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基本不等式学案


基本不等式学案
目标: (1)掌握基本不等式 (2)注意使用基本不等式的条件与注意点 过程: 一、引入:图一是在北京召开的第 24 届数学家大会的会标,会标是根据我国古代数学家赵 爽的“弦图”设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,我们把“风车”造型抽象成图二

图一 思考 1:这个“风车”中含有哪些的几何图形? 思考 2:这些几何图形的面积有什么关

系呢? 1、正方形的面积 S=_______. 2、.四个全等 Rt 三角形的面积和 S’ =_______. 3、S 与 S’有什么样的关系? 4、S 与 S’有相等的情况吗?何时相等?

图二

二、重要不等式:对任意的实数 a , b , a ? b ? 2 ab ,当且仅当_________等号成立
2 2

注:如果 a ? 0, b ? 0 ,用 a , b 代替 a , b ,上式可变为_____________ 三、基本不等式:当 a , b ? R , a b ? 证明:
?

a?b 2

,当且仅当 a ? b 等号成立

探究:如图,AB 是圆 o 的直径,Q 是 AB 上任一点, AQ=a,BQ=b,过点 Q 作垂直于 AB 的弦 PQ,连 AP,BP。 PQ=__________, PO=____________ 你能利用这个图形,得到基本不等式的几何解释吗?

基本不等式:当 a , b ? R , a b ? 注 1: a b 叫做几何平均数,

?

a?b 2

,当且仅当 a ? b 等号成立

a?b 2

叫做算术平均数

注 2:基本不等式经常如下使用:
(1) a ? b ? 2 a b ?????( 2 ) a b ? ( a?b 2 )
2

( a , b? R, 当 且 仅 当

?

a 时取到等号) ? b

注 3:两个正数, 积为定值,则和有最小值;和为定值,则积有最大值。 四、例题演示: 例 1 已知 x ? 0 ,则函数 y ? x ?
4 x

的最小值为__________
4 x

变式 1:已知 x ? 0 ,则函数 y ? x ? 变式 2:已知 x ? 3 ,则函数 y ? x ? 变式 3:已知 x ? 3 ,则函数 y ? x ?

有最_____值,为___________
4

x?3 4 x

的最小值为__________

的最小值为__________

解题感悟:

练一练: 1.(1)若 正 数 m , n 满 足 m ? n ? 6, 则 m n 有 最 (2) 若 正 数 m , n 满 足 m n ? 6, 则 m ? 3 n 有 最
值 值 ,此时m ? ,此时m ? ,n ? ,n ? .

2:已 知 0 ? x ? 1, 求 函 数 y ? x (1 ? x )的 最 大 值
变式:知0 ? x ? 1 2 , 求 函 数 y ? x (1 ? 2 x )的 最 大 值 ;

五、课堂小结


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