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28与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题正文28


与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

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显含时间力场中的功能原理及其应用
朱如曾

——弹簧振子机械能守恒问题的两种分析方法
(中国科学院 力学研究所,非线性国家重点实验室、微 重力国家实验室,北京,100190) 摘要:给出显含时间和不显含时间的保守力场与其它力共 同作用系统的功能原理.对于

一个惯性系 S(例如地面)中一端 固定的振动着的轻质弹簧振子,在另一平行于振动方向运动的惯 性系 S ? (例如运行中的小车)中观察, 采用实体模型和力场模型得 到相同结论: “该系统在惯性系 S 中机械能守恒;在惯性系 S ? 中 机械能不守恒” ,并指出在惯性系 S ? 中机械能也守恒的误解之错 误根源.这表明机械能守恒定律虽然满足相对性原理,但不是任 何情况下都具有伽利略协变性的. 关键词:显含时间力场;功能原理;机械能守恒定律;运 动弹簧振子;力学相对性原理;伽利略不变量; 中文分类号:0 301 文献标识码:A 文献[1,2]讨论了一个问题:如图 1 所示,一弹性系数为 k 的 轻质弹簧(其质量忽略不计) ,一端系在墙上,另一端系一质量 为 m 的小球,弹簧平行于光滑水平地面的 x 方向,小球处于该水

平地面上,在平衡位置 o 附近沿 x 方向做一维振动.一小车以 沿 x 方向的恒速 u 运动.试问:分别从地面(地球质量视为无限
大,故稳定地保持为惯性系)和小车上看, “弹簧和小球”这个振
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28 显含时间力场中的功能原理及其应用 ——弹簧振子机械能守恒问题的两种分析方法

动着的系统的机械能是否守恒? 并证明之.

f



m o
图1

v

x

小 车 ○ ○

u x

光滑水平地面

轻质弹簧振子体系

轻质弹簧振子系统的运动可以从两种不同视角来观察,即有 两种等价的处理方式.第一种是“实体模型” ,即将系统看成由质 量为 m 的质点(本文以下仍称之为小球)和质量为零的弹簧所构 成,弹簧一端固定于墙壁,另一端与质点连接,弹簧两端的拉力 遵从胡克定律.这一问题可以称之为“准多体动力学问题” .由于 忽略了弹簧的质量,所以系统的机械能就是弹簧的弹性势能加上 小球的动能.第二种是“保守外力场模型” ,即由于忽略了弹簧的 质量,干脆拼弃弹簧实体,但保留弹簧提供给小球的力,即系统

表示为质量为 m 的质点(小球)在按照胡克定律分布的外力场 中,因此问题化归为胡克定律力场中的“单质点动力学问题” .系 统的机械能就是小球的动能加上小球在保守外力场中的势能. [1,2] 通常在“实体模型”下采用功能原理来分析这一问题 :这是 一个保守系统,在地面上看(记为惯性系 S) ,虽然系统之外的墙 壁对系统有外作用力?f,但是被这个力作用的弹簧端点没有位 移,做功为零,故系统的机械能守恒;在小车上看(记为惯性 系 S?) ,因为固定在墙壁上的弹簧端点有速度?u,所以墙壁对弹 簧的外作用力不断做正负功,故机械能不守恒.但是最近有几位 大学物理教授、副教授向我提出争议说,既然轻质弹簧的质量已 经假定为零,这就相当于没有了弹簧,并且墙壁对弹簧端点的约 束作用力可以看做直接作用在小球上,成为小球受到的力场.既 然小球已经被视为在一个力场中运动,再计算墙壁对弹簧所做的 功不是重复计算了吗?因此他们坚持认为无论在地面上看,还是
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在小车上看,系统的机械能都是守恒的.这个矛盾如何解决?遇

