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2015北京各区一模数学压轴题创新题汇总含答案(精品)


2015 各区一模压轴题集锦 白彦彬
1.(丰台一模理8)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,点 B , C 分别在 x 轴和 y 轴非负
? 半轴上,点 A 在第一象限,且 ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 4 ,那么 O , A 两

点间距离的 (A) 最大值是 4 2 ,最小值是 4 (C) 最大值是 4 2 ,最小值是 2 (B) 最大值是 8 ,最小值是 4 (D) 最大值是 8 ,最小值是 2

2.(丰台一模理 14)已知平面上的点集 A 及点 P ,在集合 A 内任取一点 Q ,线段 PQ 长度 的 最 小 值 称 为 点 P 到 集 合

A 的 距 离 , 记 作 d ( P, A). 如 果 集 合

A={(x, y) | x ? y ? 1(0 ? x ? 1)},点 P 的坐标为 (2, 0) ,那么 d ( P, A) ? ____;如果点集
那么点集 D ? {P | 0 ? d ( P, A) ? 1} 所 A 所表示的图形是边长为 2 的正三角形及其内部, 表示的图形的面积为____. 3.(丰台一模理 20) (本小题共 13 分) 如果数列

A : a1 , a2 , ? , am (m ? Z , 且 m ? 3) , 满 足 : ① ai ? Z ,
, m) ;
② a1 ? a2 ?

?

m m ? ai ? (i ? 1, 2, 2 2

? am ? 1,那么称数列 A 为“Ω”数列.

(Ⅰ )已知数列 M :-2,1,3,-1;数列 N :0,1,0,-1,1.试判断数列 M , N 是 否为“Ω”数列; (Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω”数列?请证明你的结论; (Ⅲ)如果数列 A 是“Ω”数列,求证:数列 A 中必定存在若干项之和为 0.

4.(丰台一模文 8)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 为底面 ABCD 上一动点,如果 P 到 点 A1 的距离等于 P 到直线 CC1 的距离,那么点 P 的轨迹所在的曲线是 (A) 直线 (B)圆 (C) 抛物线 (D) 椭圆

5.(丰台一模文 14)已知平面上的点集 A 及点 P ,在集合 A 内任取一点 Q ,线段 PQ 长度 的最小值称为点 P 到集合 A 的距离,记作 d ( P, A) .如果集合 A={(x, y ) | x ? y ? 4} ,点
2 2

P 的坐标为 (2 2,2 2) ,那么 d ( P, A) ?

; 如果点集 A 所表示的图形是半径为 2 的圆, .
1

那么点集 D ? {P | d ( P, A) ? 1} 所表示的图形的面积为

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6.(海淀一模理 8)某地区在六年内第 x 年的生 产总值 y (单位:亿元)与 x 之间的关系如图 所示,则下列四个时段中,生产总值的年平均 ... 增长率 最高的是( ) ...
y

O

1

2

3

4

5

6

x

(A)第一年到第三年 (C)第三年到第五年

(B)第二年到第四年 (D)第四年到第六年

? x 3 , x ? a, ? 7.(海淀一模理 14)设 f ( x ) ? ? 2 若存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个 ? ? x , x ? a.
零点,则 a 的取值范围是 8.(海淀一模理 20) 有限数列 An : a1 , a2 , ???, an .(n ? 3) 同时满足下列两个条件: ① 对于任意的 i , j ( 1 ? i ? j ? n ) , ai ? a j ; ② 对于任意的 i, j , k ( 1 ? i ? j ? k ? n ) , ai a j , a j ak , ai ak 三个数中至少有一个数 是数列 An 中的项. (Ⅰ)若 n ? 4 ,且 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? a , a4 ? 6 ,求 a 的值; (Ⅱ)证明: 2,3,5 不可能是数列 An 中的项; (Ⅲ)求 n 的最大值. .

