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上海交通大学附属中学2007-2008学年度第二学期高二数学期终试卷


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上海交通大学附属中学 2007-2008 学年度第二学期 高二数学期终试卷
本试卷共有 21 道试题,满分 100 分,考试时间 90 分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题纸上

一、填空题(3’*12=36’)
1、化简

/>2 ? 4i =__________ (1 ? i ) 2

2、圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 的圆心到直线 x ? y ? 1 的距离为_________
3 3、若在 (1 ? ax)5 的展开式中 x 的系数为-80,则实数 a ? _______

4、 平面 ? 外的两条直线 a、b,且 a∥ ? ,则 a∥b 是 b∥ ? 的______条件(填充分必要性) 5 、空间四边形 ABCD, AB ? CD ? 8, M、N、P 分别为 BD、AC、BC 的中点,若异面直线
AB 和CD 成 60?的角,则 MN =
2



6、若 3-2i 是实系数方程 2x +bx+c=0 的根,则 b+c=_______ 7、若直线 y=kx+1 与双曲线 x -y =1 有且只有一个公共点,则 k 的值为______ 8、已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直 16 9
2 2

角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为_________ 9、命题:(1)、若 a、b 是异面直线,则一定存在平面 ? 过 a 且与 b 平行;(2)、设 a、b 是 异面直线,若直线 c、d 与 a、b 都分别相交,则 c、d 是异面直线;(3)、若平面 ? 内 有不共线的三点 A、B、C 到平面 ? 的距离都相等,则 ? ∥ ? ;(4)、分别位于两个不同 平面 ? 、 ? 内的两条直线 a、b 一定是异面直线;(5)、直线 a⊥ ? ,b∥ ? ,则 a⊥b。 上述命题中,是假命题 的有____________。(填上全部假命题的序号) ... 10、将标号为 1,2,…,10 的 10 个球放入标号为 1,2,…,10 的 10 个盒子内,每个盒内 放一个球,则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 _________种.(以数字作答) 11、 已知(1-x+x ) =a10x +a9x +…+a1x+a0, 则(a1+a3+a5+a7+a9) -(a0+a2+a4+a6+a8+a10) =_________ 12、 若动点 P 到定点 ( 0, -3) 的距离比它到 x 轴的距离多了 3, 则点 P 的轨迹方程是___________
2 5 10 9 2 2

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二、选择题(4’*4=16’) (13、14 题理科只需做标明(理)的,文科只需做标明(文)的,)
13、(理)下列以 t 为参数的参数方程中表示焦点在 y 轴上的椭圆的是
? 1? t2 x? ? ? 1? t2 (A) ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?
? x ? a cos2t (a﹥b﹥0) ? y ? 2b sint cost





(B) ?

1 ? ? x ? cost (C) ? 2 ? ? y ? 2 sint

1 ? x?t? ? ? t (D) ? ? y ? 2t ? 2 ? t ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (文)不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域形状是一个 ?0 ? y ? 1 ?





(A)三角形; (B)矩形;

(C)梯形; (D)五边形. ( )

? 14、(理)在极坐标系中,曲线 ?=4 sin( ? ? ) 关于 3
(A)直线 ? ? (C)直线 ? ?

?
3

轴对称

? (B)点 中心对称 (2, ) 3
(D)极点中心对称

5? 轴对称 6

? x ? y ? ?1 ? (文)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( ?y ? 2 ?
A. 10 B. 12 C. 13 15、若 a,b 是异面直线,则下列结论中不正确 的为 ... (A)一定存在平面 ? 与 a、b 都平行; (B)一定存在平面 ? 与 a、b 都垂直; (C)一定存在平面 ? 与 a、b 所成角都相等; (D)一定存在平面 ? 与 a、b 的距离都相等。 D.14 (





16、若三棱锥 A-BCD 侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等,则动点 P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是( )

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三、解答题(8’+8’+8’+12’+12’=48’)
17、设关于 x 的方程 3x -6(m-1)x+m +1=0 的两根为 ? 、? ,且| ? |+| ? |=2,求实数 m 的值。
2 2

18、直线 y=kx+2 交抛物线 y =8x 于 A,B 两点,若 AB 的中点横坐标为 2,求 k 的值。

2

19、如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 O 为 AC 与 BD 的交点,M 为 DD1 的中点。 (1)求证:B1O ? AM;(2)设正方体棱长为 1,若 T 是 D1D 或其延长线上一点,求使 B1T⊥平面 MAC 时 DT 的长。 C1
A1 M D O A B C B1

D1

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20、如图,在直角梯形 ABCD 外一点 P,且∠BAD=90?,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且 PA⊥底 面 ABCD,PD 与底面成 30? 角。AE⊥PD,E 为垂足。 (1)求点 D 到平面 PBC 的距离; (2)求证:BE⊥PD; (3)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小。(用反三角函数来表示) P

