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2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测文科数学含详解及质量分析报告


2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测 文科数学质量分析报告

一、抽样统计分析

1.抽样全卷基本情况
及格 样本数 863 满分值 150 平均分 难度 标准差 人数 及格率 最高分

66.16

0.44

26.2

178

20.63

136

2.抽样分数段
分数段 人数 合计 分数段 人数 合计 90~99 100~109 0~49 50~59 60~69 70~79 80~89 抽样总数

248

104

125
685 110~119

109

99

863

120~129

130~139

140~150

75

52

41
178

8

2

0

3.各小题抽样情况
(1)选择题
正 题 满 确 分 选 号 值 项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 数 例% 数 例% 数 例% 数 例% 选人数 例% 人 比 人 比 人 比 人 比 (多) 选 比 A A B B C C D D 未 (多) 未

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

C A B D C B A D D B

9 540 67 65 20 84 472 105 17 166

1.04 62.57 7.76 7.53 2.32 9.73 54.69 12.17 1.97 19.24

25 100 684 65 88 645 71 139 10 228

2.9 11.59 79.26 7.53 10.2 74.74 8.23 16.11 1.16 26.42

811 78 46 117 717 73 179 79 168 290

93.97 9.04 5.33 13.56 83.08 8.46 20.74 9.15 19.47 33.6

12 139 60 607 31 55 132 533 660 171

1.39 16.11 6.95 70.34 3.59 6.37 15.3 61.76 76.48 19.81

6 6 6 9 7 6 9 7 8 8

0.7 0.7 0.7 1.04 0.81 0.7 1.04 0.81 0.93 0.93

0 1

69
5

8

100

11.59

655

75.9

32

3.71

7

0.81

C 171 19.81 372 43.11 117 13.56 192 22.25 11 1.27

1 1

5
2

A

满分 题 号 满分值 5 5 5 平均分 难度 区分度 标准差 人数
1 2 3

满分率

4.7 3.13 3.96

0.94 0.63 0.79

0.26 0.53 0.34

1.18 2.42 2.03

811 540 684

93.97 62.57 79.26

4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 5 5 5 5 5 5 5 5

3.52 4.15 3.74 2.73 3.09 3.82 1.32 3.79 0.99

0.7 0.83 0.75 0.55 0.62 0.76 0.26 0.76 0.2

0.56 0.42 0.52 0.57 0.63 0.38 0.34 0.39 0.19

2.28 1.88 2.17 2.49 2.43 2.13 2.21 2.15 1.99

607 717 645 472 533 660 228 655 171

70.34 83.08 74.74 54.69 61.76 76.48 26.42 75.9 19.81

题 号

满 分 值

平 均 分



区 分

标 准 差

及 格 人 数

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分





选 择 题 60

38.95

0.65

0.88

12.71

513

59.44

25

2.9

60

(2)填空题



满 分

平 均 分



区 分

标 准 差

及 格 人 数

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分









13 14 15 16

5 5 5 5

2.7 1.93 0.81 0.98

0.54 0.39 0.16 0.2

0.4 0.51 0.52 0.42

2.49 2.43 1.84 1.98

467 333 140 169

54.11 38.59 16.22 19.58

466 333 140 169

54 38.59 16.22 19.58

5 5 5 5

填 空 题

20

6.42

0.32

0.73

5.5

122

14.14

36

4.17

20

(3)解答题 题 满 分 号 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及 格 人 数 及 格 率 满 分 人 数 满 分 率 最 高 分

17 18 19 20 21 选考 解 答 题

12 12 12 12 12 10 70

5.62 2.58 6.8 0.71 1.8 3.28 20.79

0.47 0.22 0.57 0.06 0.15 0.33 0.3

0.78 0.63 0.65 0.46 0.53 0.61 0.9

4.08 2.91 4.04 1.19 1.67 3.14 12.3

225 81 288 1 13 168 62

26.07 168 9.39 23 33.37 268 0.12 0 1.51 0 19.47 104 7.18 0

19.47 2.67 31.05 0 0 12.05 0

12 12 12 9 10 10 57

(4)第 II 卷 题 满 分 号 第 II 卷 90 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及格 人数 及 格 率 满分 人数 满 分 率 最 高 分

27.21

0.3

0.93

16.19

74

8.57

0

0

77

选考题数据统计

题号

满分值

选择人数

平均分

难度

标准差

及格人数

及格率%

最高分

22 23 24

10 10 10

50 513 208

4.04 4.15 2.38

0.40 0.42 0.24

3.54 7.18 2.05

11 142 15

22.00 27.68 7.21

10 10 10

二、各题质量分析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1 第 1 题:已知集合 S ? ? 0,?,集合 T ? ? 0 ?, ? 表示空集,那么 S ? T ?
(A) ? (B) ? 0 ?

1 (C) ? 0 , ?
本题考查集合的概念和运算.

1 0 (D) ? 0 , , ?

1 解: ∵ S ? ? 0,?, T ? ? 0 ?, 1 ∴ S ? T ? ? 0,?.
故选 C. 第 2 题:抛物线 y ? (A) ( 0 , 2 ) (C) ( 2 , 0 ) 本题考查抛物线的标准方程.
1 2 x 的焦点坐标为 8

(B) ( 0 , (D) (

1 ) 32

1 ,0) 32

解: ∵ y ?

1 2 x , 8

∴ x2 ? 8y ? 2 ? 4 y . ∴y?
1 2 x 的焦点坐标为 ( 0 , 2 ) . 8

故选 A. 答题分析:解答本题首先要把抛物线的方程 y ?
1 2 x 化为标准方程 x 2 ? 8 y , 8

这样才能得出正确答案.这也是考生容易出错的地方.

