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河南省郑州市智林学校2013届高三上学期期末考试数学(文)试题


郑州市智林学校 2012—2013 学年高三上学期期末考试 数学(文)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应首 先阅读答题卡上的文宇信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.

第I卷
参考公式: 样本数据 的标准差 锥体体积公式

其中

为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

其中 S 为底面面积,h 为髙 —、选择题 (毎小题 5 分,共 60 分)
1. 设函数

其中 R 为球的半径

的定义域为 M,集合 B. N C. 的结果等于 B. C. D. D.M

,则

=

A.
2. 计箅

A.

3. 三边长分别为 1,1,

的三角形的最大内角的度数是
B 90
0

A.600 已知向量 A. B.

C 120° ,若 C.

D 1350 ,则向量 m 与向量 n 夹角的余弦值为 D.

5.下列命题说法的是
A. 命题“若 a>b,则 B. “a>b”是“

”的否命题为:“若 ”的充要条件

,则



C. 对于命题 P,Q,若 P Q 为假命题,则命题 P、q 至少有一个为假命题 D. 对于命题

,使得

”,则

,均有



6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.2 B.1 C. D.

( 1 1 1 正(主)视图 (左)视图 ) 1 1 侧



2 3

1 3

7.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 俯视图

?x ? y ? 5 ? 0 8.设 x, y满足约束条件? x ? y ? 0 ,则 x ? 1)2 ? y 2 的最大值为 ( ? ?x ? 3 ?
A. C. 80 25 B. 4 5 D.





17 2

π 5π 9.已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴, 4 4 则 φ=( π (A) 4 ) π (B) 3 π (C) 2 3π (D) 4

5 ( 10.已知函数 f ( x)的定义域为[?1, ],部分对应值如下表. f ( x)的导函数 y ? f ? x) 的图象如图所示.

y

x
f ( x)

-1 1

0 2

4 2

5 1

?1 o

2

4

5

x

下列关于函数 f ( x)的命题:①函数 y ? f( x) 是周期函数;②函数 f ( x)在[0,2] 是减函数;③如果当
x ?[?1,]时, f ( x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4;④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x)? a 有 4 个零 t

点.其中真命题的个数有 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个





11. 设 f ( x ) ?

2x 2 , g ( x ) ? ax ? 5 ? 2a (a ? 0) , 若 对 于 任 意 x1 ? [0,1] , 总 存 在 x 0 ? [0,1] , 使 得 x?1

g( x 0 ) ? f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围是

5 ?5 ? ? 5? (B) ? 0, ? (C) [ ,4] (D) ? ,? ? ? 2? 2 2 ? ? ? n 12.数列{an}满足 an+1+(-1) an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830
(A) ?4,???

第Ⅱ卷

(非选择题 ,共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的横线上)
13. 若复数

(i 为虚数单位)为实数,则实数___________.

14. 设抛物线的焦点为 F,则点 F 的坐标为______. 15. 甲、乙两名同学学业水平考试的 9 科成绩如茎叶图所示,

请你根据茎业图判断谁的平均分高______(填“甲”或 “乙”)
16. 设

是 R 上的奇函数,且 ,则不等式

,当 x>0 时, 的解集为

______.

三、解答翅(共 70 分)
17. (本小题满分 12 分)

已知数列

满足

,且

.

( I ) 求数列{an}的通项公式
(I)若

,求数列

的前 n 项和

.

18. (本小题满分 12 分)

某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解,训练对提髙‘数学应用题得分率作 用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练),乙班为对比班(常规教学,无额外训练), 在试验前的测试中,甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学 应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示:

60 分以下 甲班(人数) 乙班(人数) 3

61—70 分 6 8

71—80 分 11 13

81-90 分 18 15

91-100 分 12 10

现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀.
(I )试分别估计两个班级的优秀率;

(II)由以上统计数据填写下面 2 X 2 列联表,并问是否有"5 匁的把握认为“加强‘语文阅读理解’训 练对提商‘数学应用题’得分率”有帮助. 优秀人数 甲班 乙班 合计 非优秀人数 合计

参考公式及数据: 0.50 K0 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072

, 0.10 2.706 0. 05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.82

19.(本小题满分 12 分)某厂为适应市场需求,投入 98 万元引进世界先进设备,并马上投入生 产,第一年需各种费用 12 万元,从第二年开始,每年所需费用会比上一年增加 4 万元.而每年因引 入该设备可获得年利润为 50 万元.请你根据以上数据,解决以下问题: (1)引进该设备多少年后,开始盈利? (2)引进该设备若干年后,有两种处理方案: 第一种:年平均利润达到最大值时,以 26 万元的价格卖出. 第二种:盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出.问哪种方案较为合算?