E

A B C

D

21、直线 l : y ? kx ? 1与双曲线C : 2 x 2 ? y 2 ? 1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

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上海交通大学附属中学 2007-2008 学年度第二学期 高二数学期终试卷答案
本试卷共有 21 道试题,满分 100 分,考试时间 90 分钟。
一、 填空题(3*12=36)

1、(极易)化简

2 ? 4i =__________ 2 ? i (1 ? i ) 2

2 、 ( 易 ) 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 的 圆 心 到 直 线 x ? y ? 1 的 距 离 为 _________

2
3 3、(易)若在 (1 ? ax)5 的展开式中 x 的系数为-80,则实数 a ? _______

-2

5、 (易)平面α外的两条直线 a、b,且 a∥α,则 a∥b 是 b∥α的______________(充分非 必要条件) 5、(易)空间四边形 ABCD, AB ? CD ? 8, M、N、P 分别为 BD、AC、BC 的中点,若异面 直线 AB 和CD 成 60?的角,则 MN = 4或4 3 6、(中等)若 3-2i 是实系数方程 2x2+bx+c=0 的根,则 b+c=_______ 14 7、(中等)若直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 有且只有一个公共点,则 k 的值为__________
?1 或 ?



2
x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、 16 9
9 4

8 、(中等)已知椭圆

F2 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为__________

9、(中等)命题:(1)、若 a、b 是异面直线,则一定存在平面α过 a 且与 b 平行;(2)、设 a、b 是异面直线,若直线 c、d 与 a、b 都分别相交,则 c、d 是异面直线;(3)、若平面α内 有不共线的三点 A、B、C 到平面β的距离都相等,则α∥β;(4)、分别位于两个不同平面

α、β内的两条直线 a、b 一定是异面直线;(5)、直线 a⊥α,b∥α,则 a⊥ b。上述命题中,
是假命题的有____________。(填上全部假命题的序号)(2)(3)(4) 10、(偏难)将标号为 1,2,…,10 的 10 个球放入标号为 1,2,…,10 的 10 个盒子内, 每个盒内放一个球, 则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.(以数字作答) 240 11 、 ( 偏
2






2



(1-x+x2)5=a10x10+a9x9+



+a1x+a0





(a1+a3+a5+a7+a9) -(a0+a2+a4+a6+a8+a10) =______ -243
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12、(难)若动点 P 到定点(0,-3)的距离比它到 x 轴的距离多了 3,则点 P 的轨迹方程 是___________ x2=-12y 或 x=0(y≥0) 二、选择题 1、(偏难)下列以 t 为参数的参数方程中表示焦点在 y 轴上的椭圆是( )
? 1? t2 x? ? ? 1? t2 (A) ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?

(B) ?

? x ? a cos2t (a﹥b﹥0) ? y ? 2b sint cost

1 ? ? x ? cost (C) ? 2 ? y ? 2 sint ?

1 ? x?t? ? ? t (D) ? ? y ? 2t ? 2 ? t ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (文)不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域形状是一个 ?0 ? y ? 1 ?
(A)三角形; (B)矩形; C (C)梯形; (D)五边形.





? 2、 (偏难) 在极坐标系中, 曲线 ?=4 sin( ? ? ) 关于 3
(A)直线 ? ? (C)直线 ? ?





?
3

轴对称

? (B)点 中心对称 (2, ) 3
(D)极点中心对称

5? 轴对称 6

? x ? y ? ?1 ? 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( ) ?y ? 2 ?
A. 10 B. 12 C. 13 D.14 ( ) C 3、若 a,b 是异面直线,则下列结论中不正确 的为 ...

(A) 一定存在平面 α 与 a、b 都平行;(B) 一定存在平面 α 与 a、b 都垂直; (C) 一定存在平面 α 与 a、b 所成角都相等;(D)一定存在平面 α 与 a、b 的距离都相等。 B 4、(难)若三棱锥 A-BCD 侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等, 则动点 P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是 ( )

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D 三、 解答题 1、 设关于 x 的方程 3x2-6(m-1)x+m2+1=0 的两根为 ? 、 ? ,且| ? |+| ? |=2,求实数 m 的值。 解:(1)若为实根 由? ? =
?? ? 36( m ? 1) 2 ? 12( m 2 ? 1) ? 0 m2 ? 1 >0,所以| ? |+| ? |=| ? + ? |=2,则 ? ,解得 m=0 3 ?| ? ? ? |? 2 | m ? 1 |? 2

(2)若为虚根
?? ? 36( m ? 1) 2 ? 12( m 2 ? 1) ? 0 ? 则| ? |=| ? |=1,所以则 ? 2 ,解得 m= 2 m2 ? 1 | ? | ? ?? ? ?1 ? 3 ?

