极为有效的方法. 设全集是实数集 R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 解 1 (1)∵A={x| ≤x≤3}, 2

当 a=-4 时,B={x|-2<x<2}, 1 ∴A∩B={x| ≤x<2},A∪B={x|-2<x≤3}. 2 1 (2)?RA={x|x< 或 x>3}, 2 当(?RA)∩B=B 时,B??RA,即 A∩B=?. ①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B??RA; ②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a}, 1 1 要使 B??RA,需 -a≤ ,解得- ≤a<0. 2 4 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a≥- . 4 题型四 集合中的新定义问题 例4 (2011· 广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果?a,b∈S,有 ab∈S,则称 S 关于数

的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V=Z,且?a,b,c∈T, 有 abc∈T;?x,y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是 A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 思维启迪:本题是一道新定义问题试题,较为抽象,题意难以理解,但若“以退为进”, 取一些特殊的数集代入检验,即可解决. 答案 A 解析 不妨设 1∈T,则对于?a,b∈T,∵?a,b,c∈T,都有 abc∈T,不妨令 c=1, 则 ab∈T,故 T 关于乘法是封闭的,故 T、V 中至少有一个关于乘法是封闭的;若 T 为 偶数集,V 为奇数集,则它们符合题意,且均是关于乘法是封闭的,从而 B、C 错误; 若 T 为非负整数集,V 为负整数集,显然 T、V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T∪V= Z,且?a,b,c∈T,有 abc∈T,?x,y,z∈V,有 xyz∈V,但是对于?x,y∈V,有 xy>0,xy?V,D 错误.故选 A. ( )

探究提高 本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力, 解题时要充分理解题目的含义, 进行全面分析,灵活处理. 已知集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若有 x-1?A, 且 x+1?A,则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子 集共有________个. 答案 6 解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”,如{0,1,2,3},{0,1,3,4}, {0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},这样的集合共有 6 个.

集合中元素特征认识不明致误

典例:(5 分)(2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8 D.10 ( )

易错分析 本题属于创新型的概念理解题,准确地理解集合 B 是解决本题的关键,该题 解题过程易出错的原因有两个,一是误以为集合 B 中的元素(x,y)不是有序数对,而是 无序的两个数值;二是对于集合 B 的元素的性质中的“x∈A,y∈A,x-y∈A”,只关 注“x∈A,y∈A”,而忽视“x-y∈A”的限制条件导致错解. 解析 ∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5}, ∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}, ∴B 中所含元素的个数为 10. 答案 D 温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面:一是要注意集合中代表元素的字 母符号,区分 x、y、(x,y);二是准确把握元素所具有的性质特征,如集合{x|y=f(x)}表 示函数 y=f(x)的定义域,{y|y=f(x)}表示函数 y=f(x)的值域,{(x,y)|y=f(x)}表示函数 y =f(x)图象上的点.

遗忘空集致误 典例:(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成 的集合为__________. 易错分析 从集合的关系看,S?P,则 S=?或 S≠?,易遗忘 S=?的情况.

解析

(1)P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S?P;

1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=- , a 1 1 为满足 S?P 可使- =-3 或- =2, a a 1 1? 1 1 ? 即 a= 或 a=- .故所求集合为?0,3,-2?. 3 2 ? ? 1 1? ? 答案 ?0,3,-2?
? ?

温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是 抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽 1 略对空集的讨论,如 S=?时,a=0;二是易忽略对字母的讨论.如- 可以为-3 或 2. a 因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.

方法与技巧 1. 集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检 验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2. 对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系, 求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. 3. 对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的 又一体现. 失误与防范 1. 空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注 对空集的讨论,防止漏解. 2. 解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 3. 解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解 的两个先决条件. 4. Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示 法要特别注意端点是实心还是空心. 5. 要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2012· 广东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM 等于 A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 答案 C 解析 ∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},∴?UM={3,5,6}. 2. (2011· 课标全国)已知集合 M={0,1,2,3,4}, N={1,3,5}, P=M∩N, 则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 答案 B 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},∴M∩N={1,3}. ∴M∩N 的子集共有 22=4 个. 3. (2012· 山东)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 ( A.{1,2,4} C.{0,2,4} 答案 C 解析 ∵?UA={0,4},B={2,4},∴(?UA)∪B={0,2,4}. 4. 已知集合 M={x| A.? C.{x|x>1} 答案 C
? ?x≠1, x 解析 由 ≥0,得? x-1 ?x?x-1?≥0, ?