9. (东城一模理 8) 已知函数

f ( x) ? 2mx2 ? 2(4 ? m) x ? 1 ,g ( x) ? mx , 若对于任意实数 x ,f ( x)

与 g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 A. (0, 2) B. (0,8) C. (2,8) D. (??,0)

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10.(东城一模理 14)已知 x ? R ,定义: A( x) 表示不小于 x 的最小整数.如 A( 3) ? 2 ,
A(?1.2) ? ?1 . + 1 ) 3 ? , 若 A(2 x 则 x 的取值范围是____; 若 x ? 0 且 A(2 x ? A( x)) ? 5 , 则x

的取值范围是____. 11.(东城一模理 20)
? ? 在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N ,都有 an ? N ,且 an ? an?1 .设集合

Am ? {n | an ? m, m ? N?} ,将集合 A 中的元素的最大值记为 b ,即 b 是数列 {an } 中满足不 m m m
等式 an ? m 的所有项的项数的最大值,我们称数列 {bn } 为数列 {an } 的伴随数列.例如:数列
{an } 是 1,3, 4,

,它的伴随数列 {bn } 是 1,1, 2,3,



(Ⅰ)设数列 {an } 是 1, 4,5,

,请写出 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 5 项;

n ?1 * (Ⅱ)设 an ? 3 (n ? N ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 的前 20 项和; * (Ⅲ)设 an ? 3n ? 2(n ? N ) ,求数列 {an } 的伴随数列 {bn } 前 n 项和 S n .

12.(海淀一模文 8)某三棱锥的正视图如图所示, 则在下列图①②③④中,所有可能成为这个三 棱锥的俯视图的是( )

正视图

① (A)①②③

② (B)①②④

③ (C)②③④

④ (D)①②③④

13.(海淀一模文 14)设全集 U ={1, 2,3, 4,5,6} ,用 U 的子集可表示由 0,1 组成的 6 位字符

{2, 4} 表示的是第 2 个字符为 1, 串, 如: 第 4 个字符为 1, 其余均为 0 的 6 位字符串 010100,
并规定空集表示的字符串为 000000. ①若 M ? {2,3, 6} ,则 ? U M 表示的 6 位字符串为 ;

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②若 A ? {1,3} , 集合 A

B 表示的字符串为 101001,则满足条件的集合 B 的个数是

.

14. (东城一模文 8) 某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐, 每星期一有 查资料表明,凡是在星期一选

调 A ,B 两种菜可供选择.

A 种菜的学生,下星期一会有 20% 改选 B 种菜;而选 B 种菜的

学生,下星期一会有 30% 改选 A 种菜.用 an , bn 分别表示在第 n 个星期的星期一选 A 种菜和 选 B 种菜的学生人数,若 a1

? 300 ,则 an +1 与 an 的关系可以表示为
(B) an ?1 ?

(A) an ?1 ? (C) an ?1 ?

1 an ? 150 2 1 an ? 300 5

1 an ? 200 3 2 an ? 180 5

(D) an ?1 ?

15.(东城一模文 14)C 是曲线 y ?

1 ? x2 (?1 ? x ? 0) 上一点,CD 垂直于 y 轴, D 是垂足,
? ? (其中 O 表示原点), 将 AC ? CD 表示成关于 ? 的
, f (? ) 的最大值为 .

A O (? 1, 0) 点 A 的坐标是 . 设 ?C
函数 f (? ) ,则 f (? )

=

16.(东城一模文 20)已知等差数列 ?an ? 中错误!未找到引用源。 , a1 ? 5 , 7a2 ? 4a4 ,数

(n ? N ) 列 ?bn ? 前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2(bn ?1) .
?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 cn ? ?

?an , n为奇数, 求 ?cn ? 错误!未找到引用源。的前 n 项和 Tn ; ?bn , n为偶数,

(Ⅲ) 把数列 ?an ? 和 ?bn ? 的公共项从小到大排成新数列 ?dn ? ,试写出 d1 ,d2 , 并证明 ?dn ? 为等比数列.

e?
17.(石景山一模理 8)如果双曲线的离心率 下几个命题:

5 ?1 2 ,则称此双曲线为黄金双曲线.有以

x2 y2 2 x2 ? ?1 y2 ? ?1 2 5 ? 1 5 ? 1 ①双曲线 是黄金双曲线; ②双曲线 是黄金双曲线;

x2 y2 ? 2 ?1 2 b ③在双曲线 a 中, F1 为左焦点, A2 为右顶点, B1(0,b) ,若∠F1 B1 A2 ? 90? ,
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则该双曲线是黄金双曲线;

x2 y2 ? 2 ?1 2 b ④在双曲线 a 中, 过焦点 F2 作实轴的垂线交双曲线于 M、 N 两点, O 为坐标原点,
若∠MON ? 120? ,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为( A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ )

( x , y ) ? M ,都存 18.(石景山一模理 14)已知集合 M ? {( x, y )| y ? f ( x )} ,若对于任意 1 1


( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集” .给出下列四个

集合:

