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第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷


2008 年第 25 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
本卷共八题,满分 160 分 一、 (15 分) 1、 (5 分)蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是 0.033s。假设它是由均匀分布的物质构成的球体, 脉冲周期是它的旋转周期,万有引力是唯一能阻止它离心分解的力,已知万有引力常量
?11 3 G ? 6.67? 10 m ? kg? 1 ? s? 2,由于脉冲星

表面的物质未分离,故可估算出此脉冲星密度的下

限是

kg ? m?3 。
q1q2 ,式中静电力常量 r2

2 、( 5 分 ) 在 国 际 单 位 制 中 , 库 仑 定 律 写 成 F ? k

k ? 8.98 ?109 N ? m2 ? C ?2 ,电荷量 q1 和 q2 的单位都是库仑,距离 r 的单位是米,作用力 F 的
q1q2 ,式中距离 r 的单位是米,作用力 F 的 r2 qq 单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 F ? 1 2 2 ,式中距离 r 的单位是米,作用力 F 的 r
单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式 F ? 单位是牛顿,由此式可这义一种电荷量 q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新单位时,电荷 新单位= ;新单位与库仑的关系为 1 新单位= C。 3、 (5 分)电子感应加速器(betatron)的基本原理如下:一个圆环真空 室处于分布在圆柱形体积内的磁场中,磁场方向沿圆柱的轴线,圆柱的 轴线过圆环的圆心并与环面垂直。 圆中两个同心的实线圆代表圆环的边 界,与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场 的磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律为 B ? B0 cos(2? t / T ) , 其中 T 为 磁场变化的周期。B0 为大于 0 的常量。当 B 为正时,磁场的方向垂直 于纸面指向纸外。若持续地将初速度为 v0 的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内(如图) ,则 电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从 t= 到 t= 。

二、 (21 分)嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后,进入绕地运行的椭圆轨道,近地点离 地面高 Hn ? 2.05 ?102 km ,远地点离地面高 H f ? 5.0930 ?10 km ,周期约为 16 小时,称为
4

16 小时轨道(如图中曲线 1 所示) 。随后,为了使卫星离地越来越远,星载发动机先在远地点 点火,使卫星进入新轨道(如图中曲线 2 所示) ,以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的 近地点点火,使卫星加速和变轨,抬高远地点,相继进入 24 小时轨道、48 小时轨道和地月转

移轨道(分别如图中曲线 3 、 4 、 5 所示) 。已知卫星质量 m ? 2.350 ?103 kg ,地球半径
3 R ? 6.378 ? 10 km,地面重力加速度 g ? 9.81m / s 2 ,月球半径 r ? 1.738 ?103 km 。

1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度,以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时,假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同,而且点火 时间很短,可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=490N,要把近地点抬高到 600km, 问点火时间应持续多长? 3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道,距月面高度 Hm 约为 200km,周期 Tm=127 分钟,试据此估算 月球质量与地球质量之比值。

三、 (22 分)足球射到球门横梁上时,因速度方向不同、射在横梁上的位置有别,其落地点也 是不同的。已知球门的横梁为圆柱形,设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁 上,球与横梁间的滑动摩擦系数 ? ? 0.70 ,球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。试问足球应射 在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内(含球门上)?足球射在横梁上的位置用球与横梁 的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向(垂直于横梁的轴线)的夹角 ? (小于 90 )来表示。
?

不计空气及重力的影响。

四、 (20 分)图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图,M 为指针 压力表,以 VM 表示其中可以容纳气体的容积;B 为测温饱,处在待测温度的环境中,以 VB 表 示其体积;E 为贮气容器,以 VE 表示其体积;F 为阀门。M、E、B 由体积可忽略的毛细血管 连接。在 M、E、B 均处在室温 T0=300K 时充以压强 p0 ? 5.2 ?105 Pa 的氢气。假设氢的饱和 蒸气仍遵从理想气体状态方程。现考察以下各问题: 1、关闭阀门 F,使 E 与温度计的其他部分隔断,于是 M、B 构成一简易的气体温度计,用它可 测量 25K 以上的温度, 这时 B 中的氢气始终处在气态,M 处在室温中。试导出 B 处的温度 T 和压力表显示的压强 p 的关系。除题中给出的室温 T0 时 B 中氢气的压强 P0 外,理论上至少还 需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定 T 与 p 之间的关系? 2、开启阀门 F,使 M、E、B 连通,构成一用于测量 20~25K 温度区间的低温的蒸气压温度计, 此时压力表 M 测出的是液态氢的饱和蒸气压。由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系,知道 了氢的饱和蒸气压与温度的关系,通过测量氢的饱和蒸气压,就可相当准确地确定这一温区的 温度。在设计温度计时,要保证当 B 处于温度低于 TV ? 25K 时,B 中一定要有液态氢存在, 而当温度高于 TV ? 25K 时,B 中无液态氢。到达到这一目的, VM ? VE 与 VB 间应满足怎样的 关系?已知 TV ? 25K 时,液态氢的饱和蒸气压 pV ? 3.3?10 Pa 。
5

