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三角函数专题


三角函数典型习题
1 .设锐角 ?ABC 的内角 A B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . ,

(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

>
1 , 2

由 ?ABC 为锐角三角形得 B ?

π . 6
? ? ? ? ? A? ? ?

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ?
1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?
2 .在 ?ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C.

(Ⅰ)求角 B 的大小;

(Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A ? ,n ? ? 4k ,1?? k ? 1? , 且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.
2

??

?

?? ?

【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C. 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA. ∵0<A<π,∴sinA≠0.

0

0

7

0

3

1

1 ∴cosB= . 2
∵0<B<π,∴B=

6

? . 3
2? ) 3

(II) m ? n =4ksinA+cos2A. =-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0, 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] . 则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈ (0,1] . ∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值.

?? ?

?? ?

?? ?

用心

爱心

专心

-1-

依题意得,-2+4k+1=5,∴k=

3 . 2

3 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c , sin

A? B C ? sin ? 2 . 2 2

I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值.
【解析】:I. sin

? ?C
2

? sin

?

C ? ? ? ? ? 即C ? ,所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2
2 2

C C C C ? ? cos ? sin ? 2 sin( ? ) 2 2 2 2 4

2 II. 16 ? a ? b ? a ? b ? 2 ab ? 2ab ,?ab ? 64(2 ? 2 ) 当且仅当 a ? b 时取等号,

此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .
4 .在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A. B.C 的对边,C=2A, cos A ?

?

?

3 , 4

(1)求 cosC , cos B 的值; (2)若 BA ? BC ?

27 ,求边 AC 的长? 2

【解析】:(1) cosC

? cos 2 A ? 2 cos2 A ? 1 ? 2 ?

9 1 ?1 ? 16 8

1 3 7 3 7 由cosC ? , 得 sin C ? ;由cos A ? , 得 sin A ? 8 8 4 4 ? cos B ? ? cos? A ? C ? ? sin A sin C ? cos A cos C ? 7 3 7 3 1 9 ? ? ? ? 4 8 4 8 16

27 27 ,? ac cos B ? ,? ac ? 24 ① 2 2 a c 3 又 ? , C ? 2 A,? c ? 2a cos A ? a ② sin A sin C 2
(2) BA ? BC ? 由①②解得 a=4,c=6

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 16 ? 36 ? 48 ?

?b ? 5 ,即 AC 边的长为 5.

9 ? 25 16
2

5 .已知在 ?ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.

(Ⅰ)求 tan(A ? B) 的值; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 BC 的长.
【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 .
2

∴ tan( A ? B) ?

tan A ? tan B 2?3 ? ? ?1 1 ? tan A tan B 1 ? 2 ? 3
?
?

(Ⅱ)∵ A ? B ? C ? 180 ,∴ C ? 180 ? ( A ? B) .

用心

爱心

专心

-2-

由(Ⅰ)知, tan C ? ? tan(A ? B) ? 1 ,

∵ C 为三角形的内角,∴ sin C ?

2 2

∵ tan A ? 3 , A 为三角形的内角,∴ sin A ?

3 , 10

由正弦定理得: ∴ BC ?

AB BC ? sin C sin A

5 3 ? ?3 5. 2 10 2
?

6 .在 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、c,向量 m ? 2sin B, ? 3 , n ? ? cos 2 B, 2 cos

?

?

?

? ?

2

B ? ? 1? , 2 ?

且 m / /n ? (I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值?
【解析】:(1)

?

?

B ? ? m / / n ? 2sinB(2cos22-1)=- 3cos2B

?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 2π π ∵0<2B<π,∴2B= 3 ,∴锐角 B=3 (2)由 tan2B=- 3 π 5π ? B=3或 6

π ①当 B=3时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) 1 3 ∵△ABC 的面积 S△ ABC=2 acsinB= 4 ac≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3 5π ②当 B= 6 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3) 1 1 ∵△ABC 的面积 S△ ABC=2 acsinB=4ac≤ 2- 3 ∴△ABC 的面积最大值为 2- 3
7 .在 ?ABC 中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?
2 2 2

(1)求 sin 2

A?C ? cos 2 B 的值; 2
用心 爱心 专心

1 ac. 2

(2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.
-3-

【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=

1 4

sin 2

A?C 1 +cos2B= ? 2 4

(2)由 cos B ?