1 M ? {( x, y )| y ? } x ; ② M ? {( x, y)| y ? log2 x} ; ①
x ③ M ? {( x, y)| y ? e ? 2} ;④ M ? {( x, y )| y ? sin x ? 1} .其中是“垂直对点集”的序号





19.(石景山一模理 20) 设数列

?an ? 满足:① a1 ? 1 ;②所有项 an ? N * ;③ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?.
Am ? ?n|an ? m, m ? N *?
,将集合

设集合

Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm 是数列

?an ? 中满足不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ? 为数 ?an ? 的伴随数
列.例如,数列 1,3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3. (Ⅰ)若数列 (Ⅱ)设

?an ? 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ?an ? ;

an ? 3n?1 ,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 30 项之和;

(Ⅲ)若数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? c (其中 c 常数) ?a ? ?b ? ,求数列 n 的伴随数列 m
Tm .

的前 m 项和

1 20. (石景山一模文 8) 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上, 且 AM 3 , ?
点 P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距
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离的平方差为 1,则动点 P 的轨迹是( A.圆 B.抛物线 C.双曲线 ) D.椭圆 A1 D1 B1 C1

D A

. P . M

C B

( x , y ) ? M ,存在 21.(石景山一模文 14)已知集合 M ? {( x, y )| y ? f ( x )} ,若对于任意 1 1 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集” .给出下列四个集
合: ① M ? {( x, y )| y ? x +1} ;
2



M ? {( x, y)| y ? log2 x} ;

③ M ? {( x, y)| y ? 2 ? 2} ;
x

④ M ? {( x, y )| y ? sin x ? 1} . .

其中是“垂直对点集”的序号是

1 f ( x ) ? ln x ? ax 2 ? 2 x f ( x ) 在定义域内 2 22.(石景山一模文 20)已知函数 .(Ⅰ)若函数

a??
单调递增, 求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 若

1 1 f ( x) ? ? x ? b [1 , 4] 2, 2 且关于 x 的方程 在

上恰有两个不等的实根,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)设各项为正数的数列

?an ? 满足

a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2(n ? N *) ,求证: an ? 2n ? 1 .
23.(房山一模理 8)一个人骑车以 6 米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离 汽车 25 米时,交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同), 若汽车在时刻 t 的速度 v(t ) ? t 米/秒,那么此人( A.可在 7 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但其间最近距离为 14 米 ) B.不能追上汽车,但其间最近距离为 16 米 D.不能追上汽车,但其间最近距离为 7 米

24.( 房 山 一 模 理 14 ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 对 ?x ? R , 都 有

f ( x? 4 ) ? f ( x ) ? f ( 成立.当 2) x1 , x2 ?[0, 2] ,且 x1 ? x2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, x1 ? x2

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给出下列命题: (1) f (2) ? 0 ; (2)直线 x ? ?4 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴; (3) 函数 y ? f ( x) 在 [?4, 4] 上有四个零点; (4) f ? 2015? ? f ?1? .其中所有正确命题的序号为

____ .
25.(房山一模理 20)下表给出一个“等差数阵” : 4 7 ( ( ? ) ) 7 12 ( ( ? ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ? ( ( ( ( ? ) ) ) ) ( ( ( ( ? ) ) ) ) ? ? ? ? ? ? ?

a1 j

? ? ? ? ? ? ?

a2 j
a3 j a4 j
?

ai1
?

ai 2
?

ai 3
?

ai 4
?

ai 5
?

aij
?

其中每行、每列都是等差数列,aij 表示位于第 i 行第 j 列的数.(I)写出 a45 的值; (II) 写出 aij 的计算公式; (III)证明:正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2 N ? 1 可以分解 成两个不是 1 的正整数之积..

26.(顺义一模理 8)已知 f ( x) 为定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,给出下列命题 ①

f (2014) ? f (?2015) ? 0 ;

②函数 f ( x) 在定义域上是周期为 2 的函数;

③直线 y ? x 与函数 f ( x) 的图象有 2 个交点;④函数 f ( x) 的值域为 (?1,1) . 其中正确的是

A. ①,②

B. ②,③

C. ①,④

D. ①,②,③,④

27.( 顺 义 一 模 理 14 ) 14. 已 知 函 数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0), x ? R. 又

f ( x1 ) ? ?2, f ( x2 ) ? 0 且 | x1 ? x2 | 的最小值等于 ? .则 ? 的值为_____________

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28.(顺义一模理 20)已知二次函数 y ? f ( x) 的图象的顶点坐标为 ( ?1, ? ) ,且过坐标原 点 O .数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 在二次函数 y ? f ( x) 的图象上. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II) 设 bn ? aa nn
?1

1 3

c o s (n 1 )? ( ,

n ? N ) ?