第 3 题:一个由正数组成的等比数列,它的前 4 项和是前 2 项和的 5 倍,则此数 列的公比为 (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4

本题考查等比数列的概念及其相关运算. 解:设此数列的公比为 q ,根据题意得 q ? 0 ,且 解得 q ? 2 . 故选 B.

a1 (1 ? q 4 ) 5a1 (1 ? q 2 ) , ? 1? q 1? q

答题分析:考生容易忽视条件“一个由正数组成的等比数列” ,如果改为填 空题,考生容易得出错误答案 q ? ?2 . 第 4 题: 已知平面向量 a ? ( 1 , 2 ) ,b ? ( x , 1 ) , 如果向量 a ? 2 b 与 2 a ? b 平行, 那么 a 与 b 的数量积 a ? b 等于 (A) ? 2 (B) ? 1 (C)
3 2

(D)

5 2

本题考查向量的概念及其与运算,考查向量平行,考查两个向量的数量积. 解:∵ a ? ( 1 , 2 ) , b ? ( x , 1 ) , ∴ a ? 2 b ? 1 ? 2 x , 4) , 2 a ? b ? (2 ? x , 3) . (

∵ a ? 2 b 与 2 a ? b 平行,∴ 3(1 ? 2 x) ? 4(2 ? x) ? 0 ,解得 x ? ∴b ? ( 故选 D.
5 1 , 1 ) .∴ a ? b ? . 2 2

1 . 2

第5题: 如图是一个空间几何体的三视图, 其中正视图和侧视图都是半径为 1 的半 圆,俯视图是半径为 1 的圆,则该几何体的体积等于 (A) 4?
4? 3 2? (C) 3
正视图 侧视图

(B)

(D)

? 3

俯视图

本题以半球为载体,考查由三视图还原几何体的能力. 解: 由三视图知几何体是半球,
1 4? ? 13 2? 体积为 ? . ? 2 3 3

∴故选 C. 第 6 题:曲线 y ? x( x ? 1)(x ? 2) ? 3 ln x 在点 (1 , 0 ) 处的切线方程为 (A) 4 x ? y ? 4 ? 0 (C) 3x ? y ? 3 ? 0 (B) 4 x ? y ? 4 ? 0 (D) 3x ? y ? 3 ? 0

本题考查导函数的求法,考查曲线上一点处的切线方程的求法. 解: ∵ y ? ? ( x ? 1)( x ? 2) ? x[( x ? 1)( x ? 2)]? ?
? ( x ? 1)( x ? 2) ? x ( x ? 2) ? x ( x ? 1) ? 3 x

3 , x

∴当 x ? 1 时, y ? ? ?4 . ∴曲线 y ? x( x ? 1)(x ? 2) ? 3 ln x 在点 (1 , 0 ) 处的切线方程为 4 x ? y ? 4 ? 0 . ∴故选 B. 答题分析: 1.题中涉及三项乘积的导数的求法,一些考生不能把它转化为两 项乘积的导数来求解. 2. 也 可 以 把 三 项 的 乘 积 展 开 后 再 求 导 数 , 即

? x( x ? 1)( x ? 2)?? ? ? x ? x2 ? 3x ? 2??? ? ? x3 ? 3x2 ? 2x ?? ? 3x2 ? 6x ? 2 . ? ?
第 7 题:已知 i 是虚数单位,如果复数 z 满足 z ? z ? 1 ? i ,那么 z ? (A) i (C) 1 ? i (B) ? i (D) 1 ? i

本题考查复数,考查复数的基本运算,考查方程的思想方法. 解: 设 z ? x ? yi , x 、 y 都是实数,则 z ? z ? x 2 ? y 2 ? x ? yi , ∵ z ? z ?1 ? i,

y ?1 y ?1 ? ? ∴? 2 ,解方程得 ? 2 . 2 2 ? x ? y ? x ?1 ? x ? y ? x ?1
∴z ?i. ∴故选 A. 答题分析:本题解题方法是利用复数相等条件来列等式,求出未知数.复数 不能比较大小,但复数可以相等.本题体现了这一思想. 第 8 题:已知直线 l 经过点 M ( 2 , 3 ) ,当 l 截圆 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 9 所得弦长 最长时,直线 l 的方程为 (A) x ? 2 y ? 4 ? 0 (C) y ? 3 ? 0 本题考查直线和圆的基本知识. 解: ∵ l 截圆 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 9 所得弦长最长, ∴直线 l 经过圆 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 9 的圆心 ( 2 , ? 3 ) . 由已知得直线 l 经过点 M ( 2 , 3 ) 和圆心 ( 2 , ? 3 ) . ∴直线 l 的方程为 x ? 2 ? 0 . ∴故选 D. 第 9 题:从分别写有 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的五张卡片中任取两张,假设每张卡片被 取到的概率相等, 且每张卡片上只有一个数字,则取到的两张卡片上的数字之和 (B) 3x ? 4 y ? 18 ? 0 (D) x ? 2 ? 0

为偶数的概率为 (A) (C)
4 5 13 25

(B) (D)

16 25 2 5

本题考查概率的古典概型,考查用枚举法求概率. 解: 从分别写有 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的五张卡片中任取两张,总的情况为:

(1, 2) , (1 , 3) , (1, 4) , (1 , 5) , (2 , 1) , (2 , 3) , (2 , 4) , (2 , 5) , (3 , 1) , (3 , 2) , (3 , 4) , (3 , 5) , (4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 5) , (5 , 1) , (5 , 2) , (5 , 3) , (5 , 4) 共 20 种情况.
两张卡片上的数字之和为偶数的有: (1 , 3) , (1 , 5) , (2 , 4) , (3 , 1) ,

(3 , 5) , (4 , 2) , (5 , 1) , (5 , 3) 共 8 种情况.
∴从分别写有 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的五张卡片中任取两张,这两张卡片上的数 8 2 ? . 字之和为偶数的概率 P ? 20 5 故选 D. 第 10 题: 已知 f (x) 是定义域为实数集 R 的偶函数, x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 , 若 ? ? 则
1 3 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .如果 f ( ) ? , 4 f ( log1 x ) ? 3,那么 x 的取值范围为 3 4 x2 ? x1 8

