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浙江省嵊州市2015年高三第二次教学质量调测数学理试题


绝密★考试结束前

2015 年嵊州市高三第二次教学质量调测 数学
姓名
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、 姓名; 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

理科


准考考号

参考公式: 球的表面积公式 S=4πR
4 3
2

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S 2 ? S 2 3

球的体积公式 V= πR3 其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式
1 V= 3

?

?

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

Sh

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合 U ? {1,2,3,4,5} , A ? {1,2,3} , B ? {2,4} ,则 A ? (? U B) ? A. {2,4} B. {1,3} C. {1,2,3,5} D. {2,5}

2.为得到函数 y ? sin( 3 x ? A.横坐标缩短到原来的

π π ) 的图象,只要把函数 y ? sin( x ? ) 图象上所有的点 4 4
B.横坐标伸长到原来的 3 倍,纵坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 3

C.纵坐标伸长到原来的 3 倍,横坐标不变

1 倍,横坐标不变 3

3.命题“对任意的 x ? R , sin x ? 1 ”的否定是 A.不存在 x ? R , sin x ? 1 B.存在 x ? R , sin x ? 1 C.存在 x ? R , sin x ? 1 D.对任意的 x ? R , sin x ? 1 4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 0 , 3a8 ? 5a13 ,则 S n 中最大的是 A. S10 B.

S11

C. S 20

D. S 21

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作平行于 C 的渐近 a 2 b2 线的直线交 C 于点 P ,若 PF1 ? PF2 ,则该双曲线 C 的离心率为
5.已知双曲线 C : A.

5 2

B.

6 2

C. 2

D. 5

6.在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,底面 A1 B1C1 D1 是边长为 a 的正方形,侧 棱 AA1 的长为 b , E 为侧棱 BB1 上的动点(包括端点) ,则 A.对任意的 a , b ,存在点 E ,使得 B1 D ? EC1 B.当且仅当 a ? b 时,存在点 E ,使得 B1 D ? EC1 C.当且仅当 a ? b 时,存在点 E ,使得 B1 D ? EC1 D.当且仅当 a ? b 时,存在点 E ,使得 B1 D ? EC1 7. 已 知 圆

D A
E
D1

C

B

C1 B1

? x ? 1?

2

? y2 ? 4 的 圆 心 为 C , 点 P 是 直 线

A1

l: m ? x

? y5 m ? 4 ?上 0 的点,若该圆上存在点 Q 使得

(第 6 题图)

?CPQ ? 30? ,则实数 m 的取值范围为
A. ??1,1? B.

??2, 2?

C.

? 3? 3 , ? 4 ?

3 ? ? 3 ? 4 ?

D. ? 0, ? ? 5?

? 12 ?

8.已知向量 a ? b , a ? b ? 2 ,定义: c λ ? λa ? (1 ? λ)b ,其中 0 ? λ ? 1 .若 c λ ? c 1 ?
2

1 ,则 c λ 2

的值不可能 为 ... A.

5 5

B.

3 3

C.

2 2

D.1

二、填空题 (本大题共 7 小题,其中第 9、10、11、12 题每格 3 分,13、14、15 题每格 4 分,共 36 分)

? x 2 ? x, x ? 0, ? 9.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ? 2 为奇函数. 则 f (?1) = ▲ , a = ? ? ? x ? ax, x ? 0

▲ .

10.如图,某几何体的正视图、侧视图、俯视图均为 面积为 2 的等腰直角三角形,则该多面体面的个 数为 ▲ ,体积为 ▲ .

? x ? y ? 1 ? 0, ? 11.若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
则 x ? 3 y 的最小值为 ▲ ,点 P ( x, y ) 所组成的平面 区域的面积为 ▲ . 12.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若 a4 ? 8 , S n?1 ? pSn ? 1 , ( p ?R ) , 则 a1 = ▲ , p = ▲
2

正视图

侧视图

俯视图 视图

(第 10 题图)

.
2

13.已知 a,b ? R , a ? 2ab ? 5b ? 4 ,则 a ? b 的取值范围为 ▲
2

.

, ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点,若 14.已知抛物线 C:y ? 4 x ,点 M (?11)

MA ? MB ? 0 ,则实数 k 的值为 ▲ .
15.设关于 x 的方程 x ? ax ? 1 ? 0 和 x ? x ? 2a ? 0 的实根分别为 x1 , x2 和 x3 , x4 ,若
2 2

x1 ? x3 ? x2 ? x4 ,则实数 a 的取值范围为 ▲ .
三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. (本题满分 15 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 已知 2 sin A sin B ? 2 sin A ? 2 sin B ? cos2C ? 1 .
2 2

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2b ? 1 ,且△ ABC 的面积为

5 3 ,求边 a 的长. 2

P
17. (本题满分 15 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,底面△ ABC 是边长为 2 的等边
? 三角形, ?PCA ? 90 , E,F 分别为 AP, AC 的中点,且

E

PA ? 4 , BE ? 3 .

A

F

C

B
(第 17 题图)

(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BEF ; (Ⅱ)求二面角 A ? BP ? C 的余弦值.

18. (本题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2 , an?1 ? 1 ? a1a2 a3 ?an . (Ⅰ)求 a2 的值; (Ⅱ) (ⅰ)证明:当 n ? 2 时, an 2 ? an?1 ? an ? 1 ; (ⅱ)若正整数 m 满足 a1a2a3 ?am ? 2015 ? a12 ? a22 ? a32 ? ?? am2 ,求 m 的值. 19. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,右顶点为 (2, 0) ,离心率为 ,直线 2 a b 2

l1 : y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) 与椭圆 C 相交于不同的两点 A , B ,过 AB 的中点 M 作垂直于 l1 的
直线 l2 ,设 l2 与椭圆 C 相交于不同的两点 C , D ,且 CD 的中点为 N . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设原点 O 到直线 l1 的距离为 d ,求
y
l1

MN d

的取值范围.

C

A M
O N

x

B

20. (本题满分 14 分) 已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? x ? a x ?1 .
2

D
l2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)讨论 y ? f ? x ? 的图象与 y ? x ? a 的图象的公共点个数.

(第 19 题图)

2015 年嵊州市高三第二次教学质量调测答案

数学
1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C

理科
7.D 8.A

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

二、填空题 (本大题共 7 小题,第 9,10,11,12 题每空 3 分,第 13,14,15 题每空 4 分,共 36 分) 9. 0 , 1 13. ? 2 2 ,2 2 10. 4 ,

4 3

11. ? 4 , 15. ? 0,

3 2

12. 1 , 2

?

?

14. 2

? ? ?

3? 3 ? ? 2 ? ?

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. (本题满分 15 分) 解: (Ⅰ)∵ cos2C ? 1 ? ?2 sin C .
2 2 2

......1 分

P
∴ 2 sin A sin B ? 2 sin A ? 2 sin B ? 2 sin C
2

由正弦定理得, 2ab ? 2a ? 2b ? 2c .
2 2 2

......4 分

E

即 ab ? a ? b ? c
2 2

2

A
2



cosC ?

a ?b ?c 1 ? . 2ab 2
2 2

F

C

......7 分

π 又 ? 0 ? C ? π ,∴ C ? . 3
(Ⅱ)∵△ ABC 的面积为

B
......8 分 (第 17 题图)

1 5 3 , ∵ S ?ABC ? ab sin C . 2 2

......11 分



1 5 3 ab sin 60? ? 即 ab ? 10 . 2 2
∴a ? 5.

......13 分 ......15 分

∵ a ? 2b ? 1 17. (本题满分 15 分) ∴ ?PAC ? 60 .
?

? (Ⅰ)∵ PA ? 4 , AC ? 2 , ?PCA ? 90

又∵ AE ? AC ? 2 ,∴△ AEC 是边长为 2 的等边三角形. ∵ F 为 AC 的中点,∴ AC ? EF . ......2 分 又△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, F 为 AC 的中点,

G

∴ AC ? BF . 又∵ EF ? BF ? F ,∴ AC ? 平面 BEF . 由(Ⅰ)可知 EF ? BF ? 3 , BE ? 所以 EG ? BF , 所以 EG ? 平面 ABC . 如图建立空间直角坐标系 G ? xyz ,则.

