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数列通项公式与求和(最好最全面)


高二文科数学复习(三)学案
数列的通项及求和

学习目标:1.掌握求通项公式的几种方法;2.掌握数列求和的几种方法。 一.知识探究 探究一.通项公式求法
1.累加法 适用于: an?1 ? an ? f (n) ----------这是广义的等差数列

推导步骤:若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,

a2 ? a1 ? f (1)


a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

两边分别相加得 _____________________________________________________ 练一练:已知数列,且 a1=2,an+1=an+n,求 an.

2、累乘法

适用于: an?1 ? f (n)an ----------这是广义的等比数列

推导步骤:若

an?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ??,n ?1 ? f (n) an a1 a2 an

两边分别相乘得,_______________________________________________________ 练一练:已知 a1 ? 3, an?1 ? 3n an ,求通项 an.

3.作差法

已知 S n 求a n
2

( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). (注:n=1 要检验,为什么?)

练一练:已知 S n ? n ? 2n ,求 an

f (1),(n ? 1) ? ? 4.作商法:已知 a1a2 ?an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ?
练一练: 数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? ______ ;

探究二:数列前 n 项和 1.公式法:①等差数列求和公式; 2.分组求和法:形式 (an ? bn ) 3.错位相减法:形式 (an ? bn )

②等比数列求和公式,

方法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用 公式法求和. 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位 相减法。 4.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那 么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 ② ? _________________ ; ? ____________________ ; n(n ? 1) n( n ? k ) 1 (3) ? _____________________. n ?1 ? n 5.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推
① 导方法).

练一练:求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

6.并项求和:两项并为一项再求和。 练一练: S ? 1 - 2 ? 3 - 4 ? 5 - 6 ? .......? (?1)
n?1

n

7.绝对值求和:关键分类讨论去绝对值 练一练:已知 an ? 2n ? 8 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ......? an .

二.例题探究: 例1. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

变式练习: 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 ,a n ? a n ?1 ?

1 求此数列的通项公式. (n ? 2) , n(n ? 1)

例2.

已知数列 a n ? a n ?1 .

n , a1 ? 2 ,求数列的通项公式。 n ?1

2 4 6 2n 例 3、求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

变式训练:已知 an ? (2n ? 1) ? 3n?1 ,求数列前 n 项和。

例 4、 在数列{an}中, an ?
n 项和。

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

三.巩固练习 1.数列{an}的通项公式为 an=

1 ,已知前 m 项和 Sm=9,则 m 为( n+1+ n
D.9 )

)

A. 99 B.98 C.10 2 2 n-1 2.数列 1,1+2,l+2+2 ,…,1+2+2 +…+2 前 n 项和等于( A.2n+1-n B.2n C.2n-n

D.2n+1-n-2

3.1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ......? (?1) n?1 n 2等于( ) n( n ? 1) n( n ? 1) n ?1 n( n ? 1) A. B. ? C. (?1) 2 2 2
4. 如果 f(x+y)=f(x)· f(y), 且 f(1)=-2, 则

D.以上答案都不对

f1 ) ( 3 ) (f ? f2 ( ) 4 ( )f

5 ( ) f ? 6 ( ) f

2 ( 0 0 7 ) f ? ? ? 2 ( 0 0 8 ) f

等于

___.

2 2 n 5.设 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an , ?1 ? nan ? an?1an ? 0 ( =1,2, 3,?)

则它的通项公式是 an =________.

6.设正值数列{ an }的前 n 项和为 sn ,满足 s n ? (

an ? 1 2 ) 2
1 求数列{ bn }的前 n an an ?1

(1)求 a1 , a2 , a3 (2)求出数列{ an }的通项公式(3)设 bn ? 项和 Tn

7.已知数列{an}的首项 a1= (1)证明:数列 ?

2 2an , an ?1 ? ,n=1,2,… 3 an ? 1
(2)求数列 ?

?1 ? ? 1? 是等比数列; ? an ?

?n? ? 的前 n 项和 Sn ? an ?


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