(A) ( 0 ,

1 ) 2

(B) (

1 , 2) 2 1 1 ) ? ( , 2) 8 2

1 (C) ( , 1 ] ? ( 2 , ? ? ) 2

(D) ( 0 ,

本题综合考查函数的奇偶性、单调性. 解:∵ ? x1 ? 0 , ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?0, x2 ? x1

∴定义在实数集 R 上的偶函数 f (x) 在 [ 0 , ? ? ) 上是减函数. ∵ 4 f ( log1 x ) ? 3, ∴ f ( log1 x ) ?
8
8

3 1 , 即 f ( log1 x ) ? f ( ) . 4 3 8

?log1 x ? 0, ? log1 x ? 0, ? 8 ? 8 1 ∴? 1, 或 ? 1 , 解得 2 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2 . ? log1 x ? ?log1 x ? ? 3 3 ? 8 ? 8 1 ∴ ? x ? 2. 2
故选 B.. 答题分析:1.本题首先要看出函数 f (x) 在 [ 0 , ? ? ) 上是减函数. 2.根据函数的单调性“去 f ” :∵ 4 f ( log1 x ) ? 3 , ∴ f ( log1 x ) ?
8
8

3 , 即 4

1 1 f ( log1 x ) ? f ( ) ,但这个不等式并不等价于 log 1 x ? ,原因是函数 f (x) 在 3 3 8 8

[ 0 , ? ? ) 上是减函数,但在 ? ??,0? 上却是增函数.
事 实 上 , ∵ f (x) 是 定 义 域 为 实 数 集 R 的 偶 函 数 , ∴ 上 式 可 化 为
? f ? log 1 x ? 8 ? ? 1 ?1? ? ? f ? ? ,即 log 1 x ? ,接下来分类讨论去绝对值即可. ? 3 ? 3? 8 ?

第 11 题:某学校高一年级、高二年级、高三年级共有学生 3500 人,其中高三年 级学生数是高一年级学生数的两倍, 高二年级学生比高一年级学生多 300 人, 现 按年级用分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本. 如果在这个样本中,有高三年级学生 32 人,那么为得到这个样本,在从高二年 级抽取学生时,高二年级每个学生被取到的概率为
1 20 1 (C) 50

(A)

1 30 1 (D) 100

(B)

本题考查统计中分层抽样的计算. 解: 设高三学生数为 x ,则高一学生数为 ∴有 x ?
x x ,高二学生数为 ? 300 , 2 2

x x ? ? 300 ? 3500 ,解得 x ? 1600 ,高三学生数为 1600 . 2 2 32 1 ? . 1600 50

∵在这个样本中,高三年级学生有 32 人, ∴每个学生被抽到的概率为 故选 C.

答题分析: 本题不是求高二年级这一层将抽到多少学生,这是与以往不同的 地方.我们所学习的三种抽样方法都是等概率抽样,即每个个体被抽到的概率都 相等,据此便可解答本题. 第 12 题:在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC ,底面 ? ABC 是正三角形, M 、
N 分别是侧棱 PB 、 PC 的中点. 若平面 AMN ? 平面 PBC ,则侧棱 PB 与平面

ABC 所成角的正切值是

(A)

5 2 3 2 2 2 6 3
O

(B)

(C)

(D)

本题考查空间线面的位置关系,考查线面角的求法. 解: 设 MN 的中点为 D , BC 的中点为 E ,连接 AD , AE , PE . ∵ PA ? PB ? PC , ∴ P 在平面 ABC 内的射影是等边 ? ABC 的中心 O . ∴ ?PBO 是侧棱 PB 与平面 ABC 所成的角. 由已知得 AM ? AN ,设 MN 的中点为 D ,则 AD ? MN . ∵平面 AMN ? 平面 PBC , ∴ AD ? 平面 PBC . ∵ M , N 分别是侧棱 PB , PC 的中点, ∴ D 是 PE 的中点. ∵ AD ? PE , ∴ PA ? AE . 设等边 ? ABC 的边长为 a ,侧棱长为 b ,则 b ?
3 a. 2

3a a2 15a 2 ∵ BO ? , , PO ? b ? ? 3 3 6
∴ tan?PBO ? ∴故选 A. 答题分析:1.本题的关键在于对空间线面位置关系进行正确而有效的转化, 只要哪一步思维卡壳,就很难做下去了. 2.首先要找到侧棱 PB 与平面 ABC 所成角 ?PBO . 接下来要用面面垂直推出线面垂直,进而推出线线垂直.然后再逆用等腰三 角形的性质, 得出 PA ? AE .从而找到底面正三角形边长 a 和侧棱长 b 之间的等量 关系. 最后才是计算 ?PBO 的正切值. 3.本题的难点在于:首先要找出所求的线面角,其次如何根据条件找到底面 边长 a 和侧棱长 b 的等量关系.
PO 5 . ? BO 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 第 13 题:如果执行下列程序框图,那么输出的 S ?
开始 k =1



S ?0
k ? 20 ?
? 是
S ? S ? 2k



输出 S 结束

k ? k ?1

本题考查程序框图,考查等差数列前 n 项和的求法.

解:根据程序框图的意义,得 S ? 2 ? ?1 ? 2 ? L ? 20? ? 20 ? 21 ? 420 .

第 14 题:已知 ? ABC 的面积等于 S ,在 ? ABC 的边
AB 上任取一点 P , ? PBC 的面积不小于 则

S 的概率 7

等于



本题考查几何概型的计算.

解:设 ? ABC 底边 AB 上的高为 h , P 在 ? ABC 的边 AB 上,且 P1 B ? 1
AP1 ? 6 AB . 7

AB , 7

1 1 AB 1 1 1 .h ? ? ? AB ? h ? S , 则有 S?P1BC ? ? PB ? h ? . 1 2 2 7 7 2 7 S ∵ ? PBC 的面积不小于 , 7

同理有 S ?P1 AC ?