1 15 , 得 sin B ? . ∵b=2, 4 4

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,
2

2

1

8

1 15 S△ ABC=2acsinB≤ (a=c 时取等号)

3

故 S△ ABC 的最大值为

15 3

sin( ? ? ) 4 8 .已知 tan? ? a, (a ? 1) ,求 ? tan 2? 的值? ? sin( ? ? ) 2
【解析】

?

2a ; 1? a

3? ? ? sin ? 5? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? 2 ? ? 9 .已知 f ?? ? ? 3? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? tan ?? ? 3? ? 2 ? 2? ? ?
(I)化简 f ?? ? (II)若 ? 是第三象限角,且 cos ?
【解析】

? 3? ? 1 ? ? ? ? ,求 f ?? ? 的值? ? 2 ? 5

2 2 10.已知函数 f(x)=sin x+ 3 sinxcosx+2cos x,x ? R.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

用心

爱心

专心

-4-

【解析】:(1) f ( x ) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2x ) 2 2

3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ?
? f ( x) 的最小正周期 T ?
由题意得 2k? ?

?
2

? 2x ?

?

2? ? ?. 2 ? 2k? ?

?
2

6

, k ? Z,

即 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
(2)先把 y ? sin 2 x 图象上所有点向左平移 得到 y ? sin(2 x ?

3 ) 的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度, 6 2 ? 3 就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象? 6 2
11.已知 a ? ?

?

? 个单位长度, 12

? 3 3? ?x ?x ? ? 2 ,? 2 ? , b ? (sin 4 , cos 4 ) , f ( x) ? a ? b ? ? ?

(1)求 f (x) 的单调递减区间? (2)若函数 y ? g (x) 与 y ? f (x) 关于直线 x ? 1对称,求当 x ? [0, ] 时, y ? g (x) 的最大值?
【解析】:(1) f ( x) ?

4 3

3 ?x 3 ?x ?x ? sin ? cos ? 3 sin( ? ) 2 4 2 4 4 3

∴当

?x
4

3 2 10 22 解得: x ? [ ? 8k , ? 8k ] 时, f (x) 单调递减? 3 3

?

?

?[

?

? 2k? ,

3? ? 2k? ] 时, f (x) 单调递减 2

(2)∵函数 y ? g (x) 与 y ? f (x) 关于直线 x ? 1对称 ∴ g ( x) ? f (2 ? x) ?

? ? (2 ? x) ? ? 3 sin ? ? ? 4 3? ?

? ? ?x ? ? ? ?x ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 3 cos? ? ? ?2 4 3? ? 4 3?
∵ x ? [0, ] ∴

4 3

?x
4

?

?

? ? 2? ? ?? , ? 3 ?3 3 ?

∴ cos?

1 1 ? ?x ? ? ? ? ? [? , ] 2 2 ? 4 3?
爱心 专心 -5-

用心

∴ x ? 0 时, g max ( x ) ?
12.已知 cos ?

3 2

? ?2sin ? ,求下列各式的值; 2sin ? ? cos ? (1) ; sin ? ? 3cos ?
(2) sin 2 ? ? 2sin ? cos ?
【解析】: Q cos ?

? ?2sin ? ,? tan ? ? ?

1 2

? 1? 2 ? ? ? ? ?1 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? 2? ? ?4 (1) ? ? 1 sin ? ? 3cos ? tan ? ? 3 5 ? ?3 2
(2) sin ? ? 2sin ? cos ? ?
2

sin 2 ? ? 2sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ?
2

? 1? ? 1? ? ? ? ? 2?? ? ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? 2 ? ? 2? ? ?3 ? ? 2 2 tan ? ? 1 5 ? 1? ? ? ? ?1 ? 2?
13.设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b)

(I)求函数 f ( x) 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式 f ( x) ?
【解析】

3 成立的 x 的取值集合? 2

用心

爱心

专心

-6-

14.已知向量 m ? (cos ? ?

2 ? ,?1) , n ? (sin ? ,1) , m 与 n 为共线向量,且 ? ? [? ,0] 3 2

(Ⅰ)求 sin? ? cos? 的值; (Ⅱ)求

sin 2? 的值.? sin ? ? cos?

【解析】:(Ⅰ)

? m 与 n 为共线向量, ? (cos? ?
2 3

2 ) ? 1 ? ( ?1) ? sin ? ? 0 , 3

即 sin ? ? cos? ?

(Ⅱ) ?1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos? ) 2 ?