?

, 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 若 Tn ? n t

2

对 n? N?

恒成立,求实数 t 的取值范围; (III)在数列 {an } 中是否存在这样一些项: an1 , an2 , an3 ,

, ank ,

(1 ? n1 ? n2 ? n3

?

? nk ?

, k ? N ? ) ,这些项都能够构成以 a1 为首项, q(0 ? q ? 5, q ? N ? ) 为公比的等
?

比数列 {ank }, k ? N ?若存在,写出 n k 关于 k 的表达式;若不存在,说明理由.

y=
29.(西城一模理 8)已知抛物线

1 2 1 2 x y= x +5 4 和 16 所围成

的封闭曲线如图所示,给定点 A(0, a ) ,若在此封闭曲线上恰有三对 不同的点,满足每一对点关于点 A 对称,则实数 a 的取值范围是 ( ) (B) (2, 4)

(A) (1,3)

3 ( ,3) (C) 2

5 ( , 4) (D) 2

30.(西城一模理 14)如图,四面体 ABCD 的一条棱长为 x , 其余棱长均为 1, 记四面体 ABCD 的体积为 F ( x ) , 则函数 F ( x ) 的单调增区间是____;最大值为____.

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31. (西城一模理 20)已知点列

T :P , Pk ( xk , yk ) ( k ? N* , k≥2 )满足 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 1 (1,1) ,

? xi ? xi ?1 ? 1, ? xi ? xi ?1 , ? ? y ? yi ?1 y ? yi ?1 ? 1 i ? 2,3, 且? i 与? i (

, k ) 中有且仅有一个成立.

(Ⅰ)写出满足 k ? 4 且 P4 (3, 2) 的所有点列;

(Ⅱ) 证明: 对于任意给定的 k( k ? N ,k≥2 ) , 不存在点列 T , 使得
*

? xi ? ? yi ? 2k
i ?1 i ?1

k

k



* (Ⅲ)当 k ? 2n ? 1 且 P2 n ?1 (n, n) ( n ? N , n≥2 )时,求

?x ?? y
i ?1 i i ?1

k

k

i

的最大值.

32.(西城一模文 8)已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 4 枝 康乃馨的价格之和小于 20 元,那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是( (A)2 枝玫瑰的价格高 (C)价格相同 (B)3 枝康乃馨的价格高 (D)不确定 )

33.(西城一模文 14)某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品,其中一等奖奖品 3 件,二等奖奖品 6 件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同,但工艺不同,故价 格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品(一等奖、二等奖奖品均符合要求),甲 厂收费便宜,但原料有限,最多只能制作 4 件奖品,乙厂原料充足,但收费较贵,其具 体收费情况如下表: 奖品 收费(元/件) 工厂 甲 乙 则组委会定做该工艺品的费用 总和最低为 500 800 元. 400 600 一等奖奖品 二等奖奖品

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答案与提示: 1.A 2.1, 6 ? ? 3.解: (Ⅰ)数列 M 不是“Ω”数列;数列 N 是“Ω”数列.?2 分 (Ⅱ)不存在一个等差数列是“Ω”数列. 证明:假设存在等差数列是“Ω”数列, 则由 a1 ? a2 ?

? am ? 1 得 a1 ? am ?

2 ? Z ,与 ai ? Z 矛盾, m
??7 分

所以假设不成立,即不存在等差数列为“Ω”数列. (Ⅲ)将数列 A 按以下方法重新排列:

设 Sn 为重新排列后所得数列的前 n 项和( n ? Z 且 1 ? n ? m ) ,

m m ? 1 ? S1 ? , 2 2 m m 假设当 2 ? n ? m, n ? N 时, ? ? 1 ? Sn ?1 ? 2 2
任取大于 0 的一项作为第一项,则满足 ? 若 Sn?1 ? 0 ,则任取大于 0 的一项作为第 n 项,可以保证 ?

m m ? 1 ? Sn ? , 2 2

若 Sn?1 ? 0 ,则剩下的项必有 0 或与 S n ?1 异号的一项,否则总和不是 1, 所以取 0 或与 S n ?1 异号的一项作为第 n 项,可以保证 ? 如果按上述排列后存在 Sn ? 0 成立,那么命题得证; 否则 S1 , S2 ,?, Sm 这 m 个整数只能取值区间 [ ? 因 为 区 间 [?

m m ? 1 ? Sn ? . 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数, 2 2

m m ? 1, 内 ] 的 非 0 整 数 至 多 m-1 个 , 所 以 必 存 在 2 2

? i ? j ? m, ) Si ? S j ( 1
那么从第 i ? 1 项到第 j 项之和为 Si ? S j ? 0 ,命题得证. 综上所述,数列 A 中必存在若干项之和为 0. 4.A 5.2; 8? 6.A 7. (??,0) ?13 分

(1, ??)

