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江苏省滨海县八滩中学2013届高三摸底考试数学试卷


滨海县八滩中学 2012-2013 年度秋学期高三摸底考试模拟试卷

数学试题
一.填空题 1.已知全集 U ? {1,2,3,4,5} ,集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? 2a,a ? A} ,则
2

集合 CU ( A ? B) ? _______________

___。 2. 用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为 55 的样本参加问卷调查, 其中高 一年级、高二年级分别抽取 10 人、25 人。若该校高三年级共有学生 400 人,则该校高一和 高二年级的学生总数为 3.若 z ? z ? z ? 人。

开始
i ? 1,s ? 11

15 ? 2i ( i 为虚数单位),则复数 z =__________。 4

4.右图是一个算法流程图,则执行该算法后输出的 s=______。 5.函数 f ( x) ?

3x 2 1? x



? lg(3 x ? 1) 的定义域是______________。

i≥3


s ? s·9 i ? i+1

6.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标 有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数,现从中随机选取三个球,则 所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是_____。

输出 s

结束

7.已知等比数列 ?a n ?的各项均为正数,若 a1 ? 3 ,前三项的和为 21 , 则 a 4 ? a5 ? a 6 ? 。

D1 A1 B1
D A B

C1

8.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为_______________cm3。

C

9.已知 F 是双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左焦点,B1B2 是双曲线的虚轴,M 是 OB1 a2 b2

→ → 的中点,过 F、M 的直线交双曲线 C 于 A,且FM=2MA,则双曲线 C 离心率是_______。 10.直线 y ? 2 x ? m 和圆 x ? y ? 1交于点 A、B,以 x 轴的正方向为始边,OA 为终边(O
2 2

是坐标原点) 的角为 ? , 为终边的角为 ? , AB ? 3 , OB 若 那么 cos( ? ? ) 的值是_____。 ? 11 . 已 知 函 数 f ( x) ? l o g( x ? 1) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 像 恒 过 点 A , 若 点 A 在 直 线 a

mx ? y ? n ? 0 上,则 4m ? 2n 的最小值为___________________________。
12.函数 f ( x) 的定义域为 D ,若满足① f ( x) 在 D 内是单调函数,②存在 [a, b] ? D 使 f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [?b,?a] ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数,现有 f ( x) ? 2 ? x ? k 是对称 函数,那么 k 的取值范围是______________________。 13. 在面积为 2 的 ?ABC 中, 分别是 AB, 的中点, P 在直线 EF 上, PC ? PB ? BC E,F AC 点 则 的最小值是________________________。 14.关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 二.解答题 15.已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x( m ? 0) 的最大值为 2。 (1)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间; (2) ?ABC 中, f ( A ?
?
2

1 a ? ? b ? 0 有实根,则 a2 ? b2 的最小值为 2 x x



?

) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 4 4

?

且 C ? 60 , c ? 3 ,求 ?ABC 的面积。

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PA ? PC, E 为 PB 的中点。 (1)求证: PD ∥面 AEC ; (2)求证:平面 AEC ⊥平面 PDB 。

17.经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均

为时间 t(天) 的函数, 且销售量近似满足 g (t ) ? 80 ? 2t , 价格近似满足 f (t ) ? 20 ? (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t ( 0 ? t ? 20 )的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值。

1 | t ? 10 | 。 2

18.已知函数 f ( x) ? x ? 8ln x , g ( x) ? ? x ? 14 x 。
2 2

(1)求函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 (a, a ? 1) 上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f ( x) ? g ( x) ? m 有唯一解,试求实数 m 的值。

19.如图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 e ? (1)求该椭圆的标准方程;

2 ,一条准线的方程是 x ? 2 2 2

(2)设动点 P 满足: OP ? OM ? 2ON ,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之 积为 ?

??? ?

???? ?

????

1 ,问:是否存在定点 F,使得 PF 与点 P 到直线 l: x ? 2 10 的距离之比为定值; 2

若存在,求 F 的坐标,若不存在,说明理由。

* 20.在数列 {a n } 中, a1 ? 1 , 且对任意的 k ? N , a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等比数列, 其公比为 qk 。

(1)若 qk ? 2(k ? N ) , 求 a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 k ?1 ;
*

(2)若对任意的 k ? N , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列, 其公差为 d k , 设 bk ?
*

1 。 qk ? 1

① 求证: {bk } 成等差数列, 并指出其公差; ② 若 d1 ? 2 , 试求数列 {d k } 的前 k 项和 Dk 。

高三摸底考试模拟试卷数学试题

参考答案及评分标准
一.填空题:本题每小题 5 分,满分 70 分 1. {3,5} ; 2.700;

1 ? 2i ; 2 1 5. (? ,1) 注:写成不等式的形式不给分 3
3. ? 7.168; 9.