2 7 ,? sin 2? ? ? 9 9

? (sin ? ? cos? ) 2 ? (sin ? ? cos? ) 2 ? 2 ,

? (sin ? ? cos? ) 2 ? 2 ? (
又? ? ? [ ?

2 2 16 ) ? 3 9

?

2 sin 2? 7 因此, ? sin ? ? cos? 12

,0] ,?sin? ? cos? ? 0 , sin ? ? cos? ? ?

4 3

15.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯

塔 面 与

的塔顶?测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km?试探究图中 B,D 间距离 另 外 哪 两 点 距 离 相 等 , 然 后 求 B,D 的 距 离 ( 计 算 结 果 精 确 到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
【解析】:在 ?ACD 中, ?DAC =30°, ?ADC =60°- ?DAC =30°,
0

0

0

所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中,

AB AC , ? sin?BCA sin?ABC

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20
3 2? 6 ? 0.33km 20
用心 爱心 专心 -7-

因此, BD ?

故 B.D 的距离约为 0.33km?
16.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ?

? 0,0 ? ? ?

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间

的距离为

2? ? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 3 2 ? ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x) 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 2 2? 【解析】 (1)由最低点为 M ( : , ?2) 得 A=2. 3 2? 2? ? T ? 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? ? ?2 T ? 2 2 2 2? 2? 4? 由点 M ( , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2,即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? 故 ? ? ? 2k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 3 2 6 ? ? ? 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? (2)? x ? [ , ],      2 x ? ? [ , ? ] 12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6 ? 即 x ? 时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2] 2

17.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A

处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值?

【解析】:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ? 1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ? 1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150
在 ?DEF 中,由余弦定理,

用心

爱心

专心

-8-

cos ?DEF ?
18.已知 sin?

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

? cos? ?

1 ? ,? ? ( , ? ) , 5 2

求(1) sin ? ? cos? (2) sin 3 ? ? cos3 ? (3) sin 4 ? ? cos 4 ?

7 91 337 ? cos ? ? (2)sin 3 ? ? cos3 ? ? (3)sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5 125 625 19.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? ? )的一段图象
【解析】(1) sin ? :

如图所示,

(1)求函数的解析式; (2)求这个函数的单调递增区间。

2 ? ? ?2 ? 【解析】(1)由图象可知: T ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 ; A ? : ?2 ? ?? ?8 2 T ? 8 ?? ?

? ? ? ,? 为“五点画法”中的第二点 2 ? 8 ? ? 3? ? ?? ∴ 2?? ? ? ?? ? ? ? ? ∴所求函数解析式为: y ? 2sin ? 2 x ? 3? ? ? ? 8? 2 4 4 ? ? ?
∴ y ? 2sin ? 2 x ? ? ? ,又∵ ? ?

? (2)∵当 2 x ? 3? ? ? ? ? ? 2k?, ? 2k? ? ? k ? Z ? 时, f ? x ? 单调递增 ? ? 4 ? 2 2 ? ∴ 2 x ? ? ? 5? ? 2k?, ? ? 2k? ? ? x ? ? ? 5? ? k?, ? ? k? ? ? k ? Z ? ? ? ? ? ? ? 4 8 ? 4 ? ? 8 ?
20.已知 ?ABC 的内角 A. B.C 所对边分别为 a、b、c,设向量

m ? (1 ? cos(A ? B), cos

5 A? B 9 n ? ( , cos ) ,且 m ? n ? . 8 2 8 (Ⅰ)求 tan A ? tan B 的值; ab sin C (Ⅱ)求 2 的最大值. a ? b2 ? c2 9 5 9 2 A? B 【解析】 (Ⅰ)由 m ? n ? ,得 [1 ? cos(A ? B)] ? cos ? 8 8 2 8 5 1 ? cos(A ? B) 9 即 [1 ? cos(A ? B)] ? ? 8 2 8 也即 4 cos(A ? B) ? 5 cos(A ? B)
∴ 4 cos A cos B ? 4 sin Asin B ? 5 cos A cos B ? 5 sin A sin B ∴ 9 sin A sin B ? cos A cos B
21.已知函数

A? B ), 2

∴ tan A tan B ?

f ( x) ? (1 ? tan x)[1 ? 2 sin(2 x ?

?
4

1 9

)] ,求:

(1)函数 f (x) 的定义域和值域;

(2)写出函数 f (x) 的单调递增区间。

用心

爱心

专心

-9-

【解析】: f ( x) ? ?1 ?