8.解: (Ⅰ)由①,得 2 ? a ? 6 . 由②,当 i ? 2 , j ? 3 , k ? 4 时. 2 a , 6 a , 12 中至少有一个是数列 1 , 2 , a ,6 中的项,但 6a ? 6 , 12 ? 6 ,故 2a ? 6 ,解得 a ? 3 . 经检验,当 a ? 3 时,符合题意. ???3 分
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(Ⅱ)假设 2,3,5 是数列 An 中的项,由②可知:6,10,15 中至少有一个是数列 An 中 的项,则有限数列 An 的最后一项 an ? 5 ,且 n ? 4 . 由①, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 1. ??4 分

对于数 an?2 , an?1 , an ,由②可知: an?2 an?1 ? an ;对于数 an?3 , an?1 , an ,由②可知:

an?3an?1 ? an .
所以 an?2 ? an?3 ,这与①矛盾. 所以 2,3,5 不可能是数列 An 中的项. (Ⅲ) n 的最大值为 9 ,证明如下: (1)令 A9 : ?4, ?2, ?1, ? , ? ,0, ,1, 2 ,则 A9 符合①、②. (2)设 An : a1 , a2 , ???, an (n ? 3) 符合①、②,则: (ⅰ) An 中至多有三项,其绝对值大于 1.

???6 分

???7 分 ???8 分 ???11 分

1 2

1 4

1 2

假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 1,不妨设 ai , a j , ak , al 是 An 中 绝对值最大的四项,其中 1 ?| ai |?| a j |?| ak |?| al | . 则对 ai , ak , al 有 | ai al | ?| al | ,| ak al | ?| al | ,故 ai al , ak al 均不是数列 An 中的项, 即 ai ak 是数列 An 中的项. 同理: a j ak 也是数列 An 中的项. 但 | ai ak | ? | ak | , | a j ak | ? | ak | . 所以 ai ak ? a j ak ? al . 所以 ai ? a j ,这与①矛盾. (ⅱ) An 中至多有三项,其绝对值大于 0 且小于 1. 假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 0 且小于 1,类似(ⅰ)得出矛盾. (ⅲ) An 中至多有两项绝对值等于 1. (ⅳ) An 中至多有一项等于 0.
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综合(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) , (ⅳ)可知 An 中至多有 9 项. ???14 分 由(1) , (2)可得, n 的最大值为 9. 9.B
1 5 ( ,1] (1, ] 2 10. , 4

11.(Ⅰ) 解: 1,1,1, 2,3 .
* (Ⅱ)解:由 an ? 3n?1 ? m ,得 n ? 1 ? log3 m (m ? N )
* 所以当 1 ? m ? 2, m ? N 时, b1 ? b2 ? 1 . * 当 3 ? m ? 8, m ? N 时, b3 ? b4 ?
* 当 9 ? m ? 20, m ? N 时, b9 ? b10 ?

………4 分

? b8 ? 2 .

? b20 ? 3 .

所以 b1 ? b2 ?

? b20 ? 1? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 12 ? 50 .

……9 分

(Ⅲ)解:由 an ? 3n ? 2 ? m ,得

n?

m?2 (m ? N* ) 3 .

因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm ,
* 所以 b1 ? b2 ? b3 ? 1, b4 ? b5 ? b6 ? 2, ???, b3t ?2 ? b3t ?1 ? b3t ? t (t ? N ) .
* 当 n ? 3t ? 2 (t ? N ) 时,

Sn ? 3 ?

1 ? (t ? 1) 3t 2 ? t 1 (t ? 1) ? t ? ? (n ? 1)(n ? 2) 2 2 6 .

* 当 n ? 3t ? 1 (t ? N ) 时,

Sn ? 3 ?

1 ? (t ? 1) 3t 2 ? t 1 (t ? 1) ? 2t ? ? (n ? 1)(n ? 2) 2 2 6 .