(

)

)

)

B.{2,3,4} D.{0,2,3,4}

x ≥0,x∈R},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于 x-1 B.{x|x≥1} D.{x|x≥1 或 x<0}

(

)

∴x>1 或 x≤0,∴M={x|x>1 或 x≤0},N={y|y≥1}, M∩N={x|x>1}. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=__________. 答案 -1 或 2

解析 由 a2-a+1=3,得 a=-1 或 a=2,经检验符合.由 a2-a+1=a,得 a=1,由 于集合中不能有相同元素,所以舍去.故 a=-1 或 2. 6. 已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B= _________. 答案 {(0,1),(-1,2)}

解析 A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合, 代入验证即可. 7. (2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B= (-1,n),则 m=________,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n}, B={x|(x-m)(x-2)<0},所以 m=-1,n=1. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 解 由已知得 A={x|-1≤x≤3},

B={x|m-2≤x≤m+2}.
?m-2=0, ? (1)∵A∩B=[0,3],∴? ? ?m+2≥3.

∴m=2.

(2)?RB={x|x<m-2 或 x>m+2},∵A??RB, ∴m-2>3 或 m+2<-1,即 m>5 或 m<-3. 9. (12 分)设符号@是数集 A 中的一种运算:如果对于任意的 x,y∈A,都有 x@y=xy∈A, 则称运算@对集合 A 是封闭的.设 A={x|x=m+ 2n,m、n∈Z},判断 A 对通常的实数 的乘法运算是否封闭? 解 设 x=m1+ 2n1, y=m2+ 2n2, 那么 xy=(m1+ 2n1)×(m2+ 2n2)=(m1n2+m2n1) 2 +m1m2+2n1n2. 令 m=m1m2+2n1n2,n=m1n2+m2n1,则 xy=m+ 2n, 由于 m1,n1,m2,n2∈R,所以 m,n∈R. 故 A 对通常的实数的乘法运算是封闭的.

B 组 专项能力提升

(时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2012· 湖北)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析 用列举法表示集合 A,B,根据集合关系求出集合 C 的个数. 由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 2. (2011· 安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是 A.57 B.56 C.49 D.8 答案 B 解析 由 S?A 知 S 是 A 的子集,又∵A={1,2,3,4,5,6},∴满足条件 S?A 的 S 共有 26 =64(种)可能.又∵S∩B≠?,B={4,5,6,7,8},∴S 中必含 4,5,6 中至少一个元素,而在 满足 S?A 的所有子集 S 中,不含 4,5,6 的子集共有 23=8(种),∴满足题意的集合 S 的可 能个数为 64-8=56. 1 3. (2011· 湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP 等于 x 1 ? A.? ?2,+∞? C.(0,+∞) 答案 A 解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}, 1 1 P={y|y= ,x>2}={y|0<y< }, x 2 1 1 ,+∞?. ∴?UP={y|y≥ }=? ? 2 ?2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. (2012· 陕西改编)集合 M={x|lg x>0},N={x|x2≤4},则 M∩N=____________. 答案 (1,2] 1? B.? ?0,2? 1 ? D.(-∞,0]∪? ?2,+∞? ( ) ( ) ( )

解析 M={x|lg x>0}={x|x>1}, N={x|x2≤4}={x|-2≤x≤2}, ∴M∩N={x|x>1}∩{x|-2≤x≤2}={x|1<x≤2}. y-3 5. 已知 M={(x,y)| =a+1},N={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},若 M∩N=?,则 a x-2

的值为____________. 5 答案 1,-1, ,-4 2 解析 集合 M 表示挖去点(2,3)的直线, 集合 N 表示一条直线, 因此由 M∩N=?知, 点(2,3) 5 在集合 N 所表示的直线上或两直线平行,由此求得 a 的值为 1,-1, ,-4. 2 6. 设 A={x||x|≤3},B={y|y=-x2+t},若 A∩B=?,则实数 t 的取值范围是__________. 答案 (-∞,-3)

解析 A={x|-3≤x≤3},B={y|y≤t}, 由 A∩B=?知,t<-3. 三、解答题 1 5 7. (13 分)已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y= x2-x+ ,0≤x≤3}. 2 2 (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)当 a 取使不等式 x2+1≥ax 恒成立的 a 的最小值时,求(?RA)∩B. 解 A={y|y<a 或 y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.
2 ? ?a +1≥4, (1)当 A∩B=?时,? ?a≤2, ?

∴ 3≤a≤2 或 a≤- 3. (2)由 x2+1≥ax,得 x2-ax+1≥0, 依题意 Δ=a2-4≤0,∴-2≤a≤2. ∴a 的最小值为-2. 当 a=-2 时,A={y|y<-2 或 y>5}. ∴?RA={y|-2≤y≤5},∴(?RA)∩B={y|2≤y≤4}.


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