? ?

sin x ?? ? ?? ??1 ? 2 sin 2 x cos ? 2 cos 2 x sin ? cos x ?? 4 4?

sin x ? ? 2 ? ?1 ? ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ? 2?cos x ? sin x ??cos x ? sin x ? ? cos x ?

?

?

? 2(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 cos2x
(Ⅰ)函数的定义域 ? x | x ? R, x ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 2 ?

? 2 x ? 2k? ? ? , k ? Z
函数 f (x) 的值域为 ?? 2,2?

? 2 cos 2 x ? ?2,

(Ⅱ)令 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? , (k ? Z ) 得 k? ? ∴函数 f (x) 的单调递增区间是 ? k? ?

?
2

? x ? k? (k ? Z )

? ?

?

? , k? ? (k ? Z ) 2 ?
离 为 角 到

22.如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为 4.8m,圆上最低点与地面距

0.8m,60 秒转动一圈.途中 OA 与地面垂直.以 OA 为始边,逆时针转动 ? OB .设 B 点与地面距离为 h . (1)求 h 与 ? 的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 80 秒到达 OB ,求 h .

【解析】(1)∵ h ? 0.8 ? OA ? BC ? 0.8 ? 4.8 ? OB sin ? ? 5.6 ? 4.8sin(? ? 90?) , :

∴ h ? 5.6 ? 4.8cos? (? ? 0) (2)∵ ? ?

? ? 8? 8? 2? ? ,? ? ,? h ? 5.6 ? 4.8 cos t ,∴ ? ? ? 80 ? ? 8 (m) ? 60 30 30 30 3 3

23.设函数 f ( x) ? a ? b, 其中向量a ? (2 cos x,1), b ? (cos x, 3 sin 2 x ? m).

[ (1)求函数 f ( x)的最小正周期和在 0, ? ] 上的单调递增区间;
(2)当 x ? [0,

?
6

]时,?4 ? f ( x) ? 4恒成立, 求实数m 的取值范围。
2

【解析】(1)? f ( x) ? 2 cos x ? :

3 sin 2 x ? m ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? m ?1,

?函数f ( x)的最小正周期T ?

2? ? ? .???? 4分 2 ? 2? 在[0, ? ]上单调递增区间为 0, ], [ , ? ].???? 6分 [ 6 3
用心 爱心 专心 - 10 -

(2)当 x ? [0,

?

6 6 当x ? 0时, f ( x) min ? m ? 2, ????8分

]时,? f ( x)递增,?当x ?

?

时, f ( x) max ? m ? 3 ,

?m ? 3 ? 4, 由题设知? ????10分 ?m ? 2 ? ?4, 解之, 得 ? 6 ? m ? 1.????12分
24.已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(1)求 f (x) 的最大值和最小值; (2) f ( x ) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2
【解析】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?π π? ? ?

? ?

?π ?? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ , 6 3 3 ?4 2? 即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ?

?π π?

π

π



? ?

π? ?≤3 , 3?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,

, ∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) .
25.在锐角△ ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,已知 (b ? c ? a ) tan A ?
2 2 2

3bc.

(I)求角 A; (II)若 a=2,求△ ABC 面积 S 的最大值?
【解析】:(I)由已知得

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2

又在锐角△ ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角△ ABC 中,扣 1 分]

用心

爱心

专心

- 11 -

(II)因为 a=2,A=60°所以 b ? c ? bc ? 4, S ?
2 2

1 3 bc sin A ? bc 2 4

而 b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4 又S ?

1 3 3 bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 2 4 4

所以△ ABC 面积 S 的最大值等于 3
26.甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向作匀速直线航行,速度为

15 2 浬/小时,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 40 的 B 岛出发,朝北偏东 θ( ? ? arctg 1 ) 的方向作匀速直线航行,速
2

浬 处 度 为

10

5 浬/小时.(如图所示)

(Ⅰ)求出发后 3 小时两船相距多少浬? (Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬? 【解析】:以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面 坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1, y1) Q (x2,y2). ? x ? 15 2t cos 45 ? ? 15t 则? 1 ?? 2分 ? y1 ? x1 ? 15t 1 2 5 5 由? ? arctg 可得, cos? ? , sin ? ? , 2 5 5
x 2 ? 10 5t sin ? ? 10t y 2 ? 10 5t cos? ? 40 ? 20t ? 40 ???? 5分

直 角

(I)令 t ? 3 ,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20)
| PQ |? (45 ? 30 ) 2 ? (45 ? 20 ) 2 ? 850 ? 5 34 .

