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高中数学 2.3《对数函数》教案二 苏教版必修1


2.3.1
教学过程: 一、情境创设

对数(1)

假设 2005 年我国的国民生产总值为 a 亿元,如每年平均增长 8%,那么经过多少年,国 民生产总值是 2005 年的 2 倍? 根据题目列出方程:______________________. 提问:此方程的特征是什么??已知底数和幂,求指数! 情境问题:已知底数和指数求幂

,通常用乘方运算;而已知指数和幂,则通常用开方运 算或分数指数幂运算,已知底数和幂,如何求指数呢? 二、数学建构 1.对数的定义. 一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等 于 N,即 a =N,那么就称 b 是以 a 为底 N 的 对数,记作 log a N,即 b=logaN. 其中,a 叫作对数的底数,N 叫做对数的真数. 2.对数的运算性质. (1)loga(M·N )=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0); (2)loga
b

M =logaM-logaN(a>0,a≠1,M>0,N> 0); N
n

(3)logaM =nlogaM (a>0,a≠1,M>0,n?R). 3.对数运算性质的推导与证明 由于 a ·a =a ,设 M=a ,N=a ,于是 MN=a . 由对数的定义得到 logaM=m,logaN=n,loga(M·N)=m+n.所以有 loga(M·N)=logaM+logaN. 仿照上述过程,同样地由 a ÷a =a 他性质.
m n m? n m n m+n m n m+n

和(a ) =a 分别得出对数运算的其

m n

mn

2.对数的性质: (1)真数 N>0,零和负数没有对数; (2)loga1=0 (a>0,a≠1); (3) logaa=1(a>0,a≠1);
1

(4)a

log a N

=N(a>0,a≠1).

3.两个重要对数: (1)常用对数(commonlogarithm):以 10 为底的对数 lgN. (2)自然对数(naturallogarithm):以无 理数 e ? 2.71828 ?为底的对数 lnN . 三、数学应用 例 1 将下列指数式改写成对数式. (1)2 =16; (2)
4

3

?3

?

1 a ; 3) 5 ? 20 ; (4) 1 ( 2 27

? ? ? 0.45 .
b

例 2 求下列各式的值. (1)log264; 基础练习: log10100= log2 ; ; log255= log 1 4=
4

(2)log832.

; ;

1 = 2
; ;

log33= log31=

logaa= l oga1=

; .

例 3 将下列对数式改写成指数式 (1)l og5125=3; (2)log
1 3

3=-2; (3)lga=-1.699.
2m?

例 4 已知 loga2=m,loga3=n,求 a 练习: 1. (1)lg(lg1 0)= (3)log6[log4(log381)]= 2.把 logx 7 y =z 改写成指 数式是 3.求 2
2 ? log 2 5

n

的值.



(2)lg(lne)= ; (4)log3



1? 2x =1,则 x=________. 9



的值.

?x ? 1 ? 2 , x ? (??,1] 4.设 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 的 x 值为_______. 4 ?log 81x, x ? (1, ??) ?

?2 5.设 x=log 3,求 2 2 ?2
3x x
2

?3 x ?x



2

四.练习 1.求值. (1)log5125; (3)(lg5) +2lg5·lg2+(lg2) ; 2. 设 lga+lgb=2lg(a-2b),求 log4 3.
x x
2 2

(2)log2(2 ·4 ); (4) lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) .

3

5

a 的值. b
2

求方程 lg(4 +2)=lg2 +lg3 的解.

5..下列命题: (1)lg2·lg3=lg5; (2)lg 3=lg9; (3)若 loga(M+N)=b,则 M+N =a ; (4)若 log2M+log3N=log2N+log3M,则 M=N.其中真命题有 (请写出所有真命题的序号) . 6.已知 lg2=a,lg3=b,试用含 a,b 的代数式表示下列各式: (1 )lg54; (2)lg2.4; (3)g45. 7.化简: (1) 2log3 2 ? log3
b

32 ? log3 8 ; 9

(2) log

2 ?1

( 2 ? 1) 2 ;

(3) log 3 ( 2 ? 3 ? 2 ? 3 ) ? log 3 ( 2 ? 3 ? 2 ? 3 ) ? log 3 2 . 8.若 lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lg y,求

x 的值. y

3


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