到的矛盾往往意味着一些物理概念的混淆,解决矛盾对于澄清 学生的物理概念和培养学生从多方面看问题的思考能力是有好 处的,所以作者愿意在此介绍正确应用“力场”观点的正确方 法,并顺便指出争议的错误根源.为了便于比较和有利于概念的 澄清,本文将平行叙述两种模型在两个惯性参考系的处理.下
面将首先证明作为基础的显含时间的保守力场中的功能原理. 1、显含时间的保守力场中的功能原理 【显含时间的保守力场中的功能原理】对任一惯性系中各质 点的位置和速度分别为 ri 和 vi (i?1, , ,n )的 n 质点系统,如果除 受到显含时间 t 的,势函数分别为 Epin 和 Epout 的保守内力 f ini 和

保守外力 f outi 的作用外,还受到其它力 f othi (i?1,?n)的作 用,则系统的机械能 E 的变化率为

?E dE ? ? f othi ? vi ? p ??????????????????????????(?)? dt ?t i
其中,Ep?Epin?Epout. 证明 由势函数的定义

f ini ??
得?

?Epin ? ri

?, f outi ??

?Epout ? ri

???????????????????(?)?

dE p in dt dE p out dt
160

??

?f
i

ini ? vi ?

?E pin ?t

????????????????????(?)

??

?f
i

outi

? vi ?

?E pout ?t

??????????????????(?)

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系统的总动能 Ek 遵从动能定理

dEk ? ? f othi ? vi ? ? fini ? vi ? ? f outi ? vi ??????????(?) dt i i i
将(?) 、 (?)和(?)式相加即得(?)式.证毕.? 由此功能原理还可以立即得到势能函数显含时间系统的机械 能守恒条件是(?)式右边为零,这也就是文献???中的(?)式所 提出的条件. 2、实体模型----准多体动力学分析: 本文统一以适用于质点系的功能原理表示式(1)为基础,所 以连续体弹簧需要理解为多粒子链. (2.1)在稳定的地面惯性参考系 S 中观察 在图 1 中, 以轻质弹簧平衡时小球所处的位置 o 为 x 轴的坐标
原点,记为 xo?0,小球的位置坐标 x 就是小球离开平衡点 xo?0 的

位移, 也即弹簧的伸长或压缩(x?xo). 小球的一维速度和动能分别 记为 v 和 Ek. 现在先单独对该轻质弹簧作为一个多粒子子系统应用功能原 理的公式 (1) 计算其拉伸后的弹性势能, 然后证明机械能守恒. 已 知弹簧遵从胡克定律,即弹簧在端点 x 处受到的小球作用力(公 式(1)中称为“其它力” )为(?f ) ?f?k(x?xo) (6) 墙壁作用于弹簧的其它力为 f. 弹簧拉伸的可逆性表明组成弹簧

的粒子之间的相互作用力是不显含时间,而只与这些粒子之间 的相互距离有关的保守内力,并且不存在保守外力场,所以公 式(1)右边第二项为零,并且右边第一项求和号下只有两端的 两个其它外(?)力贡献项,又由于弹簧的质量忽略不计,因
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此动能为零,故(1)式化为

dEp?k(x?xo)dx?k(x?xo)d(x?xo) Ep=
1 k(x?xo)2 2

(7)

积分此式并约定未拉伸的弹簧势能为零,于是得弹簧的弹性势能为 (8)

现在考虑弹簧加小球系统.由于忽略了弹簧质量,系统的机械 能为弹簧势能与小球动能 Ek 之和

E?Ep?Ek?

1 1 k(x?xo)2 ? mv2????????????????????(?) 2 2

这个保守系统虽然受墙壁提供的其它力 f 作用, 但该力的作 用点即弹簧端点无位移,故它不做功,由功能原理表示式(1)得,系 统的机械能守恒,即

E?
其中,A 为振幅.