20.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ax2+bx+k(k>0)在 x=0 处取得极值,且曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线 x+2y+1=0. (1)求 a,b 的值;

ex (2)若函数 g(x)= ,讨论 g(x)的单调性. f(x)

21. (本小题满分 12 分〉

在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)为动点,已知点 积为定值 .

I,直线 PA 与 PB 的斜率之

(I)

求动点 P 的轨迹 E 的方程;

( I I ) 若 F(1,0),过点 F 的直线 l 交轨迹 E 于 M、N 两点,以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在 y 轴上,求直线 l 的方程.
22. 选修 4_1:(本小题满分 10 分)几何证明选讲

如图,在厶 ABC 中,

为钝角,点是边 AB 上

的点,点 K 和 M 分别是边 AC 和 BC 上的点,且 AH =AC,EB=BC,AE=AK,BH= BM. (I )求证:E、H、M、K 四点共圆; (II)若 KE=EH,CE=3 求线段 KM 的长.

文科数学
一、选择题 1-12 BACDB CBAAD CD 二、填空题

参考答案

二、填空题 13. 1 ; 14. (0,

1 ); 16

15.乙;

16. (??, ?1) ? (0,1) .

三、解答题 17.解:⑴由 an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2) 知,数列 {an } 是等差数列, 设其公差为 d ,------------------- 2 分

1 (a3 ? a7 ) ? 9 , 2 a ? a1 ? 2 ,----------- 4 分 所以 d ? 5 4
则 a5 ?

an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,
即数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1.------------------- 6 分 ⑵ cn ? (2n ?1) ? 2n?1 ,

Tn ? c1 ? c 2 ? c 3? ? ? cn
2 = 1 0 ? ? 31? 2? 5? ? ? ? 2 2

n? ( 2 ?

n?

11) 2

.

2Tn ?
相减得

1? 21 ? 3? 22 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n , ?Tn ? 1 ? 2 (12 22 ? ?
?Tn ? 1 ? 2 ?
3

? ?? 2

n?

21? ) n ? 2 ? (

n

,------------ 9 分 1) 2

整理得

2 ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n ? ?(2n ? 3) ? 2n ? 3 , 1? 2

所以 Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 .------------------- 12 分 18.解:⑴由题意,甲、乙两班均有学生 50 人,------------------- 1 分

30 ? 60% ,----------- 2 分 50 25 ? 50% ,----------- 4 分 乙班优秀人数为 25 人,优秀率为 50
甲班优秀人数为 30 人,优秀率为 所以甲、乙两班的优秀率分别为 60%和 50%.------------------- 5 分 ⑵ 优秀人数 甲班 乙班 合计 30 25 55 非优秀人数 20 25 45 合计 50 50 100 ---------- 7 分

注意到 K ?
2

100 ? (30 ? 25 ? 20 ? 25)2 100 ? ? 1.010 ,---------------- 11 分 50 ? 50 ? 55 ? 45 99

所以由参考数据知,没有 75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用 题’得分率”有帮助. ------------------- 12 分 =275+2.75=277.75.