* 当 n ? 3t (t ? N ) 时,

Sn ? 3 ?

1? t 3(t 2 ? t ) 1 ?t ? ? n(n ? 3) 2 2 6 .

? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 3t ? 2或n ? 3t ? 1, t ? N*), ? ? 6 Sn ? ? ? n(n ? 3) (n ? 3t , t ? N*). ? ? 6 所以

……14 分

12.D 13.100110;4 14.A
12

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15. 16.

13

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17.B 18.③④ 19.(Ⅰ)1,4,7 (Ⅱ)由 …………3 分

an ? 3n?1 ? m ,得 n ? 1 ? log3 m (m ? N * )
*

当 1 ? m ? 2, m ? N 时, 当 3 ? m ? 8, m ? N 时,
*

b1 ? b2 ? 1 b3 ? b4 ? ??? ? b8 ? 2 b9 ? b10 ? ? ? ? ? b26 ? 3 b27 ? b28 ? b29 ? b30 ? 4

………4 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分 ……………8 分

当 9 ? m ? 26, m ? N 时,
?

?

当 27 ? m ? 30, m ? N 时, ∴

b1 ? b2 ? ? ? ? ? b30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 18 ? 4 ? 4 ? 84 a1 ? S1 ? 1 ? c ? 1
∴c ? 0

(III)∵

a ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 当 n ? 2 时, n

* an ? 2 n ? 1 (n ? N )

…………9 分

a ? 2n ? 1 ? m 得: 由 n
因为使得 所以

n?

m ?1 (m ? N * ) 2

an ? m 成立的 n 的最大值为 bm ,

b1 ? b2 ? 1, b3 ? b4 ? 2, ???, b2t ?1 ? b2t ? t (t ? N * )
*

当 m ? 2t ? 1 (t ? N ) 时:
14

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Tm ? 2 ?

1 ? (t ? 1) 1 ? (t ? 1) ? t ? t 2 ? (m ? 1) 2 2 4
*

………11 分

当 m ? 2t (t ? N ) 时:

Tm ? 2 ?

1? t 1 ? t ? t 2 ? t ? m(m ? 2) 2 4

…………12 分

? (m ? 1)2 ( m ? 2t ? 1 , t ? N * ) ? ? 4 Tm ? ? ? m(m ? 2) (m ? 2t , t ? N * ) ? ? 4 所以
20.B 21.③④ 22. (Ⅰ)函数的定义域为 (0, ?? ) ,

…………13 分

f ?( x ) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) x ,

……………2 分

? 依题意 f ( x) ? 0 在 ( x ? 0) 时恒成立,则

a?

1 ? 2x 1 ? ( ? 1)2 ? 1 2 x x 在 ( x ? 0) 时恒成立,

1 ( ? 1)2 ? 1 当 x ? 1 时, x 取最小值 ?1 ,? a ? ( ??, ?1] .

………… 4 分

1 2 3 x ? x ? ln x ? b ? 0 2 (Ⅱ)已知条件等价于方程 4 在 [1, 4] 上有两个不同的实根, g ( x) ?


1 2 3 x ? x ? ln x, x ? [1, 4] 4 2 ,

g ?( x ) ?

( x ? 2)( x ? 1) ? ? 2x , x ? [1,2) 时, g ( x ) ? 0 , x ? (2, 4] 时, g ( x ) ? 0
5 g (1) ? ? , g ( 4) ? 2 ln 2 ? 2 ? g (2) ? ln 2 ? 2, 4 ,

g ( x) min

………… 6 分

g (1) ? g (4) ?


3 1 ? 2 ln 2 ? (3 ? 4 ln 4) ? 0 g (1) ? g (4) 4 4 ,得

5 b ? (ln 2 ? 2 , ? ] 4 则

……………8 分

15

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(Ⅲ)先证:当 x ? 0 时, ln x ? x ? 1 .

h( x ) ? ln x ? x ? 1,h?( x ) ?


1? x x , 可证 x ? (0,1) 时 h( x ) 单调递增,x ? (1, ??) 时 h( x )
……………9 分

h( x) max ? 0 .所以 x ? 0 时, ln x ? x ? 1 . 单调递减, x ? 1 时
用以上结论,由

an ? 0, 可得 ln an ? an ? 1 .