1 1 1 k(x?xo)2 ? mv2? kA2 2 2 2

(10)

(2.2)在稳定的小车惯性参考系 S ? 中观察

在 S ? 系中取与 x 轴重合的 x1 轴,其原点 o1 在 t?t1?0 时刻
与 x 轴上的原点 o 重合,即初始时刻 x 轴的原点 o 在小车系中的 坐标 xo1(t1?0)与在地面系的坐标都为零: xo1(t1?0)?xo?0.小球的

位置、速度和动能分别记为 x1,v1 和 E1k(t).本文后面将一直采
用本段的这些约定.于是两个参考系的伽利略变换关系为

t?t1,m?m1,x1?x?ut,v1?v?u,xo1?xo?ut??ut (11) 因此,弹簧的无形变长度 l0 和伸长(x?xo)以及质点的加速度均是
伽利略不变量.力学相对性原理保证牛顿第二定律适用于任何惯

性系,故力也是伽利略不变量,因此弹簧拉力 f 是伽利略不变
量,从而胡克定律是伽利略不变式,即胡克定律的成立与弹簧是 否正在做匀速运动无关.所以,由(6)式得 S ? 系中的胡克定律
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f1??k(x1?xo1)???k(x1?ut)
易得到在 S ? 系中成立与 S 系中公式(7)形式相同的公式

(12)

利用公式(7)的推导逻辑,并且用公式(12)取代公式(6) ,容

dE1p?k(x1?xo1)d(x1?xo1)
式相同的公式

(13)

选择未伸长的弹簧的势能为零,由(13)式均可推得与(8) 、 (9)式形

1 1 k(x1?xo1)2? k(x?xo)2?Ep (t)????? (14) 2 2 1 1 E1?E1p(x1?xo1)?E1k(v1)? k(x1?xo1)2? mv12?????(??)? 2 2

E1p?

其中(14)式表明弹簧的弹性势能是伽利略不变量. (15)式 结合(11)式和(10)式得到?

1 1 1 1 k(x?xo)2? m(v?u)2? kA2? mu2?muv(t)(16) 2 2 2 2 对于振动着的弹簧振子,v(t)是 ωt 的正弦或余弦函数

E1?

(ω?

1 2?

k ) , m

故(16)式表明,在小车( S ? 系)上看,系统的机械能不守恒.其 原因十分清楚:在 S ? 系中,墙壁以速度 ?u 运动,墙壁提供的其 它力 f (t)对系统要做功 dWw1,根据功能原理表示式(1) ,其值正 好等于系统机械能的增量,验证如下式:

dWw1??f(t)udt??m

dv1 dv udt??m udt??mudv(t)?dE1(17) dt dt

故系统的机械能不守恒. 3、保守外力场模型——力场中的单质点动力学分析:

在保守外力场模型中,小球在遵从胡克定律的弹性保守外
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力场中运动. 在这种观点下, 无论在 S 系中观察还是在 S ? 系中 观察,墙壁力由于不直接作用于小球,所以不属于功能原理表 示式(1)中的“其它力” .
(3.1)在稳定的地面惯性参考系 S 中观察 在此情况下,显然, (2.1)节的公式(6)—(10)都成立,只是 其中胡克定律公式(6)中的 f 不再是墙壁对弹簧的作用力,而是 弹性外力场对小球的作用力,Ep(x)不再称为弹簧的势能,而称 为小球在保守外力场中的势能,机械能守恒式(10)的理由不再 是“这个保守系统虽然受墙壁提供的其它外力 f 作用,但该力的 作用点即弹簧端点无位移,故它不做功” ,而应改为“因为本保守 外力场的势函数不显含时间,又无其它力作用,根据功能原理的 方程(1) ,机械能守恒” . (3.2)在稳定的小车惯性参考系 S ? 中观察

小车 S ? 系中的胡克定律表示式(12)表明, 整个保守外力场以
速度?u 平移,因此这个保守外力场不仅与空间坐标 x1 有关,还 与时间 t 有关,所以力场 f1 是(x1,t)的二元函数,因此其势函

数 E1p 也是(x1,t)的二元函数,即显含时间 t.于是

dE1p(x1,t)?