6 S. 7

∴点 P 只能在线段 AP 上. 1 ∴ ? PBC 的面积不小于
6 S 的概率等于 . 7 7

2

0

0

答题分析:1.几何概型是将概率问题转化为几何图形问题.本题是将面积概率
0

7

问题转化为线段长问题,由于线段 CP 上有无数个点 P ,在线段 CP 上任取一点 1 1
1 2

S .由于总面积 S 相当于线段长 BC , S?PBC 相当于线段长 PC , 1 7 6 S 所以得 ? PBC 的面积不小于 的概率等于 .解题时应注意体会几何概型事件的 7 7
P ,都有 S ?PBC ?
6

无限性与古典概型事件的有限性.
1 2.有的考生填写的是 ,可能是把“不小于”看成了“小于”.这提示我 7

们,读题要慢,审题要细,只有这样才能减少失分. 第 15 题:设 F1 、 F2 为双曲线
x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在此双曲线上, a2

PF1 ? PF2 ? 0 , 如果此双曲线的离心率等于
于 .

5 ,那么点 P 到 x 轴的距离等 2

本题考查双曲线,考查双曲线的焦点三角形,离心率等知识和方法.

5 x2 解法一: ∵ 2 ? y 2 ? 1 的离心率等于 , a 2

a2 ? 1 5 ? . a2 4

∴ a2 ? 4 . ∵ PF ? PF2 ? 0 , 1 ∴ PF ? PF2 . 1 ∴ PF1 ? PF2 . ∵点 P 在双曲线
x2 ? y 2 ? 1 上, 4

∴ ( PF ? PF2 )2 ? 16. 1 ∴ PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 ? 16 .
2 2

∴ 4 ? (4 ? 1) ? 2 PF PF2 ? 16. 1 ∴ PF PF2 ? 2 . 1 设点 P 到 x 轴的距离等于 d ,则 2 4 ? 1 ? d ? PF1 PF2 . ∴d ?

5 . 5
x2 ? y 2 ? 1 ,∴ F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0? . 2 a

解法二(方程思想):∵



5 x2 a2 ? 1 5 ? y 2 ? 1 的离心率等于 ,∴ 2 ? , a 2 ? 4 , c ? 5 . a 4 a2 2

∴,双曲线方程为 x 2 ? 4 y 2 ? 4 . 设 P ? m, n ? ,则 m2 ? 4n2 ? 4 ① ②

由 PF ? PF2 ? 0 得 ? ?c ? m, ?n ? ? ? c ? m, ?n ? ? m2 ? 5 ? n2 ? 0 1 解得 n ? ?
5 5 ,从而点 P 到 x 轴的距离等于 . 5 5

第 16 题:已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边,若
c 1 b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 , ? ? 3 ,则 tan B 的值等于 b 2 bc



本题考查解三角形,涉及正余弦定理、三角变换. 解: 根据余弦定理得: cos A ? ∵ A 是三角形的内角, ∴A?
b2 ? c 2 ? a 2 1 ? . 2bc 2

?
3

.
2? ? B. 3

在 ?ABC 中, C ? ? ? A ? B ? ∴ sin C ?
3 1 cos B ? sin B . 2 2

3 1 cos B ? sin B sin C 1 2 ? 2 ? ? 3. 根据正弦定理和已知得: sin B sin B 2

∴ 3 sin B ? ∴ tan B ?

3 cos B . 2

1 . 2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 看出这是关于角 A 答题分析:1.解答本题的一个关键是要从 bc

的余弦定理,可得出 A ? 2. 因 为

?
3

.
1 ? 3 ,这个式子展开后,得 2

?0 c s i C s i ?n 1? 2 B ? n ? ? ? b s iB n sin B

3 cos B 1 1 ? ? ? 3 ,解之即可. 2 sin B 2 2

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 第 17 题: (本小题满分 12 分)

已知 f ( x ) ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? . 2 2

(Ⅰ)写出 f (x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)若 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? m 对称,并且 5 ? m ? 6 ,求 m 的值. 本题考查三角函数的化简计算,考查三角函数的周期性和对称性. 解:(Ⅰ)∵ f (x ) ?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) , 2 2 6
2? ?? . 2

∴ f (x) 的最小正周期 T ?

(Ⅱ)∵ y ? f (x) 的图象关于直线 x ? m 对称, ∴ 2m ? ∴m ?

?
6

? k? ?

?
2

,k ?Z .

k? ? ? ,k ?Z . 2 3 11? ∵ 5 ? m ? 6 ,∴ m ? . 6

第 18 题: (本小题满分 12 分) 某投资公司年初用 98 万元购置了一套生产设备并即刻生产产品,已知与 生产产品相关的各种配套费用第一年需要支出 12 万元, 第二年需要支出 16 万元, 第三年需要支出 20 万元,??,每年都比上一年增加支出 4 万元,而每年的生 产收入都为 50 万元.假设这套生产设备投入使用 n 年,n ? N ? ,生产成本等于生 产设备购置费与这 n 年生产产品相关的各种配套费用的和, 生产总利润 f (n) 等于 这 n 年的生产收入与生产成本的差. 请你根据这些信息解决下列问题: (Ⅰ)若 f ( n ) ? 0 ,求 n 的值; (Ⅱ)若干年后,该投资公司对这套生产设备有两个处理方案: 方案一: 当年平均生产利润取得最大值时, 26 万元的价格出售该套设备; 以 方案二: 当生产总利润 f (n) 取得最大值时, 8 万元的价格出售该套设备. 以 你认为哪个方案更合算?请说明理由. 本题考查考生的阅读和建模能力,综合考查考生运用函数、数列、均值不等

式等知识和方法解决实际问题能力. 解:(Ⅰ)由题意知该公司这 n 年需要支出与生产产品相关的各种配套费用 是以 12 为首项, 4 为公差的等差数列的前 n 项和. ∴ f ( n ) ? 50n ? 98 ? [12 ? 16 ? L ? (4n ? 8)] ? ?2n 2 ? 40n ? 98 . 由 f (n) ? 0 得 ? 2n 2 ? 40n ? 98 ? 0 ,解得 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51 . ∵ n ? N ? ,∴ n ? 3 , 4 , 5 ,??, 17 . ∴ f ( n ) ? 0 的解集为 n n ? N ? , 3 ? n ? 17 . (Ⅱ)(1) 由已知得年平均生产利润为 ∵
f ( n) 49 ? 40 ? 2(n ? ) . n n

?