......4 分 ......6 分

(Ⅱ)如图,取 AB 中点 F , BF 中点 G ,联结 EF , EG 。

3,

z

P

E

B(

3 3 3 ,0,0) , E (0,0, ) , A(? ,?1,0) , 2 2 2
....8 分

A

F B
x
(第 17 题图)

C

3 3 C (? ,1,0) , P( ,1,3) 2 2

y

所以 BP ? (0,1,3) , BA ? (? 3,?1,0) , 所以平面 ABP 的法向量为 n1 ? ( 3,?3,1) 所以 BP ? (0,1,3) , BC ? (? 3,1,0) , 所以平面 CBP 的法向量为 n2 ? ( 3,?3,?1) 所以平面 ABP cos? ?

......11 分

......13 分 ......15 分

n1 ? n2 n1 n2

??

7 13
7 . 13

即平面 ABP 与平面 CBP 所成角的余弦值为 18. (本题满分 15 分) 解(Ⅰ)∵ an?1 ? 1 ? a1a2 a3 ?an ∴ a2 ? 1 ? a1 ,∴ a2 ? a1 ?1 ? 1 . (Ⅱ) (ⅰ)∵ an?1 ? 1 ? a1a2 a3 ?an , ∴ an ? 1 ? a1a2a3 ?an?1 , (n ? 2) . 由① ? ②得 ① ②

......4 分

......6 分

an ?1 ? 1 ? an . an ? 1

......8 分

∴ an?1 ? 1 ? (an ? 1)an ,

即当 n ? 2 时 an 2 ? an?1 ? an ? 1 . (ⅱ)由 a1a2 a3 ?am ? 1 ? am?1 ,

......10 分

∵ a12 ? 4 , a22 ? a3 ? a2 ? 1 , a32 ? a4 ? a3 ? 1 ,...., am2 ? am?1 ? am ? 1 , ∴ a12 ? a22 ? a32 ? ? ? am2 ? am?1 ? m ? 2 . 则 (1 ? am?1 ) ? 2015 ? am?1 ? m ? 2 , ∴ m ? 2014 . 19. (本题满分 15 分) ......15 分 ......13 分

?a ? 2, x2 ? 2 解: (Ⅰ) ? c 3 得 4 ? y ? 1. ...... 4 分 , ? ? 2 ?a
? x2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 2 (Ⅱ) (Ⅱ)由 ? 4 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 , ? y ? kx ? m, ?
8mk ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 4k 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 ? x x ? 4m ? 4 . ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
故 M (?

4mk m , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 3m m 1 4mk ? ? (x ? ) ,即 y ? ? x ? . l2 : y ? 2 2 k k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

...... 6 分 ...... 7 分

1 3m ? y ?? x? , ? 4 2 24m 36m2 ? k 1 ? 4k 2 由? 2 得 (1 ? 2 ) x ? x ? ?4?0, k k (1 ? 4k 2 ) (1 ? 4k 2 )2 ? x ? y 2 ? 1, ? ?4
设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) , 则 x3 ? x4 ? ?

24mk , (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)
..... 9 分

故 N (?

12mk 3mk 2 , ? ). (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4) (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

故 MN ?| xM ? xN | 1 ?

1 4 | m | (k 2 ? 1) k 2 ? 1 = . k2 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

...... 11 分

又d ?

|m| 1? k2
=

.

...... 12 分

所以

MN d
=

4(k 2 ? 1)2 . 令 t ? k 2 ? 1(t ? 1) , 2 2 (1 ? 4k )(k ? 4)
4 9 9 ? 2 ? ?4 t t ?
16 4 ? [ ,1) . 1 1 25 25 ?9( ? ) 2 ? t 2 4
...... 15 分



MN d

4t 2 ? 4t 2 ? 9t ? 9

20. (本题满分 14 分) (Ⅰ)解 f ? x ? ? ?
2 ? ? x ? x ? 1, x ? 1, 2 ? ? x ? x ? 1, x ? 1.