? an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ? 1 ? an ? 2 ? 2an ? 1 ,故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ……10 分

所以当 n ? 2 时,

0?

an ? 1 a ?1 a ?1 ? 2, 0 ? n ?1 ?2 0? 2 ? 2, an ?1 ? 1 an ?2 ? 1 a ? 1 1 ,…,

0?
相乘得

an ? 1 ? 2n ?1 a1 ? 1 .

………12 分 ……………13 分

又 a1 ? 1, 故

an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ? 1 .
【注:若有其它解法,请酌情给分. 】

23.D 24.(1) (2) (4) 25. (I)解:a45=49. ??3 分 (II)解:该等差数阵的第一行是首项为 4,公差为 3 的等差数列:a1j=4+3(j-1),第二 行是首项为 7,公差为 5 的等差数列:a2j=7+5(j-1), ??第 i 行是首项为 4+3(i-1),公差为 2i+1 的等差数列, 因此 aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j. ??7 分 (III)证明:必要性:若 N 在该等差数阵中,则存在正整数 i、j 使得 N=i(2j+1)+j, 从而 2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1),即正整数 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正 整数之积. 充分性:若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积,由于 2N+1 是奇数,则它必为 两个不是 1 的奇数之积,即存在正整数 k、l,使得 2N+1=(2k+1)(2l+1), 从而 N=k(2l+1)+l=akl,可见 N 在该等差数阵中. 综上所述, 正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之 积 ?13 分 26.C 27. 28.

1 2

1 1 ( x ? 1) 2 ? . 3 3 1 1 1 2 2 2 ? 所以 S n ? (n ? 1) ? ? n ? n(n ? N ). 3 3 3 3
解(I)由题意可知 f ( x) ?

............... ...........................................1 分
16

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1 2 2 1 2 2n ? 1 n ? n ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? . 3 3 3 3 3 2n ? 1 (n ? N ? ) .....4 分 当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 1 适合上式,所以,数列 {an } 的通项公式为 an ? 3
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (II)因为 bn ? an an?1 cos(n ? 1)? ,(n ? N ? ) 所以 Tn ? b1 ? b2 ?

? bn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ?

? (?1)n?1 anan?1

由(I)可知,数列 {an } 是以 1 为首项,公差为 ① 当 n ? 2m, m ? N ? 时,

2 的等差数列. 3

Tn ? T2m ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? a4a5 ?
? a2 m (a2 m ?1 ? a2 m ?1 )

? (?1)2m?1 a2ma2m?1

? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ?

4 4 a ? a2 m ? ? (a2 ? a4 ? ? a2 m ) ? ? ? 2 ?m 3 3 2 1 1 ? ? (8m 2 ? 12m) ? ? (2n 2 ? 6n). 9 9
② 当 n ? 2m ? 1, m ? N ? 时,

Tn ? T2m?1 ? T2m ? (?1)2m?1 a2ma2m?1

1 1 ? ? (8m 2 ? 12m) ? (16m 2 ? 16m ? 3) 9 9 1 1 ? (8m 2 ? 4m ? 3) ? (2n 2 ? 6n ? 7). 9 9
? 9 所以 T ? ? ? n ? 1 ? (2n 2 ? 6n), n ? 1 (2n 2 ? 6n ? 7), n ? ?9

...7 分

2 2 ? 要使 Tn ? tn2 对 n ? N 恒成立,只要使 ? (2n ? 6n) ? tn ( n 为正偶数)恒成立.

1 9

即使 ? (2 ? ) ? t 对 n 为正偶数恒成立,故实数 t 的取值范围是 ( ??, ? ]. .............9 分 (III)由 an ?

1 9

6 n

5 9

2n ? 1 知,数列 {an } 中每一项都不可能是偶数. 3
?

① 如存在以 a1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 {ank }, k ? N ,此时 {ank } 中每一项除第一 项外都是偶数,故不存在以 a1 为首项,公比为偶数的数列 {ank } . ② 当 q ? 1 时,显然不存在这样的数列 {ank } . 当 q ? 3 时,若存在以 a1 为首项,公比为 3 的数列 {ank }, k ? N ,则 an1 ? 1,
?

17

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n1 ? 1, ank ? 3k ?1 ? 2nk ? 1 3k ? 1 , nk ? . 3 2 3k ? 1 (k ? N ? ). ......13 分 2

所以存在满足条件的数列 {ank } ,且 nk ? 29.D

30. 31.