?

f ( n) 49 ? 40 ? 2(n ? ) ? 40 ? 28 ? 12 , n n 49 ( n ? N ? ) ,即 n ? 7 , “ ? ”成立 ? n ? n

∴当 n ? 7 时,年平均生产利润取得最大值,若执行方案一,总收益 为 7 ? 12 ? 26 ? 110 (万元). (2) ∵ f ( n ) ? ?2n 2 ? 40n ? 98 ? ?2 ( n ? 10) 2 ? 102, n ? N ? , ∴当 n ? 10 时,生产总利润取得最大值,若执行方案二,总收益为
102 ? 8 ? 110 (万元).

∴无论执行方案一还是方案二,总收益都为 110 万元. ∵ 7 ? 10 ,∴从投资收益的角度看,方案一比方案二更合算. 注:第(Ⅱ)问答案不唯一,只要言之有理即可. 答题分析:1.由于文字叙述较长,很多考生对题意不甚了了,所建立的函数 模型也是错误百出,从而导致本题的得分是很低的. 2.第(Ⅰ)问中,很多考生在求 f ? n ? 的时候,都把等差数列的前 n 项和错 误理解为第 n 项 an 了,即 f ( n ) ? 50n ? 98 ? [12 ? 4 ? n ? 1?] . 3.第(Ⅱ)问中,一些考生不理解“年平均生产利润取得最大值”“生产总 、 利润 f (n) 取得最大值”的含义,从而无法建立模型. 4. 第(Ⅱ)问中,所建立的模型是对的,并且也求出了 n 分别等于 7 和 11, 但之后就不知道应该选择哪一个量作为标准,来判断哪个方案更好.

第 19 题: (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 A1 B1 C1 D1 ? ABCD中, AB ? a , AD ? b , AA1 ? c ,M 是 线段 B1 D1 的中点. (Ⅰ)求证: BM // 平面 D1 AC ; (Ⅱ)求平面 D1 AC 把长方体 A1 D1 M B1 C1

A1 B1 C1 D1 ? ABCD分成的两
部分的体积比. A

D B

C

本题考查空间线面位置关系,考查线面平行,考查三棱锥体积的求法. (Ⅰ)证明:设 AC 的中点为 O ,连接 OD1 , BD . 根据题意得 AC ? BD ? O , BO // MD1 ,且 BO ? MD1 . D1 ∴四边形 BOD1 M 是平行四边形. M A1 ∴ BM // OD1 . ∵ BM ? 平面 D1 AC , OD1 ? 平面 D1 AC , ∴ BM // 平面 D1 AC . (Ⅱ)解:∵ VD1 ? ADC ?
1 abc ? S ? ADC ? D1 D ? , 3 6

C1

D A O B

C

VABCD? A1B1C1D1 ? AD ? DC ? D1 D ? abc,
∴空间几何体 A1 B1 C1 D1 ABC 的体积 V ? VABCD? A1B1C1D1 ? VD1 ? ADC
? abc ? abc 5abc ? . 6 6

∴ VD1 ? ADC : V ? 1 : 5 或 V : VD1 ?ADC ? 5 : 1 ,即平面 D1 AC 把长方体

A1 B1 C1 D1 ? ABCD分成的两部分的体积比为 1 : 5 或 5 : 1 .
答题分析:1. 第(Ⅰ)问有一点难度,需要作辅助线,这几乎是用几何法 证明线面平行、线面垂直的必经之路了,对此考生要有意识. 2.第(Ⅱ)问的解决比较简单,并且不依赖于第(Ⅰ)问,有的考生第(Ⅰ)

问没有做出来,但第(Ⅱ)问做出来了,这是一种好的现象,说明考生能够把会 做的做对了. 第 20 题: (本小题满分 12 分) 已知 F1 、 F2 分别是椭圆 E :
x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点,点 a 2 b2

P( 2 , 3 ) 在直线 x ?

a2 上,线段 PF 的垂直平分线经过点 F2 .直线 y ? k x ? m 1 b

与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ,且椭圆 E 上存在点 M ,使 OA ? OB ? ? OM , 其中 O 是坐标原点, ? 是实数. (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)当 ? 取何值时, ? ABO 的面积最大?最大面积等于多少? 本题综合考查直线和椭圆的相关问题,综合考查考生的运算求解能力. 解:(Ⅰ)设椭圆 E 的半焦距为 c ,根据题意得
?a2 ? b ? 2, ? c ? 1, ? ? 2 2 ? 2 2 ? F1 F2 ? (2c ) ? PF2 ? (2 ? c) ? 3 , 解方程组得 ? b ? 1 , ?a ? 2 . ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c , ? ?
x2 ? y2 ? 1. ∴椭圆 E 的方程为 2
? y ? kx ? m, 由? 2 ,得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 . x ? 2y2 ? 2 ?

根据已知得关于 x 的方程 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0 有两个不相等的实 数根. ∴ ? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 8(1 ? 2k 2 ? m2 ) ? 0 , 化简得: 1 ? 2k 2 ? m 2 . 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 , ? 则? 2 ? x x ? 2m ? 2 . ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2m ? 2m . 1 ? 2k 2

(1)当 ? ? 0 时,点 A 、 B 关于原点对称, m ? 0 ,满足题意; (2)当 ? ? 0 时,点 A 、 B 关于原点不对称, m ? 0 .