?E1p ?x1
t

dx1 ?

?E1p ?t
x1

dt ??

?E1p ?x1
t

dx1 ?

?E1p ?x1
t1

udt ?? f1dx1? f1udt???????????(18)?

(其中应用了(2)式中的第二式)这里,势能场的时间偏微分贡献 项(?f1udt)恰恰就是实体模型中墙壁对弹簧所做的元功项,而 前一项?f1dx1 就是小球对弹簧所做的元功项,所以此式与实体模
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型下的(13)式相等.事实上,对(18)式应用胡克定律(12)式 即得(13)式.这是两种模型都正确的必然结果.
从(13)式出发选择未伸长的弹簧的势能为零,即 x1?xo1??ut 处

的势能为零,可以推得(14)式和(15)式.然后可以采用如下 两种方法完成对系统机械能不守恒的证明: (3.2.1)直接计算小球的机械能:
将(15) 式与力场观点下也成立的(10) 式相结合,得到(16) 式,它

表示振动着的弹簧系统的机械能不守恒. (3.2.2)直接利用功能原理表示式(1) : 本模型由于只存在由显含时间的势函数 E1p(x1, t)表示的保守 外力场,而无其它力,故方程(1)简化为

dE1 ?E1p ? dt ?t

???????????????????????????????(??)?
x1

将(14)式代入(19)式,并利用(11)式的最后一式得?

?x dE1 ???k(x1?xo1) o 1 ?ku(x1?ut)?kux(t) dt ?t

(20)?

这里 x 是 ωt 的正弦或余弦函数,所以对于振动着的小球,在小 车上观察,机械能不守恒. (19)式显示,在力场模型下,机械能 不守恒的根源在于保守外力场显含时间. 4、争议意见的错误根源 争议意见错误地认为在小车上看, 弹簧振子机械能也守恒. 这 一错误的根源在于:就实体模型观点看,争议者计算弹簧势能时
误用了保守外力场模型中不显含墙壁作用的概念,因而丢了 (13)式

中墙壁功对势能的贡献部分?k(x1?xo1)dxo1??f1udt; 就保守外力场
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模型观点看,争议者忽视了弹性力场显含时间的性质,因而计算 势能微分时丢了(18)式中的时间偏微分贡献项.这些概念混淆 值得学生们注意. 5、结论 给出了显含时间和不显含时间的保守力场与其它力共同作用 系统的功能原理.对于一个惯性系 S(例如地面)中一端固定的 振动着的轻质弹簧振子,机械能守恒,但是在另一平行于振动方 向运动的惯性系 S ? (例如运行中的小车)中观察,采用实体模型 和力场模型都得到机械能不守恒的结论.因此 S 系中的机械能守 恒定律,不具有伽利略协变性,这充分证明机械能守恒定律虽然 满足力学相对性原理, 但是并不在任何情况下都具有伽利略协变

性,这与文献[4,5]一致,而否定了文献[6]把物理定律满足力
学相对性原理与具有伽利略协变性混为一谈的说法.还指出在惯

性系 S ? 中机械能也守恒的误解之错误根源在于忽视了墙壁功 对机械能变化的贡献,或者忽视了弹性力场显含时间的性质.
致谢: 参考文献: [1]赵凯华,罗蔚茵.新概念物理教程,高等教育出版社,2004 年,第三章. [2]高炳坤. 力学中一个令人费解的问题, 大学物理, 1995 年, 14(5): 21?24. [3]朱如曾. 相对性原理及其对自然界定律的协变性要求, 大学物 理,2000 年,19(2):15?19. [4]朱如曾.相对性原理对普遍定律和非普遍定律参考系变换性

质的不同要求 —— 关于协变性疑难的进一步讨论 . 大学物 理,2002 年,21(3):19?23.
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