4.81; 6.

1 ; 2

8.8; 10. ?

5 ; 2

11. 2 2 ; 13. 2 3 ; 二.解答题 15.本题满分 14 分

1 ; 2 9 12. [2, ) ; 4 4 14. 。 5

解:(1)由题意, f ( x) 的最大值为 m 2 ? 2 ,所以 m2 ? 2=2 .?????????2 分
π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) .???????????????4 分 4 π π 3π f ( x) 为递减函数,则 x 满足 2kπ+ ≤ x ? ≤ 2kπ+ 2 4 2

? k ? Z? ,

π 5π 即 2kπ+ ≤ x ≤ 2kπ+ ? k ? Z ? .????????????????????6 分 4 4 ?π ? 所以 f ( x) 在 ? 0,π ? 上的单调递减区间为 ? ,π ? . ?????????????7 分 ?4 ?

(2) 设△ABC 的外接圆半径为 R ,由题意,得 2R ?
π π 化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,得 4 4

c 3 ? =2 3 sin C sin 60?

sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .?????????????????????9 分

由正弦定理,得 2 R ? a ? b ? ? 2 6ab , a ? b ? 2ab .
2



由余弦定理,得 a2 ? b2 ? ab ? 9 ,即 ? a ? b ? ? 3ab ? 9 ? 0 . ② ???????11 分 将①式代入②,得 2 ? ab ? ? 3ab ? 9 ? 0 .
2

解 得 ab ? 3 , 或

ab ? ?

3 ( 舍 去 ) . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 分 2

3 3 1 .?????????????????14 分 S?ABC ? ab sin C ? 4 2 16.本题满分 14 分 (1)设 AC 与 BD 的中点为 O,连结 OE ∵O,E 分别为 BD,PB 中点 ∴OE∥PD 又∵ OE ? 面 AEC , PD ? 面 AEC

PD ∥面 AEC

?????????????7 分

(2) 连结 PO ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD ∵ PA ? PC ,O 为 AC 中点 ∴AC⊥PO 又 BD ? PO ? O , ∴平面 AEC ⊥平面 PDB ????????????14 分 17.本题满分 14 分
1 解:(1) y ? g (t ) ? f (t ) ? (80 ? 2t ) ? (20 ? | t ? 10 |) ? (40 ? t )(40? | t ? 10 |) 2
?(30 ? t )(40 ? t ), (0≤t ? 10), =? ?(40 ? t )(50 ? t ), (10≤t ≤ 20).

??????????? 8 分

(2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1200,1225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; ???????????10 分 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600。 ???????????12 分 答:总之,第 5 天,日销售额 y 取得最大为 1225 元; 第 20 天,日销售额 y 取得最小为 600 元。 ?????????14 分 18.本题满分 16 分

8 ,所以切线的斜率 k ? f ?(1) ? ?6 ????????2 分 x 又 f (1) ? 1 ,故所求切线方程为 y ? 1 ? ?6( x ? 1) ,即 y ? ?6 x ? 7 ????????4 分 2( x ? 2)( x ? 2) (2)因为 f ?( x) ? ,又 x>0,所以当 x>2 时, f ?( x) ? 0 ; 0<x<2 时, f ?( x) ? 0 . 当 x 即 f ( x) 在 (2, ??) 上递增,在(0,2)上递减?????????????6 分 2 又 g ( x) ? ?( x ? 7) ? 49 ,所以 g ( x) 在 (??, 7) 上递增,在 (7, ??) 上递减??????7 分 ? a?2 欲 f ( x) 与 g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,则 ? ,解得 2 ? a ? 6 ????10 分 ?a ? 1 ? 7
解:(1)因为 f ?( x) ? 2 x ? (3) 原 方 程 等 价 于 2 x ? 8 l nx ? 1 4 ? m, 令 h( x) ? 2 x ? 8ln x ? 14 x , 则 原 方 程 即 为 x
2
2