? 4km ? 1 ? ? x M ? ? (1 ? 2k 2 ) , uur uur u uuur ? x M ? ? ( x1 ? x 2 ), ? ? 由 OA ? OB ? ? OM ,得 ? 即? 2m ? y M ? 1 ( y1 ? y 2 ), ? yM ? . ? ? ? ? ? (1 ? 2k 2 ) ?
1 ? 4km 2 2m ] ?[ ]2 ? 1 , ∵ M 在椭圆 E 上,∴ [ 2 2 2 ? (1 ? 2k ) ? (1 ? 2k )

化简得: 4m 2 ? ?2 (1 ? 2k 2 ) . ∵ 1 ? 2k 2 ? m 2 ,∴ 4m 2 ? ?2 m 2 . ∵m ? 0, ∴ ?2 ? 4 ,即 ? 2 ? ? ? 2 且 ? ? 0 . 综合(1)(2)两种情况,得实数 ? 的取值范围是 ? 2 , 2 ) . 、 ( (Ⅱ)当 ? ? 0 时,m ? 0 ,此时, A 、 B 、O 三点在一条直线上,不构成 ? ABO . ∴为使 ? ABO 的面积最大, ? ? 0 .
4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 , ? ∵? 2 ? x x ? 2m ? 2 , ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

∴ AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ∵原点 O 到直线 y ? k x ? m 的距离 d ?

2 2 1 ? k 2 1 ? 2k 2 ? m 2 . 1 ? 2k 2

m 1? k 2



1 ∴ ?AOB 的面积 S ? AB ? d ? 2

2 m 1 ? 2k 2 ? m 2 1 ? 2k 2



∵ 4m 2 ? ?2 (1 ? 2k 2 ) , ? ? 0 , ∴ 1 ? 2k 2 ?
4m 2

?2
4m 2

.
4

2m

∴S ?

? ?2

2

? m2 ?

2?2

?2
4

?1 ?

4m 2

2 4?2 ? ?4 2 ? ?2 (4 ? ?2 ) . 4 4

∵ ?2 ( 4 ? ?2 ) ?
2 . 2

?2 ? 4 ? ?2
2

? 2,

∴S ?

“ ? ” 成立 ? ?2 ? 4 ? ?2 ,即 ? ? ? 2 . ∴当 ? ? ? 2 时, ? ABO 的面积最大,最大面积为
2 . 2

答题分析:1.由于题目较长,一些考生不能识别有效信息,未能救出椭圆 E 的方程求. 2. 第(Ⅰ)问,求 ? 的取值范围.其主要步骤与方法为:由 ? ? 0 ,得关于 k 、

m 的不等式 1 ? 2k 2 ? m 2 ??

①.

由根与系数的关系、 OA ? OB ? ? OM , M 在椭圆 E 上,可以得到关于 k 、

m 、 ? 的等式 4m 2 ? ?2 (1 ? 2k 2 ) ?? ②.
把等式②代入①,可以达到消元的目的,但问题是这里一共有三个变量,就 是消了 m ,那还有关于 k 和 ? 的不等式,如何求出 ? 的取值范围呢?这将会成为 难点. 事实上,在把等式②代入①的过程中, k 和 m 一起被消掉,得到了关于 ? 的 不等式.解之即可.

3.第(Ⅱ)问要把 ? ABO 的面积函数先求出来.用弦长公式求底,用点到直
1 线的距离公式求高,得到 ?AOB 的面积 S ? AB ? d ? 2

2 m 1 ? 2k 2 ? m 2 1 ? 2k 2

,函数

中有两个自变量 k 和 m ,如何求函数的最大值呢?这又成为难点. 这里很难想到把②代入面积函数中,因为②中含有三个变量,即使代入消掉 一个后, 面积函数依然有两个自变量.但这里很巧合的是: 代入消掉 k 后, 事实上,

m 也自动地消除了,于是得到了面积 S 和自变量 ? 的函数关系
S ?

2 ( ?2 (4 ? ?2 ) ,再由第(Ⅰ)中所得到的 ? 的取值范围 ? 2 , 2 ) ,利用均 4

值不等式,即可求出面积的最大值了. 4.解析几何的难点在于运算的繁杂,本题较好地体现了解解析几何题设题要 求.对此,考生要有足够的心理准备. 5.解答本题给我们的启示:不能死抱一些“结论” ,比如两个未知数需要两 个方程才能解出来等等.事实上,当那方程比较特殊的时候,即便是有多个未知 数,也是可以把所有未知数都解出来的.很多时候的巧,会给我们山重水复疑无 路,柳暗花明又一村的惊喜!

第 21 题: (本小题满分 12 分)
3 2 已知常数 a 、 b 、 c 都是实数,函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c x ? 16 的导函数为 f ?( x ) ,

f ? ( x ) ? 0 的解集为 ? x ? 2 ? x ? 3 ?.

(Ⅰ)若 f ( x ) 的极大值等于 65 ,求 f ( x ) 的极小值; ( Ⅱ ) 设 不 等 式 f ?( x ) ? 6 a x ? 0 的 解 集 为 集 合 T , 当 x ? T 时 , 函 数

F ( x) ? f ( x) ? ma ? 16 只有一个零点,求实数 m 的取值范围.
本题通过导数综合考查函数的单调性、极值、零点、比较大小等知识. 解:(Ⅰ) ∵ f ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? c x ? 16 ,∴ f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c . ∵不等式 f ? ( x ) ? 0 的解集为 ? x ? 2 ? x ? 3 ?,

∴不等式 3ax2 ? 2bx ? c ? 0 的解集为 ? x ? 2 ? x ? 3 ?.

? ? a ? 0, ? a ? 0, ? ? 2b 3a ? ∴ ?? 2 ? 3 ? ? , 即 ?b ? ? , 2 3a ? ? c ? ?18a. c ? ? ? 2?3 ? , ? 3a ? 3a 2 x ? 18ax ? 16 , ∴ f ( x) ? a x 3 ? 2
f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ? 18a ? 3a( x ? 3)(x ? 2) .