即两船出发后 3 小时时,相距 5 34 锂 (II)由(I)的解法过程易知:
| PQ |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (10t ? 15t ) 2 ? (20t ? 40 ? 15t ) 2 ??10分 ? 50t 2 ? 400 t ? 1600 ? 50(t ? 4) 2 ? 800 ? 20 2

∴当且仅当 t=4 时,|PQ|的最小值为 20 即两船出发 4 小时时,相距 20

2

2 海里为两船最近距离.
(tanA-tanB)=1+tanA· B. tan

27.在锐角 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、c,且

(1)若 a2-ab=c2-b2,求 A. B.C 的大小;

(2)已知向量 m =(sinA,cosA), n =(cosB,sinB),求|3 m -2 n |的取值范围.
【解析】
用心 爱心 专心 - 12 -

?

?

?

?

28.如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AO C.小区的两个出入口设置在点 A
C

及点 C 知某人
A
1200

处,小区里有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为 120 .已 从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟.若此 的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) . 【解析】解法一:设该扇形的半径为 r 米. 由题意,得 CD=500(米) ,DA=300(米) ,∠CDO= 60
2 2

?

人步行
D
O

0

在 ?CDO 中, CD ? OD ? 2 ? CD ? OD ? cos 60 ? OC ,
0 2

即 500 ? ? r ? 300 ? ? 2 ? 500 ? ? r ? 300 ? ?
2 2

1 ? r2, 2
C H

解得 r ?

4900 ? 445 (米) 11
0

解法二:连接 AC,作 OH⊥AC,交 AC 于 H 由题意,得 CD=500(米) ,AD=300(米) ?CDA ? 120 ,
A
120 0

在?ACD中, AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? 2 ? CD ? AD ? cos1200 ? 5002 ? 3002 ? 2 ? 500 ? 300 ?
∴ AC=700(米)
用心 爱心 专心



O

1 ? 700 2 , 2

- 13 -

cos ?CAD ?

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 11 ? . 2 ? AC ? AD 14

在直角 ?HAO中, AH ? 350 (米)cos ?HA0 ? , ∴ OA ?

11 , 14

AH 4900 ? ? 445 (米) cos ?HAO 11

29.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) .

(1)求 tan ? 的值; (2)定义行列式运算

a b c d

? ad ? bc ,求行列式

sin ? 1

tan ? cos ?

的值;

(3)若函数 f ( x) ? 求函数 y ? 3 f (

cos( x ? ? ) ? sin ? sin( x ? ? ) cos ?

( x ?R ),

?
2

? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 的最大值,并指出取到最大值时 x 的值

【解析】:(1)∵ 角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,

∴ tan ? ? ? (2) sin ? ?

3 . 3

1 3 , cos ? ? ? . 2 2
? sin ? cos ? ? tan ? ? ? 3 3 3 ? ? . 4 3 12

sin ? 1

tan ? cos ?

(3) f ( x) ? cos( x ? ? )cos? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x ( x ?R ), ∴函数 y ? 3 cos(

?
2

? 2 x) ? 2cos 2 x

? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?
∴ ymax ? 3 , 此时 x ? k? ?

?
6

) ? 1( x ?R ),

?
6

( k ? Z) .

30.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 +cos 2 x .

? ?? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期;(Ⅱ)当 x ? ?0, ? 时,求函数 f ? x ? 的最大值,并写出 x 相应的取值. ? 2?
【解析】:(Ⅰ)因为 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2+cos 2 x ?sin 2 x ?2sin xcos x ?cos 2 x ?cos 2 x

? 1 ? sin 2x ? cos2x
所以, T ?

( ) =1+ 2 sin(2 x ? ) 4

?

2? ? ? ,即函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 2

(Ⅱ)因为 0 ? x ?

?
2

,得

?
4

? 2x ?

?
4

?

2 ? 5? ,所以有 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4 4
用心 爱心 专心 - 14 -

?1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 ,即 0 ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 4 4

?

?

所以,函数 f ? x ? 的最大值为 1 ? 2 此时,因为

?
4

? 2x ?

?
4

?

5? ? ? ? ,所以, 2 x ? ? ,即 x ? 4 4 2 8

用心

爱心

专心

- 15 -


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