(2) y y 98 第一种:年平均盈利为 , =-2x- +40≤-2 x x x 年平均利润最大,共盈利 12×7+26=110 万元. 第二种:盈利总额 y=-2(x-10)2+102,当 x=10 时,取得最大值 102,即经过 10 年盈利总额 最大,共计盈利 102+8=110 万元两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合算. 20.解:(1)因 f(x)=ax2+bx+k(k>0), 故 f′(x)=2ax+b, 又 f(x)在 x=0 处取得极值, 故 f′(0)=0,从而 b=0. 由曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线 x+2y+1=0 相互垂直, 可知该切线斜率为 2,即 f′(1)=2,有 2a=2,从而 a=1. ex (2)由(1)知,g(x)= 2 (k>0), x +k ex(x2-2x+k) g′(x)= (k>0). (x2+k)2 令 g′(x)=0,有 x2-2x+k=0(k>0). ①当 Δ=4-4k<0,即 k>1 时,g′(x)>0 在 R 上恒成立,故函数 g(x)在 R 上为增函数. ex(x-1)2 ②当 Δ=4-4k=0,即 k=1 时,有 g′(x)= 2 >0(x≠1),从而当 k=1 时,g(x)在 R 上为增 (x +1)2 98 98 2x· +40=12,当且仅当 2x= ,即 x=7 时, x x

函数,

21.解:⑴由题意

y y 1 ? ? ? ,----------- 2 分 2 x? 2 x? 2
所以所求轨迹 E 的方程为

整理得

x2 ? y 2 ? 1, 2

x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ,------ 4 分 2

⑵当直线 l 与 x 轴重合时,与轨迹 E 无交点,不合题意; 当直线 l 与 x 轴垂直时, l : x ? 1 ,此时 M (1,

2 2 ), N (1, ? ) ,以 MN 为对角线的正方形 2 2

的另外两个顶点坐标为 (1 ?

2 ,0) ,不合题意;--------------- 6 分 2

当直线 l 与 x 轴既不重合,也不垂直时,不妨设直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), MN 的中点 Q(

x1 ? x2 x ?x , k ( 1 2 ? 1)) , 2 2

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 消 y 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ? 1, ?2
? 4k 2 ? ? ? 4k 2 x1 ? ? x1 ? x2 ? 2 , 2 2(2k ? 1), ? ? ? 2k ? 1 由? 得? 2 2 ? x ? 4 k ? ? , ? x ? x ? 2k ? 2 , ? 1 2 2k 2 ? 1 ? 2 2(2k 2 ? 1) ? ?
所以 Q(

-------------------8 分

2k 2 k ,? 2 ) , 2 2k ? 1 2k ? 1 1 2k 2 ? ? (x ? 2 ) , 2k 2 ? 1 k 2k ? 1 k

则线段 MN 的中垂线 m 的方程为: y ?

x k ? 2 , k 2k ? 1 k ), 则直线 m 与 y 轴的交点 R(0, 2 2k ? 1
整理得直线 m : y ? ? 注意到以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在 y 轴上, 当且仅当 RM ? RN , 即 RM ? RN ? ( x1 , y1 ?

???? ???? ?

k ) ? ( x2 , y2 ? 2 ) ? 0 ,----------------10 分 2k ? 1 2k ? 1
2

k

x1 x2 ? y1 y2 ?

k 2k 2 ? 1

( y1 ? y2 ) ?

k2 ? 0, (2k 2 ? 1)2



? k2 y1 y2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? ? 2 , ? ? 2k ? 1 ? 由 ? y ? y ? k ( x ? x ? 2) ? ? 2k , 2 1 2 ? 1 2k 2 ? 1 ?



将②代入①解得 k ? ?1 ,即直线 l 的方程为 y ? ?( x ? 1) , 综上,所求直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .------------12 分 选做题 22.证明:⑴连接 CH ,

? AC ? AH , AK ? AE ,

? 四边形 CHEK 为等腰梯形,
注意到等腰梯形的对角互补, 故 C , H , E , K 四点共圆,----------- 3 分 同理 C, E, H , M 四点共圆, 即 E, H , M , K 均在点 C, E, H 所确定的圆上,证毕.--------------- 5 分 ⑵连结 EM , 由⑴得 E , H , M , C , K 五点共圆,----------- 7 分

? CEHM 为等腰梯形,? EM ? HC , 故 ?MKE ? ?CEH , 由 KE ? EH 可得 ?KME ? ?ECH , 故 ?MKE ? ?CEH , 即 KM ? EC ? 3 为所求. -------------------10 分


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