∴当 x ? (? ? , ? 2) 或 x ? (3 , ? ?) 时,f ?( x) ? 0 , f (x) 为单调递减函数; 即 当 x ? (? 2 , 3) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f (x) 为单调递增函数. ∴当 x ? 3 时, f (x) 取得极大值,当 x ? ? 2 时, f (x) 取得极小值. 由已知得 f ( 3 ) ? 27 a ?

27 a ? 54 a ? 16 ? 65 ,解得 a ? ?2 . 2

∴ f ( x) ? ?2 x 3 ? 3x 2 ? 36x ? 16. ∴ f (x) 的极小值 f ( ?2) ? ? 60. (Ⅱ)∵ a ? 0 , f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ? 18a , f ?( x) ? 6ax ? 0 , ∴ x 2 ? x ? 6 ? 0 ,解得 ? 3 ? x ? 2 ,即 T ? ? x ? 3 ? x ? 2 ?. ∵ F ( x) ? f ( x) ? ma ? 16 ,∴ F ? ( x ) ? f ?( x ) .

F ∴当 x ? (? ? , ? 2) 或 x ? (3 , ? ?) 时, ?( x) ? 0 , F (x ) 为单调递减函数; 即
当 x ? (? 2 , 3) 时, F ?( x) ? 0 ,即 F (x ) 为单调递增函数. ∴当 x ? ( ? 3 , ? 2) 时, F (x ) 为单调递减函数; 当 x ? (? 2 , 2) 时, F (x ) 为单调递增函数. ∵ F ( ?3) ? f ( ?3) ? ma ? 16 ?

27 a ? ma , 2

F (2) ? f (2) ? ma ? 16 ? ? 34a ? ma , a ? 0 ,

∴ F ( ?3) ? F (2) .

? F ( ?3) ? 0, ∴ F ( x ) 在 [ ? 3 , 2] 上只有一个零点 ? ? 或 F ( ?2) ? 0 . ? F (2) ? 0, ? F ( ?3) ? 0, 27 由? 得 ? 34 ? m ? ; 2 ? F (2) ? 0,
由 F ( ?2) ? 0 ,即 f ( ?2) ? ma ? 16 ? 0 ,得 m ? 22 . ∴实数 m 的取值范围为 ? 34 ? m ? ∴当 ? 34 ? m ? 只有一个零点. 答题分析:1.第(Ⅰ)的解答还是要破费周折的. 首先要求出导函数 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c . 然 后 根 据 f ? ( x) ? 0 的 解 集 为 ? x ? 2 ? x ? 3 ? , 通 过 解 混 合 组 , 得 到
27 或 m ? 22 . 2

27 或 m ? 22 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ma ? 16 在[ ? 3 , 2] 上 2

? a ? 0, ? 3a 3a 2 3 x ? 18ax ? 16 . ?b ? ? , 进而得到 f ( x ) ? a x ? 2 2 ? ?c ? ?18a.
接下来通过研究函数 f ? x ? 的单调性,由 f ( x ) 的极大值等于 65 ,可解得
a ? ?2 ,这样就可以求出 f ? x ? 的极小值 f ( ?2) ? ? 60 .

2. 第 ( Ⅱ ) 问 先 由 不 等 式 f ?( x ) ? 6 a x ? 0 的 解 集 为 集 合 T , 可 以 解 得

T ? ? x ? 3 ? x ? 2 ?.
然后研究 F ( x) ? f ( x) ? ma ? 16 的单调性,值得注意的是 F ? ( x ) ? f ?( x ) ,换 句话说方程两边对 x 求导数, m 、 a 应看作是常数. 单调性弄清楚后,还要比较 F ( ?3) 、 F (2) 的大小.然后根据 F ( x ) 只有一个零

? F ( ?3) ? 0, 点,列出 ? 或 F ( ?2) ? 0 ,最后解之即可.值得注意的是,很多考生漏了 ? F (2) ? 0,
F ( ?2) ? 0 .

第 22 题: (本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 的外接圆为⊙ O , EA 是⊙ O 的切线,CB 的延长线与
E A B

EA 相交于点 E , AB ? AD .

求证: AB2 ? BE ? CD .

本题考查平面几何中的三角形相似以及圆的相关知识,考查推理论证能力 证明:连结 AC . ∵ EA 是⊙ O 的切线, ∴ ?EAB ? ?ACB . ∵ AB ? AD ,∴ ?ACD ? ?ACB . ∴ ?ACD ? ?EAB . ∵⊙ O 是四边形 ABCD 的外接圆, ∴ ?D ? ?ABE . ∴ ?CDA ∽ ?ABE . ∴
CD DA ? ,即 AB ? DA ? BE ? CD . AB BE
C B O. E A

D

∵ AB ? AD , ∴ AB2 ? BE ? CD . 答题分析:作辅助线往往是解答平面几何证明的关键,本题也不例外. 第 23 题: (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程

? x ? 3 ? 5cos? , 已知曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 是参数 ) , P 是曲线 C 与 y 轴 ? y ? 5sin? ,
正半轴的交点.以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过 点 P 与曲线 C 只有一个公共点的直线 l 的极坐标方程. 本题考查圆的参数方程和普通方程,考查直线的直角坐标方程和极坐标方程的 互化.

? x ? 3 ? 5cos ? , 解:把曲线 C 的参数方程 ? ( ? 是参数 ) 化为普通方程得 ? y ? 5sin ? ,

( x ? 3) 2 ? y 2 ? 25 .
∴曲线 C 是圆心为 P1 ( 3 , 0 ) ,半径等于 5 的圆. ∵ P 是曲线 C 与 y 轴正半轴的交点, ∴ P( 0 , 4 ) . 根据已知得直线 l 是圆 C 经过点 P 的切线.
4 ∵ k PP1 ? ? , 3

∴直线 l 的斜率 k ?