......2 分

故 f ? x ?min ? f ? ?

5 ? 1? ??? . 4 ? 2?
2

...... 4 分

(Ⅱ)设 h( x) ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? a x ?1 ? x ? a ,

? x 2 ? ? a ? 1? x ? 2a, x ? a, ? ? 2 1.当 a ? 1 时, h ? x ? ? ? x ? ? a ? 1? x,1 ? x ? a, ? 2 ? ? x ? ? a ? 1? x ? 2a.x ? 1.
x ? a 时, h ? a ? ? a ? 0 ,对称轴 x ?

...... 5 分

a ?1 ? a ,无零点. 2

1 ? x ? a 时, x1 ? 0 (舍去) , x2 ? a ? 1 ,
所以(ⅰ) a ? 2 时,一个零点; (ⅱ) 1 ? a ? 2 时,无零点.

x ? 1 时, ? ? a 2 ? 10a ? 1 ? 0 ,对称轴 x ?

a ?1 ? 1 , h ?1? ? 2 ? a 2

所以(ⅰ) a ? 2 时,一个零点; (ⅱ) 1 ? a ? 2 时,两个零点. 综上所述, a ? 1 时, h ? x ? 有两个零点, 即 y ? f ? x ? 的图像与 y ? g ? x ? ? x ? a 的图像的公共点有 2 个. ...... 7 分

2. a ? 1 时 , x ? ?1 ? 3 , 即 y ? f ? x ? 的 图 像 与 y ? g? x ? ? x? a的 图 像 的 公 共 点 有 2 个. ...... 8 分

? x 2 ? ? a ? 1? x ? 2a, x ? 1, ? ? 2 3. a ? 1 时, h ? x ? ? ? x ? ? a ? 1? x, a ? x ? 1, ? 2 ? ? x ? ? a ? 1? x ? 2a.x ? a,
x ? 1 时,对称轴 x ?

...... 9 分

a ?1 ? 1 , h(1) ? a . 2 所以(ⅰ) a ? 0 时,一个零点; (ⅱ) 0 ? a ? 1 时,无零点.

a ? x ? 1 时, x1 ? 0 (舍去) , x2 ? 1 ? a ,
所以(ⅰ) a ? (ⅱ)

1 时,一个零点; 2

1 ? a ? 1 时,无零点. 2 a ?1 , h ? a ? ? a ? 2a ?1? x ? a 时, ? ? a 2 ? 10a ? 1 ,对称轴 x ? ? 2 1 a ?1 ? a , h ? a ? ? a ? 2a ?1? ? 0 ,无零点; 所以(ⅰ) a ? ? 时,对称轴 x ? ? 3 2 1 2 (ⅱ) ? ? a ? ?5 ? 2 6 时, ? ? a ? 10a ? 1 ? 0 ,无零点; 3
(ⅲ) a ? ?5 ? 2 6 时, x ? 2 ? 6 ? a ? ?5 ? 2 6 ,一个零点; ( ⅳ ) ?5 ? 2 6 ?a ? 0或

1 a ?1 ? a ? 1 时 , ? ? a 2 ? 1 0a ? 1 ?a , ? 0 ,对称轴 x ? ? 2 2

h ? a ? ? a ? 2a ?1? ? 0 ,两个零点;
(ⅴ) 0 ? a ?

1 时, h ? a ? ? a ? 2a ?1? ? 0 ,一个零点. 2

...... 12 分

综上, (ⅰ) a ? ?5 ? 2 6 或 a ? 0 时, y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像的公共点有 2 个; (ⅱ) a ? ?5 ? 2 6 或 a ? 0 时, y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像的公共点有 3 个; (ⅲ) ?5 ? 2 6 ? a ? 0 时, y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像的公共点有 4 个. ...... 14 分

-END-


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