因为当 x ? 0 时原方程有唯一解, h( x) ? m . 所以函数 y ? h( x) 与 y ? m 的图象在 y 轴右侧有唯一的交点????????12 分 8 2( x ? 4)(2 x ? 1) 又 h?( x) ? 4 x ? ? 14 ? ,且 x>0,所以当 x>4 时, h?( x) ? 0 ;当 0<x<4 时, x x h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 (4, ??) 上递增,在(0,4)上递减. 故 h(x)在 x=4 处取得最小值????????????????????14 分 从而当 x ? 0 时原方程有唯一解的充要条件是 m ? h(4) ? ?16ln 2 ? 24 ????16 分 19.本题满分 16 分 解:(1)由 e ?

c 2 a2 ? , ? 2 2, 解得 a ? 2, c ? 2, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 , a 2 c

故椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(2)设 P( x, y ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 由 OP ? OM ? 2ON 得:

??? ?

???? ?

????

( x, y ) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), 即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
2
2 2 2 2

因为点 M,N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以 x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4 ,
2

故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2
2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知 kOM ? kON ? 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, 所以 x ? 2 y ? 20.
2 2

y1 y2 1 ?? , x1 x2 2

所以 P 点是椭圆

x2 (2 5) 2

?

y2 ( 10) 2

? 1 上的点,该椭圆的右焦点为 F ( 10, 0) ,离心率

e?

2 , 直线l : x ? 2 10 是 该 椭 圆 的 右 准 线 , 故 根 据 椭 圆 的 第 二 定 义 , 存 在 定 点 2

F ( 10, 0) ,使得|PF|与 P 点到直线 l 的距离之比为定值。

20.本题满分 16 分 解: (1)因为 qk ? 2 ,

所以

a2 k ?1 ? 4 ,故 a1 , a3 , a5 , ???, a2 k ?1 是首项为 1,公比为 4 的等比数列, a2 k ?1

所以 a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 k ?1 ?

1 ? 4k 1 k ? (4 ? 1) ????????????? 4 分 1? 4 3

(注: 讲评时可说明, 此时数列 ?ak ? 也是等比数列, 且公比为 2) (2)①因为 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,所以 2a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ?2 ,

a2 k ?1 q ?1 1 ?????? 7 分 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 ,所以 ? qk ?1 ? 2 ,则 qk ?1 ? 1 ? k qk qk qk q 1 1 1 1 得 ? k ? ? 1,所以 ? ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 , qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1
而 a2 k ? 所以 ?bk ? 是等差数列,且公差为 1??????????????9 分
2

② 因 为 d1 ? 2 , 所 以 a3 ? a2 ? 2 , 则 由 a2 ? 1? a 3? a ? 2 , 解 得 a2 ? 2 或 2

a2 ? ?1 ??????10 分
(ⅰ)当 a2 ? 2 时, q1 ? 2 ,所以 b1 ? 1 ,则 bk ? 1 ? (k ? 1) ?1 ? k ,即

1 k ?1 ? k ,得 qk ? , qk ? 1 k

a2 k ?1 (k ? 1) 2 ? 所以: , a2 k ?1 k2 a a a a2 k ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ?1 ????? 3 ? a1 a2 k ?1 a2 k ?3 a1

?

(k ? 1) 2 k2 22 ? ????? 2 ?1 ? (k ? 1) 2 ?????????12 分 k2 (k ? 1) 2 1

a2 k ?1 (k ? 1) 2 ? ? k (k ? 1) ,则 dk ? a2 k ?1 ? a2 k ? k ? 1 , k ?1 qk k k (k ? 3) 故 Dk ? ?????????14 分 2 (ⅱ)当 a2 ? ?1 时, q1 ? ?1 ,
所以 a2 k ?

1 k? 1 3 1 1 3 2, ? k ? ,得 qk ? 所以 b1 ? ? ,则 bk ? ? ? (k ? 1) ?1 ? k ? ,即 3 qk ? 1 2 2 2 2 k? 2 1 3 1 (k ? ) 2 (k ? ) 2 ( )2 a2 k ?1 a2 k ?1 a3 2 ? 2 ????? 2 ?1 ? 4(k ? 1 )2 , ? ????? ? a1 ? 所以 a2 k ?1 ? 3 5 1 a2 k ?1 a2 k ?3 a1 2 (k ? ) 2 (k ? ) 2 (? ) 2 2 2 2 a 2 则 a2 k ? 2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) ,所以 d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 4k ? 2 ,从而 Dk ? 2k . qk k (k ? 3) 2 综上所述, Dk ? 或 Dk ? 2k ??????????????16 分 2


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