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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


一、复习

? ? ? ? 1、数量积的定义:a ? b ?| a || b | cos ? ? ? ? 2、投影:| b | cos ? 叫做 b在a方向上的投影
3、数量积的几何意义:

? | b | cos ? 的乘积。

?的长度 ? 与 ? ? ? ? | a | b在a方向上的投影 a ? b 等

于 a

4、数量积的重要性质

? ? 设a、b是非零向量

? ? ? ? (1)a ? b ? a ? b ? 0
? ? ? ? ? ? 当a与b反向时,a ? b ? ? | a || b |;

? ? ? ? ? ? ( 2)当a与b同向时,a ? b ?| a || b |;

?2 ? ? ?2 ? ? ? 特别地,a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? a
? ? a ?b (3) cos ? ? ? ? | a || b |

? ? ? ? ( 4) | a ? b |?| a || b |

5.数量积的运算律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ( 2)(? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (? b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c
? ? ? 其中a、b、c是任意的三个向量,? ? R ? ? 6.对任意向量 a , b,有下面的结论. ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ; ? ? ? ? ?2 ?2 (2)(a ? b) ? (a ? b) ? a ? b .

二、例题讲解

? ? ? ? 例3.已知 | a |? 6,| b |? 4 ,a 与 b的夹角60? , ? ? ? ? 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b)。

? ? ? ? 例4.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直。

二、例题讲解 ? ? ? ? 例3.已知 | a |? 6,| b |? 4 ,a 与 b的夹角60? , ? ? ? ? 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b)。

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 解 :   ? 2b) ? (a ? 3b) ? a ? a ? a ? b ? 6b ? b (a

? 2 ? ? ? 2 ?| a | ?a ? b ? 6 | b |   ? 2 ? ? ? 2 ?| a | ? | a || b | cos ? ? 6 | b |

? 6 ? 6 ? 4 ? cos 60 ? 6 ? 4  
2 2

?

? ?72

二、例题讲解 ? ? ? ? 例4.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直。 ? ? ? ? 解: a ? kb与a ? kb互相垂直的条件是 ? ? ? ? ?2 ? 2 2 (a ? kb) ? (a ? kb) ? 0,即a ? k b ? 0 ?2 ?2 2   a ? 3 ? 9, b ? 4 2 ? 16 ?
  9 ? 16k 2 ? 0 ? 3 ?k ? ? 4
? ? ? ? 3 也就是说,当k ? ? 时, a ? kb与a ? kb互相垂直. 4

平面向量数量积的坐标表示 模、夹角

二、讲授新课

? ? 设两个非零向量a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则
? ? (1)设a ? ( x , y ), 则 | a |? x 2 ? y 2 ? 设表示a的有向线段的起点和终点的 坐标分别为(x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 那么 ? | a |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
?? ??

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

( 2)设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
?? ??

??

??

二、讲授新课 例5、已知A(1、2),B(2,3),C(2,5), 试判断Δ ABC的形状,并给出证明. 证明: ∵AB = (2 -1,3 -2)= (1,1) y AC = (- -1,5 -2)= (2 3,3) C
∴AB ?AC = 1╳(3)+ 1╳ 3 = 0

∴AB⊥AC
∴Δ ABC是直角三角形
O A

B

注:两个向量的数量积是否为零是判断相应 的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一。 如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形对 角线垂直等。

x

二、讲授新课 ? ? ? ? ? ? 设a ? b都是非零向量, a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), ? 是a与b
的夹角, 根据向量数量积的定义及坐标表示可得

? ? a?b ? cos ? ? ? ?? | a || b |

?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y
2 1 2 1

x ?y
2 2

2 2

? ? ? ? ? ? 例6 设a ? 5, 7)b ? ? 6, 4)求a ?b及a , b间的 ( ? , ( ? , 夹角? (精确到1? )
? ? 解 : a ? b ? 5 ? ( ?6) ? ( ?7) ? ( ?4) ? ?30 ? 28 ? ?2 ? ? 2 2 | a |? 5 ? 7 ? 74 ,| b |? ( ?6)2 ? ( ?4) 2 ? 52

由计算器得

cos ? ?

?2

74 ? 52

? ?0.03

利用计算器中的 cos ? ?1键得

? ? 1.6rad ? 92?.

四、小结
1、数量积的坐标表示 ? ? 设两个非零向量a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
??

2、垂直的条件
??

设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
??

??

?? ??


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