3、已知室温下压强 p1 ? 1.04 ?105 Pa 的氢气体积是同质量的液态氢体积的 800 倍,试论证蒸 气压温度计中的液态气不会溢出测温泡 B。

五、 (20 分)一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子组成,电子在 电子束中均匀分布,沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子,每个电子的电荷量为 ?e(e ? 0) , 质量为 m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器,其前端(即图中的 右端)于 t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔,使电子束可 以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A 、 B 之间加上了如图所示的周期性变化的电压 VAB ( VAB ? VA ? VB ,图中只画出了一个周期的图线) ,电压的最大值和最小值分别为 V0 和-V0, 周期为 T。若以 ? 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔,则电压处于最小值的时间间隔 为 T- ? 。已知 ? 的值恰好使在 VAB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边的所有的 电子,能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。设电容器两极板间的距离很小,电子穿过 电容器所需要的 时间可以 忽 略 , 且 不 mv2 ? 6eV0 , 间的相互作用及 计电子之 重力作用。

1、满足题给条件的 ? 和 tb 的值分别为 ? = T,tb= T。 2、试在下图中画出 t=2T 那一时刻,在 0-2T 时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形成 的电流 I,随离开右极板距离 x 的变化图线,并在图上标出图线特征点的纵、横坐标(坐标的数 字保留到小数点后第二位) 。取 x 正向为电流正方向。图中 x=0 处为电容器的右极板 B 的小孔

所在的位置,横坐标的单位 s ?

eV0 。 (本题按画出的图评分,不须给出计算过程) m

六、 (22 分)零电阻是超导体的一个基本特征,但在确认这一事实时受到实验测量精确度的限 制。为克服这一困难,最著名的实验是长时间监测浸泡在液态氦(温度 T=4.2K)中处于超导态 的用铅丝做成的单匝线圈(超导转换温度 TC=7.19K)中电流的变化。设铅丝粗细均匀,初始时 通有 I=100A 的电流,电流检测仪器的精度为 ?I ? 1.0mA ,在持续一年的时间内电流检测仪器 没有测量到电流的变化。根据这个实验,试估算对超导态铅的电阻率为零的结论认定的上限为 多大。设铅中参与导电的电子数密度 n ? 8.00 ?10 m ,已知电子质量 m ? 9.11?10?31 kg ,基
20 3

本电荷 e ? 1.60 ?10

?19

C。 (采用的估算方法必须利用本题所给出的有关数据)

七、 (20 分)在地面上方垂直于太阳光的入射方向,放置一半径 R=0.10m、焦距 f=0.50m 的薄 凸透镜,在薄透镜下方的焦面上放置一黑色薄圆盘(圆盘中心与透镜焦点重合) ,于是可以在黑 色圆盘上形成太阳的像。已知黑色圆盘的半径是太阳像的半径的两倍。圆盘的导热性极好,圆 盘与地面之间的距离较大。设太阳向外辐射的能量遵从斯特藩—玻尔兹曼定律:在单位时间内 在其单位表面积上向外辐射的能量为 W ? ? T ,式中 ? 为斯特藩—玻尔兹曼常量,T 为辐射体
4

表面的的绝对温度。 对太而言, 取其温度 ts ? 5.50 ?103? C 。 大气对太阳能的吸收率为 ? ? 0.40 。 又设黑色圆盘对射到其上的太阳能全部吸收,同时圆盘也按斯特藩—玻尔兹曼定律向外辐射能 量。如果不考虑空气的对流,也不考虑杂散光的影响,试问薄圆盘到达稳定状态时可能达到的 最高温度为多少摄氏度?

3 3 八、 (20 分)质子数与中子数互换的核互为镜像核,例如 He 是 H 的镜像核,同样 H 是 He 3 的镜像核。已知 H 和 He 原子的质量分别是 m3H ? 3.016050u 和 m3He ? 3.016029u ,中子和
3

3

3

质子质量分别是 mn ? 1.008665u 和 mp ? 1.007825u , 1u ? 电力常量 k ?
3

931.5 MeV ,式中 c 为光速,静 c2

1.44 MeV ? fm ,式中 e 为电子的电荷量。 e2

3 1、试计算 H 和 He 的结合能之差为多少 MeV。

2、已知核子间相互作用的“核力”与电荷几乎没有关系,又知质子和中子的半径近似相等,试说 明上面所求的结合能差主要是由什么原因造成的。并由此结合能之差来估计核子半径 rN。 3、实验表明,核子可以被近似地看成是半径 rN 恒定的球体;核子数 A 较大的原子核可以近似 地被看成是半径为 R 的球体。根据这两点,试用一个简单模型找出 R 与 A 的关系式;利用本题 第 2 问所求得的 rN 的估计值求出此关系式中的系数;用所求得的关系式计算
208

Pb 核的半径

R pb 。


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