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2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练:第33讲《等差、等比数列的综合应用》 Word版含解析


第33讲

等差、等比数列的综合应用

1.(2013· 三明市上学期联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2、a4 是方程 x2-x-2=0 的两个根,S5=( A ) 5 A. B.5 2 5 C.- D.-5 2 ?a1+a5?×5 5 解析:a2、a4 是方程 x2-x-2=0 的两个根,a2+a4=1,S5= = ,故

选 A. 2 2 2.(2013· 石家庄市质检)已知各项均为正数的等比数列{an}, a1· a9=16, 则 a2· a5· a8 的值( D ) A.16 B.32 C.48 D.64 解析:等比数列{an},a1· a9=a2· a8=a2 a3· a8= 5=16,各项均为正数,所以 a5=4,所以 a2· 3 3 a5=4 =64,即 a2· a5· a8 的值为 64,故选 D. 3.(2012· 山西省大同市高三学情调研)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S3=9, S6=36, 则 a7+a8+a9=( D ) A.9 B.16 C.36 D.45 解析:由等差数列的性质可知 a7+a8+a9=2(S6-S3)-S3=2×27-9=45,故选 D. 4.(2013· 长春市调研测试)等差数列{an}的公差为 3, 若 a2, a4, a8 成等比数列, 则 a4=( C ) A.8 B.10 C.12 D.16 解析:令首项为 a, 根据条件有(a+9)2=(a+3)(a+21)?a=3, a4=3+3×3=12,故选 C. 5.(2013· 湖南省长沙市第二次模拟)在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=60,则 a7 +a8= 240 . 解析:由等比数列性质知 a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8 成等比数列,由已知条件知公 比为 2, 所以 a7+a8=(a1+a2)· q3=30×23=240. 6.(2012· 温州十校联合体期末联考)已知 1,a1,a2,9 成等差数列,1,b1,b2,b3,9 成等比 数列,且 a1,a2,b1,b2,b3 都是实数,则(a2-a1)b2= 8 . 8 解析:由 1,a1,a2,9 成等差数列,可得 a2-a1= , 3 由 1,b1,b2,b3,9 成等比数列, 可得 b2>0,且 b2=3,所以(a2-a1)b2=8. 1 7.(2012· 浙江杭州市七校联考)已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若{ }为等差数列, an+1 1 则 a11= . 2 1 1 1 解析:由等差数列的性质知 , , 成等差数列, a3+1 a7+1 a11+1 2 1 1 则 = + , a7+1 a3+1 a11+1 2 1 1 1 即 = + ,解得 a11= . 2 1+1 2+1 a11+1 8.(2012· 金华十校期末联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为 14,且 a1, a3,a7 恰为等比数列{bn}的前三项. (1)分别求数列{an},{bn}的前 n 项和 Sn,Tn; SnTn (2)记为数列{anbn}的前 n 项和为 Kn,设 cn= ,求证:cn+1>cn(n∈N*). Kn
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? ?4a1+6d=14 解析:(1)设公差为 d,则? , 2 ??a1+2d? =a1?a1+6d? ? 解得 d=1 或 d=0(舍去),a1=2, n?n+3? + 所以 an=n+1,Sn= ,bn=2n,Tn=2n 1-2. 2 (2)因为 Kn=2· 21+3· 22+…+(n+1)· 2n,① + 2 3 n 故 2Kn=2· 2 +3· 2 +…+n· 2 +(n+1)· 2n 1,② ①-②,得 + -Kn=2· 21+22+23+…+2n-(n+1)· 2n 1, n SnTn ?n+3??2 -1? + 所以 Kn=n· 2n 1,则 cn= = , + Kn 2n 1 + + ?n+4??2n 1-1? ?n+3??2n-1? 2n 1+n+2 cn+1-cn= - = >0, + + + 2n 2 2n 1 2n 2 所以 cn+1>cn(n∈N*). 9.等差数列{an}是递增数列,前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比数列,S5=a2 5. (1)求数列{an}的通项公式; n2+n+1 (2)若数列{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 99 项的和. an· an+1 解析:(1)设数列{an}的公差为 d(d>0). 因为 a1,a3,a9 成等比数列,所以 a2 3=a1a9, 2 2 所以(a1+2d) =a1(a1+8d),所以 d =a1d. 因为 d>0,所以 a1=d.① 5×4 因为 S5=a2 · d=(a1+4d)2.② 5,所以 5a1+ 2 3 由①②解得 a1=d= . 5 3 3 3 所以 an= +(n-1)× = n(n∈N*). 5 5 5 2 n +n+1 (2)bn= 3 3 n·?n+1? 5 5 2 25 n +n+1 = · 9 n?n+1? 25 1 1 = (1+ - ). 9 n n+1 所以 b1+b2+b3+…+b99 25 1 1 1 1 1 1 1 = (1+1- +1+ - +1+ - +…+1+ - ) 9 2 2 3 3 4 99 100 25 1 = (99+1- ) 9 100 =275+2.75=277.75.

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