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选修2-1教案2.4.1抛物线及其标准方程、几何性质


2.4 抛物线及其标准方程(一) 教学要求:掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形,能够求出抛物线的方程,能够解决简 单的实际问题. 教学重点:求出抛物线的方程. 教学难点:抛物线标准方程的推导过程. 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:你能回顾一下在椭圆、双曲线中学过的动点、定点、定直线吗? 2、讨论:若一个动点 p( x, y) 到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等,

这个点的运动 轨迹是怎么样的呢? 二、讲授新课: 1、教学抛物线 ① 定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做 抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. (定义的实质可归纳为”一动三定”) ② 抛物线的标准方程:

p p 准线方程是 x=,0) 2 2 p p y 2 ? ?2 px( p ? 0) 焦点坐标是 F (? ,0) 准线方程是 x= 2 2 p p 准线方程是 y=x 2 ? 2 py( p ? 0) 焦点坐标是 F (0, ) 2 2 p p x 2 ? ?2 py( p ? 0) 焦点坐标是 F (0, ? ) 准线方程是 y= 2 2
y 2 ? 2 px( p ? 0)
焦点坐标是 F ( 2、教学例题: ①出示例 1:求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是 F (?5,0 ) (2) 经过点 A(?3, 2 ) (3) 焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上 (抛物线草图----抛物线方程---参数 p ) ②变式训练:求顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线且截直线 0

2 x ? y ? 1 ? 0 所得的弦长为 15 的抛物线的方程.
③出示例 2:已知抛物线的标准方程是(1) y ? 8 x ,(2) y ? 8 x , 求它的焦点坐标和准线方 程 (教师示范 → 学生板演 → 小结) 3、小结:抛物线的定义;抛物线的标准方程. 三、巩固练习: 1.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是(0,4) (2)准线方程是 y= ? 4
2 2

2. 抛物线 y ? ax(a ? 0) 3.作业:课本 P69 1、2 题
2

2.4 抛物线及其标准方程(二) 教学要求:掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形,能够求出抛物线的方程,能够解决简 单的实际问题. 教学重点:求出抛物线的方程. 教学难点:抛物线标准方程的推导过程. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1) x ? 20 y
2

(2) y ? 8 x ? 0
2

2. 焦点在直线 4x-3y-12=0 上的抛物线的标准方程是 _______ . 二、讲授新课: 1、教学抛物线方程的求解 ① 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化到准线的距离. ② 在求抛物线方程时,可以先根据题目的条件做出草图,确定方程的形式后再求参数 p 的 值. 2、教学例题: (1)求抛物线方程 ① 出示例 1:已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M (m, ?3) 到焦点的 距离为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程. (教师讲思路→学生板演→小结方法) ② 练习:顶点在原点,焦点在 y 上,且过点 p(4, 2 ) 的抛物线方程是 ______ (2)应用抛物线方程 ③ 出示例 2:直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线
2

做垂线,垂足分别是 P, Q ,则梯形 APQB 的面积为 ______ (作图----抛物线方程----解决问题) ④ 练习:过抛物线 y ? 4 x 做倾斜角为
2

3? 的直线交抛物线与 A, B 两点,则 AB 的长是 4

______
(3)实际应用问题 ⑤ 一辆卡车高 3 cm ,宽 1.6 cm ,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口 AB 宽恰好是拱高 CD 的 4 倍.若拱宽为 acm ,求能使卡车通过的 a 的最小整数值. (将实际问题转化为数学问题) 3、小结:抛物线的定义;抛物线的标准方程 三、 巩固练习: ①.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 ______
2

②.抛物线 y ? 4 x 的准线方程是 ______ ,焦点坐标是 ______
2

③.点 M (0,8) 的距离比它到直线 y ? ?7 的距离大于 1,求 M 点的轨迹方程. ④.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶 5 m 时,水面宽为 8 m ,一木船宽 4 m ,高 2 m ,载货 后木船露在水面的部分高为 ⑤.作业 教材 P69

3 m ,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航? 4
3

习题 2.3 A 组

2.4.2 抛物线的简单几何性质(一) 教学要求:通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问 题,进一步体会数形结合的思想. 教学重点:能运用性质解决与抛物线有关的问题. 教学难点:数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用. 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:你能回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程? 2、抛物线 y ? 12 x 上与焦点的距离等于 6 的点的坐标 二、讲授新课: 1、教学抛物线的简单几何性质
2