故 m=0 或 m= 2

2、(中等)直线 y=kx+2 交抛物线 y2=8x 于 A,B 两点,若 AB 的中点横坐标为 2,求 k 的 值。 解:法一:将 y=kx+2 代入抛物线 y2=8x 得 k2x2+(4k-8)x+4=0,由题意有
?? ? 16( k ? 2) 2 ? 16k 2 ? 0 ?k ? 1 ? ?? ? k=-2 ? 8 ? 4k ?k ? ?2或k ? 1 ? x1 ? x 2 ? k 2 ? 4 ?

法二: ?

? y12 ? 8 x1
2 ? y2 ? 8x2

? 2y0k=8 ? y0=

4 4 ,又 y0=kx0+2=2k+2= ? k=-2 或 1 k k

又 y02<8x0,(

4 2 ) <16 ? k2>1,故=-2 k

3、如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 O 为 AC 与 BD 的交点,M 为 DD1 的中点。 (1)求证:B1O ? AM; D1 (2)设正方体棱长为 1,若 T 是 D1D 或其延长线上一点,求使 B1T⊥平面 MAC 时 DT 的长。 C1 (1)设 AD 中点为 E,则 B1O 在平面内的射影为 A1D,又正方形 ADD1A1 中 A1D ? AM,故 B1O ? AM A1 M (2)要 B1T⊥平面 MAC,只需 B1T⊥MA,B1T⊥MC,同(1)可知 AT⊥MA,AT 过 D AD 中点 E,故 DT=1。
O A

B1 C B

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4、如图,在直角梯形 ABCD 外一点 P,且∠BAD=90? ,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 30? 角。AE⊥PD,E 为垂足。 (1)求点 D 到平面 PBC 的距离; (2)求证:BE⊥PD; (3)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小。(用反三角函数来 表示) (1) 解:过 A 作 AF⊥PB,垂足为 F,由 PA⊥平面 AC,得 PA ⊥BC,又 BC⊥AB,所以 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AF,所以 AF⊥平面 PBC,又因为 AD∥BC,所以 D 到平面 PBC 的距离 即为 A 到平面 PBC 的距离,即求 AF 的长。由已知可得 PA=
2 3 a , 易 得 PB= 3 21 2 7 a ,AF= a , 即 D 到 平 面 PBC 的 距 离 为 3 7

P E H F A G B C D

2 7 a 。…………………………6 分 7

(2) PA⊥平面 AC,AB⊥AD ? AB⊥PD,又 PD⊥AE ? PD⊥平面 ABE ? PD⊥BE. …………………………6 分 (3) 分别取 AD,DE 的中点 G,H,连接 HG,BG 得 BG∥CD,HG∥AE,则 ? BGH 即为 AE 与 CD 所成的角(或其补角) 计算可得 AE=a,HG= ……………………………………………………3 分

1 3 a 2 2 2 2 2 2 2 11 a ,BE =AB +AE =2a ,BH =BE +EH = a 2 ,BG= 2a ,EH= DE ? 2 2 2 4 2 2 可得 cos ? BGH= ? ,即 AE 与 CD 所成的角为 arccos .……………………3 分 4 4

5、直线 l : y ? kx ? 1与双曲线C : 2 x 2 ? y 2 ? 1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由. 5、本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质,曲线与方程的关系,及其综合应用能力, 解:(1)将直线 l的方程y ? kx ? 1代入双曲线C的方程2 x 2 ? y 2 ? 1后, 整理得
(k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0. ……①

依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故

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?k ? 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? ( 2k ) ? 8( k ? 2) ? 0, ? 2k ?? 2 ?0 ? k ?2 ? 2 ? 0. ? 2 ?k ? 2
2

解得k的取值范围是 ? 2 ? k ? ? 2 .

(2)设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则由①式得
2k ? x ?x ? , ? ? 1 2 2?k2 ……② ? ?x ? x ? 2 . 2 2 ? k2 ?2 ?

假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0). 则由 FA⊥FB 得:
( x1 ? c )( x2 ? c ) ? y1 y 2 ? 0. 即( x1 ? c )( x2 ? c ) ? ( kx1 ? 1)( kx2 ? 1) ? 0.

整理得
( k 2 ? 1) x1 x2 ? ( k ? c)( x1 ? x2 ) ? c 2 ? 1 ? 0. ……③

把②式及 c ?

6 代入③式化简得 2

5k 2 ? 2 6k ? 6 ? 0.

解得 k ? ?

6? 6 6? 6 或k ? ? (?2,? 2 )(舍去) 5 5

可知 k ? ?

6? 6 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点. 5

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