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广元市实验中学2014级高三考试—数学


广元市实验中学 2014 级高三九月份考试 数学(理科)试卷
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分,考试用时 120 分钟。 2.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位 置上。 3.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦

干净后,再选涂其他答案标号。 4. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置, 超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 5. 保持答题卡卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液,修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1、已知集合 N ? {x | lg (A) {x | ?2 ? x ? 4} 2、已知复数 z ? A.-2

x ? 0},集合 M ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0},则 M ? N ? ( C )
(C) {x | 1 ? x ? 4} (D) {x | x ? ?2}

(B) {x | x ? 1}

2 ? ai 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 a 的值可以是( A) 2?i
B.1 C.2 D.3

3、设向量 a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的( A ) (A)充分不必要条件 (C)充要条件 4、函数 y= (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 的定义域是( C )

(A).[1,2]

( B).[1,2)

(C).

(D).

5、如图是某几何体的三视图,图中圆的半径为 1,且正俯视图中两条半径互相垂直,则 该几何体的体积为( B )

(A)

? 3

(B) ?

(C)

2? 3

(D)

4? 3

6、将函数 y ? sin( 2 x ? (A) x ?

?
6

) 的图象向左平移

? 个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程为( C ) 4

?
3

(B) x ?

?
6

(C) x ?

?
12

(D) x ? ?

?
12

7、根据下面频率分布直方图估计:样本数据的中位数与众数之和为(

C

)元。

(A) .5000

(B) .4500

(C) .4900

(D) . 5500

? y ? x, ? 8 、若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 且 z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 m 和 n ,则 ? y ? ?1, ?

m? n ? ( B )
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

2 9、已知命题“ ?x ? R ,使 2 x ? ( a ? 1) x ?

1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是( B ) 2
(D) (?3,1)

(A) (??,?1)

(B) (?1,3)
ln x x2

(C) (?3,??)

10、已知:函数 f(x)=x-

,则函数 y=f(x)的大致图象为( A )

11.设函数 f(x ) ? 是( C )

e ? ln(5 ? x ) ?

21 ,则使得 f(2x ? 1) ? f(x )成立的 x 的取值范围 x ?1
2

1 1 (? , ) 3 3 1 C. ( ,1) 3
A.

B. ( ?? , ) U (1,?? ) D. (?? ,? ) U ( ,?? )

1 3

1 3

1 3

12、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? ?20 .在区间 ? 3,5? 内任取一个实数作为数列 ?an ? 的公差,则 Sn 的最小值仅为 S6 的概率为(D ) A.

1 5

B.

1 6

C.

3 14

D.

1 3

第Ⅱ卷
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。

13、函数 f ( x) ? ?

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1, 且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? ? log ( x ? 1 ), x ? 1 , 2 ?

.

14、已知 f ( x ) 满足 f ( x) ? xf (? x) ? 3x ? 1 ,则 f ( x )

15、设

,且
1 2

= 2,则 m=

.

3 2

16、 过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 点,则椭圆 C 的离心率等于
设 A(x1,y1),B(x2,y2), 分别代入椭圆方程相减得

x2 y 2 + =1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中 a 2 b2

.
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) + =0, a2 b2

根据题意有 x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且
2 2 1 2 2 ×(- )=0,得 a =2b , ? a 2 b2 2
2 2 2

y1 ? y2 1 =- , 2 x1 ? x2

所以

所以 a =2(a -c ), 整理得 a =2c 得
2 2

2 2 c = ,所以 e= . a 2 2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R),x∈R.
2

(1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式,并写出单调区间; (2)在(1)的条件下,f(x) > k-x 在区间[-3,-1]上恒成立,试求 k 的范围. 解 (1)由题意得 f(-1)=a-b+1=0,a≠0, b 且- =-1,∴a=1,b=2. 2a ∴f(x)=x2+2x+1, 单调减区间为(-∞,-1], 单调增区间为[-1,+∞). (2)f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立, 转化为 x2+3x+1>k 在区间[-3,-1]上恒成立. 设 g(x)=x2+3x+1,x∈[-3,-1],则 g(x)在(-3, …………8 分 )上递减, 在( , )上递减 …………6 分 …………4 分

∴g(x)min=g( ∴k<

)=

,.

,即 k 的取值范围为(-∞,

).