抛物线的标准方程: y ? 2 px( p ? 0) ① 范围: ② 对称性:这条抛物线关于 x 对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. ③ 顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点就是坐标原点 ④ 离心率:抛物线上点 M 与到焦点的准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表示,抛物 线的离心率 e 为 1 2、教学直线与抛物线的位置关系
2

设直线 l : y ? kx ? b ,抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组
2

? y ? kx ? b 2 解的个数,也等价于方程 kx ? 2 px ? 2bp ? 0 解的个数. ? 2 ? y ? 2 px
3、教学例题: ① 出示例 1:斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,且与抛物线相交于 A, B 两点,求
2

AB 的长. (画图 →讲解思路→联立方程组 →学生板演)
② 变式训练: 过点 p(4,1) 做抛物线 y ? 8 x 的弦 AB ,恰被 p 所平分,求 AB 所在的直线方程 (.求直线方程的基本思路是求出斜率 k )
2

③ 出示例 2: 已知抛物线关于 x 轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2, ?2 2) , 求它的标准方程. ④ 练习:已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点是 F (0,5) ,求它的标准方程. 3、小结:抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系. 三、巩固练习: ①、过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , x2 ) , B( x1 , x2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,
2

那么 | AB | 的值为多少? ②、抛物线 y ? 8 x 上一点 p 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点的坐标是 ______
2

③、已知直线 l : y ? kx ? b 与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 相交与 A, B 两点,若 OA ? OB ,( O 为
2

坐标原点),且 S

?AOB

? 2 5 ,求抛物线的方程.

④、作业:教材 P69 第 4 题.

2.4.2 抛物线的简单几何性质(二) 教学要求:通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问 题,进一步体会数形结合的思想. 教学重点:能运用性质解决与抛物线有关的问题. 教学难点:数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用. 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:回顾抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系. 2、已知抛物线的焦点是 F (0, ?8 ) ,准线是 y ? 8 ,求它的标准方程. 二、讲授新课: 1、教学直线与抛物线的位置关系 设直线 l : y ? kx ? b ,抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组
2

? y ? kx ? b 2 解的个数,也等价于方程 kx ? 2 px ? 2bp ? 0 解的个数 ? 2 ? y ? 2 px ① 当 k ? 0 时, 当 ? ? 0 时,直线和抛物线相交,有两个公共点; 当 ? ? 0 时,直线和抛物线相切,有一个公共点; 当 ? ? 0 时,直线和抛物线相离,无公共点 2 ② 若 k ? 0 ,则直线 y ? b 与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 相交,有一个公共点,特别地,当直线的斜 率不存在时,设 x ? m ,则当 m ? 0 , l 与抛物线相交,有两个公共点;当 m ? 0 时,与抛物线相 切,有一个公共点,当 m ? 0 时,与抛物线相离,无公共点.
2、教学例题: ① 出示例 1:已知抛物线方程为 y ? 4 x ,直线 l 过定点 P(?2,1) ,斜率为 k ,当 k 何值时,直线
2

l 与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点. (教师讲思路→学生板演→小结方法)
② 练习:过定点 P(0,1) 且与抛物线 y ? 2 x 只有一个公共点的直线方程.
2

③ 出示例 2:过抛物线 y ? 2 x 的顶点做互相垂直的二弦 OA, OB .
2

(1) 、求 AB 中点的轨迹方程 (2)证明: AB 与 x 轴的交点为定点 ④ 练习:求过点 A(?1,1) ,且与抛物线 y ? x ? 2 有一个公共点的直线方程) 3、小结:直线与抛物线的位置关系. 三、巩固练习:
2

1、抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,点 (?5, 2 5) 到焦点的距离是 6,则抛物线的方程 为___________ 2、抛物线 y ? ?4 x 关于直线 x ? y ? 2 对称的曲线的顶点坐标为___________
2

3、求抛物线 y ? 64 x 上的点到到直线 4 x ? 3 y ? 46 ? 0 的距离的最小值,并求取得最小值 时抛物线上点的坐标.
2

4、经过抛物线 y ? ?8 x 的焦点且和抛物线的对称轴成 60 的直线交 A, B 两点,求 | AB | 的 值 5、作业:教材 P70 B 组 第 1 题.
2

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