(0,

6 6 ] (0, ) 2 (或写成 2 )

1 8

(Ⅰ)解:符合条件的点列为 T:P 1 (1,1), P 2 (1, 2), P 3 (2, 2), P 4 (3, 2) ; 或 T:P 1 (1,1), P 2 (2,1), P 3 (2, 2), P 4 (3, 2) ;或 T:P 1 (1,1), P 2 (2,1), P 3 (3,1), P 4 (3, 2) .?? 3 分 (Ⅱ)证明:由已知,得 xi ? yi ? xi ?1 ? yi ?1 ? 1 , 所以数列 {xi ? yi } 是公差为 1 的等差数列. 由 x1 ? y1 ? 2 ,得 xi ? yi ? i ? 1 ( i ? 1, 2, 故 ? xi ? ? yi ? ? ( xi ? yi ) ? 2 ? 3 ?
i ?1 i ?1 i ?1 k k k

,k ) .

??? 3 分
1 k (k ? 3) . 2

? (k ? 1) ?

?? 5 分

若存在点列 T ,使得

?x ??y
i ?1 i i ?1

k

k

i

? 2k


1 k (k ? 3) ? 2k k ?1 2 则 ,即 k (k ? 3) ? 2 .
因为整数 k 和 k ? 3 总是一个为奇数,一个为偶数,且 k≥2 , 而整数 2
k ?1

中不含有大于 1 的奇因子,

所以对于任意正整数 k (k≥2) ,任意点列均不能满足 (Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知, yi ? i ? 1 ? xi (i ? 1, 2,
, 2n ? 1) ,

?x ??y
i ?1 i i ?1

k

k

i

? 2k

. ?? 8 分

所以

?x ??y
i ?1 i i ?1

k

k

i

? ( x1 ? x2 ?
? ( x1 ? x2 ?

? x2 n ?1 )(2 ? x1 ? 3 ? x2 ?
? x2n?1 )[(2 ? 3 ?

? 2n ? x2 n ?1 )
? x2n?1 )] ,

? 2n) ? ( x1 ? x2 ?

令 t ? x1 ? x2 ?

? x2n?1 ,
18

2015 各区一模压轴题集锦 白彦彬



?x ?? y
i ?1 i i ?1

k

k

i

? t[(n ? 1)(2n ? 1) ? t ]

.

??? 10 分

考察关于 t 的二次函数 f (t ) ? t[(n ? 1)(2n ? 1) ? t ] .
1

(1)当 n 为奇数时,可得 2
1, 2,

(n ? 1)(2n ? 1)

是正整数,
,n

可构造数列 { xi } : 对应数列 { yi } :

1 , (n ? 1), 2
n项

1 1 , (n ? 1), (n ? 1) ? 1, 2 2

, . (由此构造的点列符合已知条件)
1 1 ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2 2
( n ?1) 个

1,1,

,1,2,
n项

, n,

,n
1 ? (n ? 1) 2

x1 ? x2 ?

? x2 n ?1 ? 1 ? 2 ?

而且此时,
?1? 2 ?

1 ? n ? (n ? 1)(n ? 1) 2

1 ? (n ? 1)(2n ? 1) 2 , 1 t ? (n ? 1)(2n ? 1) 2 所以当 时,

?x ?? y
i ?1 i i ?1

k

k

i

1 (n ? 1)2 (2n ? 1)2 4 有最大值 .???12 分

1 1 1 (n ? 1)(2n ? 1) (n ? 1)(2n ? 1) ? 2 是离其最近的正整 (2)当 n 为偶数时, 2 不是正整数,而 2

数,
1, 2, n , , 2 n n , , ( ? 1), 2 2 n n , ( ? 1), ? 2, 2 2
n 项 2

,n

可构造数列 { xi } :

n ( +1)项 2



n n n n n 1,1, ,1, 2, , ? 1, ? 1, ? 2, , ? , , n 2 2 2 2 2

对应数列 { yi } :
x1 ? x2 ?

n ( +1)项 2

n 项 2

, (由此构造的点列符合已知条件)
n ? 2
n 个 2

? x2 n ?1 ? 1 ? 2 ?

?n?

?

n n ? ( ? 1) ? 2 2

n ? ( ? 1) 2

而且此时,
?1? 2 ?

n ( ?1) 个 2

n n n n ? n ? ? ? ( ? 1) ? ( ? 1) 2 2 2 2 1 1 ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2 2,

1 1 t ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2 2 时, 所以当

?x ?? y
i ?1 i i ?1

k

k

i

1 1 (n ? 1)2 (2n ? 1)2 ? 4. 有最大值 4
19

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??? 13 分 32.A 33. 4900

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