…………12 分

18、 (本小题满分 12 分) 已知: 命题 p:直线 x+y+2=0 与圆 有两个交点; 命题 q:

4x2+4(m-2)x+1>0 恒成立,

若“p?q”为真命题,“p q”为假命题,求 m 的取值范围. 【解析】由 p 真:
2

则 m>2.
2

…………2 分 ………4 分 …………6 分 …………8 分 …………10 分 …………12 分

由 q 真得: Δ 2=16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0,则 1<m<3. 又∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 与 q 一真一假. ② p 真 q 假时, ?
?m ? 2, 解得 m≥3; ?m ? 1或m ? 3, ?m ? 2, 解得 1<m≤2. ?1 ? m ? 3,

②当 p 假 q 真时, ?

∴m 的取值范围为(1,2]∪[3,+∞)

19、已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= (1)求数列{an}的通项公式; (2 求数列{an}的前 n 项和 Sn ,并证明

13 . 3

(3)若函数 f(x)=Asin(2x+ ? )(A>0,0< ? <π )在 x= 减区间. 【解析】(1)由 q=3,S3=
1 解得 a1= . 3 1 n-1 n-2 所以 an= ×3 =3 . 3

π 处取得最大值,且最大值为 a3,求函数 f(x)的单调 6

a (1 ? 33 ) 13 13 得 1 = , 3 3 1? 3

…………4 分

(2)

将 a =3
n

n-2

代入上式即可得
n-2

…………7 分

(3)由(1)可知 an=3 , 所以 a3=3. 所以函数 f(x)的最大值为 3,所以 A=3. 因为当 x=
π 时,f(x)取得最大值, 6 π + ? )=1. 6 π . 6 π ). …………10 分 6

所以 sin(2×

又 0<φ <π ,故 ? =

所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=3sin(2x+

函数 f(x)的单减区间

…………12 分

20、(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直 方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表 示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据频率分布直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频 率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量 X∈[100,110),则取 X=105,且 X=105 的概 率等于需求量落入[100,110)的频率),求 T 的数学期望.

解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,…………2 分 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T ? ?

?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

…………4 分

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的 概率的估计值为 0.7. …………8 分 (3)依题意可得 T 的分布列为

T P

45 000 0.1

53 000 0.2

61 000 0.3

65 000 0.4 …………12 分

所以 ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.

21、 (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? a x ? ln x ( a ? 0) . (Ⅰ)若 f ( x) 在 ??, ?? ? 上单调递增,求实数 a 的取值范。 (Ⅱ)若 f (x )在 ??, ?? 上的最小值为 f(a ),在区间 ??, ?? 内至少存在一个实数 a,使得 f(a ) ? m 成 立,求 m 的取值范围。

【解析】(Ⅰ)由已知



上恒成立,则

, …2 分





.

…………4 分

(Ⅱ)
当 时, ,

, 单调递增,则

…………6 分 ;



时,



上单调递减,在

上单调递增,

则 当 时, , 单调递减,则

; ; …9 分

综上:

[学_科_

…………10 分

因为

在 ??, ?? 上为增函数,所以 ,

, …………13 分

由题意得 m>

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 M 的极坐标 为 ? 2 2,

? ?

??

? x ? 1 ? 2cos ? ( ? 为参数) . ? ,曲线 C 的参数方程为 ? 4? ? y ? 2sin ?

(1)直线 l 过 M 且与曲线 C 相切,求直线 l 的极坐标方程; (2)点 N 与点 M 关于 y 轴对称,求曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围.
2 【解析】 (1) 由题意得点 M 的直角坐标为 ? 2, 2 ? , 曲线 C 的一般方程为 ? x ? 1? ? y ? 4 . . . . . . . . . . 2 2

分 设直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ? x ? 2? ,即 kx ? y ? 2k ? 2 ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 ∵直线 l 过 M 且与曲线 C 相切,∴
2 即 3k ? 4k ? 0 ,解得 k ? 0或k=-

k ?2 1? k 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 ?2,

4 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 3

∴直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2 或 4 ? cos ? ? 3? sin ? ? 14 ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6分 (2)∵点 N 与点 M 关于 y 轴对称,∴点 N 的直角坐标为 ? ?2, 2 ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 则点 N 到圆心 C 的距离为

? ?2 ?1?

2

? 22 ? 13 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

曲线 C 上的点到点 N 的距离的最小值为 13 ? 2 ,最大值为 13 ? 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 曲线 C 上的点到点 N 的距离的取值范围为 ? 13 ? 2, 13 ? 2 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

?

?


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