3 . 4

∴直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 16 ? 0 . ∴直线 l 的极坐标方程为 3? cos? ? 4? sin ? ? 16 ? 0 . 第 24 题: (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知 x ? ?13 ,关于 x 的不等式 x ? 3 ? 2 x ? 10 ? x ? 15 ? 2 a ? 13 ? 0 的 解集不是空集,求实数 a 的取值范围. 本题考查绝对值不等式, 考查绝对值函数最大值的求法,考查绝对值不等式 恒成立问题. 解:设 f (x) ? x ? 3 ? 2 x ? 10 ? x ? 15 ( x ? ?13 ) ,
? 2 x ? 28 , ? 13 ? x ? ?5, ? 则 f ( x) ? ? ?2 x ? 8 , ? 5 ? x ? 3, ? 2, x ? 3. ?

∴当 ? 13 ? x ? ?5 时, 2 ? f ( x) ? 18; 当 ? 5 ? x ? 3 时, 2 ? f ( x) ? 18; 当 x ? 3 时, f ( x) ? 2 . ∴ f (x) ? x ? 3 ? 2 x ? 10 ? x ? 15 ( x ? ?13 ) 的最大值为 18 . ∵关于 x 的不等式 x ? 3 ? 2 x ? 10 ? x ? 15 ? 2 a ? 13 ? 0 的解集不是空 集的充要条件是 f (x) ? 2 a ? 13 的解集不是空集, f (x) ? 2 a ? 13 的解集不是空 而

集的充要条件是 f (x) 的最大值 ? 2 a ? 13 ,即 18 ? 2 a ? 13 . 解 18 ? 2 a ? 13 ,得 ? 22 ? a ? ? 4 . ∴实数 a 的取值范围为 ? 22 ? a ? ? 4 . 答题分析:1.本题解法是采用分离变量的方法进行的,分离之后,可以求出

f ? x ? 的最大值.
2.一些考生对不等式的解集不是空集理解有误,有的甚至求成了 f ? x ? 的最 小值.实际上 f (x) ? 2 a ? 13 的解集不是空集,所以 f (x) 的最大值 ? 2 a ? 13 ,即

18 ? 2 a ? 13 ,解之即可.

三、教学建议

1.回归基础 :掌握基本知识、基本方法和基本题型. 在最后的复习阶段,考生要回归课本,理清数学的知识主线,构建思想方法 体系,熟记数学概念、公理、定理、性质、法则、公式.考生应该把课本上的基 本知识、 基本方法和基本题型系统全面地再梳理一遍,并针对盲区和易错点及时 查缺补漏. 2.高度重视运算能力. 近年来的高考数学试题, 对运算能力的要求都有所加强,在云南省第二次统 一测试中也得到了较好地反映, 比如第 20 题解析几何中的复杂运算,第 21 题函 数中的代数变形,第 18 题概率大题中的繁杂数字计算等.因此要高度重视运算 能力的培养. 然而由于运算能力的培养并非一日之功, 因此要坚持长期训练培养, 在平时的学习中,凡是复杂计算,都必须认真演算完毕,而不能是懂算理算法后 就停止了,平时不训练有素,考场上肯定是快不起来的,考试也一定是要吃大亏 的. 3.整理反思已做过的题. 临近高考,一味地做新题、难题将得不偿失.事实上,学生已经做过很多试 题了(试卷已经有厚厚的一打) ,但是否真正掌握吃透了呢?你应该拿出你以前

做过的习题来进行归纳总结:拿到一道题必须立即判断其题型、考点 ( 知识背 景 ) ,常用解法及特殊解法,解法的具体步骤,解法的关键步,解法的易错步, 此题的常见变式及其解决办法等,以上几点如果你在一两分钟内无法回答出来, 则说明你还未真正掌握此类问题.在高三最后的冲刺阶段,这样的整理和反思训 练远比埋头做题来得重要.具体可如下实施: (1)应把过去做过的题目分类梳理、整理.做这项工作时最好按照知识点的 板块进行,同时兼顾按题型划分. (2)做好分类后, 找出自己在基础知识方面的薄弱环节,同时应做专项练习, 提高熟练程度. (3)最基础的定理、公式要熟记.此时的复习应做到回归课本,但回归课本 不是简单地拿着书本翻阅, 而是带着自己在梳理知识中遇到的问题去有重点地看 课本. (4)找出自己做错的地方,认真反思错误原因,并记忆错误原因,争取做到 在高考中不犯同样的错误.错误有很多种,有知识不足的问题,有概念不清的问 题、有题型模式认识不清的问题、也有分类不清的问题,当然还有做题马虎的问 题等等.考生要在前进中反思,在反思中前进. 4.关注考试心理和考试技巧. 数学难题、怪题千千万万,高考考场上遇到一些新题是再正常不过的,考场 上需要保持一个平和的心态.比如本次省统测,选做题每题都只有一个问,这跟 往常所见的很不一样,此时不能因为这种“新颖”就把自己给搞紧张了.要树立 一个心态:考场上见到什么都是可能的! 再比如,第 9 题,求递推数列的通项公式,由于一下子没能把等比数列或等 差数列给配凑出来, 会不会自己就紧张到连取特殊值排除验证的方法都抛到九霄 云外了呢? 5.答题时一般来说应该是先易后难,从前往后. 有的考生喜欢先做大题,再做选择、填空题.我们认为这是不妥当的.通常 试题的难易分布是按每一类题型从前向后,由易到难的.因此,解题顺序也宜按 试卷题号从小到大,从前至后依次解答.当然,中间有难题出现时,可以先跳过 去,总之,总的原则是要先把容易得到的分数拿到手,先易后难,先选择、填空

题,后解答题. 6.字迹清晰,合理规划. 这对任何一科考试都很重要, 尤其是对“精确度”较高的数学, 若字迹不清、 较难辨认,极易造成阅卷教师的误判.例如写得较快时,数字 1 和 7 极易混淆等 等.若不清晰就可能使本来正确的失了分.另外,答题卡上书写的位置和大小要 计划好,尽量让卷面安排做到合理整洁,特别地,要在指定区域作答.总之,对 于解答题,书写要规范,布局要合理,论述既要简明,又不能跳跃过大.只有这 样才能避免“自己做对了” ,但阅卷却被扣了分这种现象.
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