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江苏省扬州市2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题


2014—2015 学年度第一学期江苏省扬州市高二数学期末调研测试试题 2015.1
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , 样本平 均数. 棱柱的体积 V ? Sh ,其中 S

为底面积, h 为高;棱锥的体积 V ? , xn 的方差: s 2 ?
2 2 1? x1 ? x ? x2 ? x ? ? n?

?

? ?

?

2 ? xn ? x ? ,其中 x 为 ? ?

?

?

1 Sh ,其中 S 为底面积, 3

h 为高.
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.命题“若 x ? 0 ,则 x 2 ? 0 ”的否命题是 ▲ .
Read x If x ?1 Then y ? 2x ?1 Else y ? x3 End If Print y
第(2)题图

2.右图给出的是一个算法的伪代码,若输入值为 2, 则y= ▲ .

3.取一根长度为 30cm 的绳子,拉直后在任意位置剪断,
那么剪得两段的长都不小于 10cm 的概率为 ▲ .

1 2

4788 01
开始
第(4)题图

4.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了 该运动员在 6 场比赛中的得分,用茎叶图表示如图,则该 组数据的方差为 ▲ . 5.如右图,该程序运行后输出的结果为 ▲ .

a ? 1, b ?1 b ? 2b
6.若正四棱锥的底面边长为 2 3cm ,体积为 4cm3 , 则它的侧面积为
2



cm 2 .

a ? a ?1 a?3
N 输出 b
第(5)题图

Y

7.已知抛物线 y ? 8 x 的焦点恰好是双曲线 右焦点,则双曲线的渐近线方程为

x y ? ? 1的 2 a 3
▲ .

2

2

结束 8.从集合 {?1,1, 2} 中随机选取一个数记为 m ,从集合 {?1, 2} 中随机选取一个数记为 n ,则

1

方程

x2 y 2 ? ? 1 表示双曲线的概率为 m n



.

1 ▲ . x ? cos x, x ? [0, 2? ] 的单调减区间为 2 10.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 ▲ .
9.函数 y ? (填写所有正确命题的序号) ①m ? ? ,n ? ? ,m ? n ? ? ? ? ;

? , m ? ? , l m ? A , l // ? , m // ? ? ? // ? ; ③ l // ? , m // ? , ? // ? ? l // m ; ④? ? ? ,? ? ? m,n ? m ? n ? ? .
②l ? 11.设 f ( x) ? ▲ 12.已知双曲线

ex ,其中 a 为正实数,若 f ( x) 为 R 上的单调函数,则 a 的取值范围为 1 ? ax 2
.

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点为 F1 , F2 ,其上一点 P 满足 PF1 ? 5PF2 ,则 16 9
▲ .

点 P 到右准线的距离为

13.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 3 ,且 f ( x) 的导数 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,则不等式

f (2 x) ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 的解集为
14.已知椭圆



.

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F1 (1, 0) ,离心率为 e .设 A,B 为椭圆上关

于原点对称的两点, AF1 的中点为 M, BF1 的中点为 N,原点 O 在以线段 MN 为直径的 圆上.设直线 AB 的斜率为 k,若 0 ? k ?

3 ,则 e 的取值范围为



.

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本题满分 14 分) 如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1C1C 是菱形, AC1 与 A1C 交于点 O ,E 是 AB 的中点. 求证: (1) OE // 平面 BCC1 B1 ; (2)若 AC1 ? A1 B ,求证: AC1 ? BC .

A1 B1 O

C1

A E
16. (本题满分 14 分)

C B
第(15)题图

已知命题 p :实数 x 满足 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ;命题 q:实数 x 满足 | x ? 2 |? m( m ? 0) .
2

(1)当 m ? 3 时,若“ p 且 q ”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若“非 p ”是“非 q ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 17. (本题满分 15 分) 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动,随机对该市 18~68 岁的人群抽取 一 个 容 量 为
n

的 样 本 , 并 将 样 本 数 据 分 成 五 组 :

,再将其按从左到右的顺序分别编号为第 1 组, [18, 28),[28, 38),[38, 48),[48, 58),[58, 68) 第 2 组, ,第 5 组,绘制了样本的频率分布直方图;并对回答问题情况进行统计后,结

果如下表所示.

频率 组距

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 18 28
组号 第1组 第2组 第3组 第5组 分组 [18,28) [28,38) [38,48) [58,68)
回答正确 的人数 回 答 正确的人数 占本组的比例

5 18 27

0.5

a
0.9 0.36 0.2

第 4 组 [48,58) 38 48 58 68 年龄(岁)

x
3

(1)分别求出 a , x 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应各 抽取多少人? (3)在(2)的前提下,决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求:所抽取的人 中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率. 18. (本题满分 15 分) 如图,在半径为 10 3cm 的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料 ABCD,其中 点 A、B 在直径上,点 C、D 在圆周上,将所截得的矩形铁皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母 线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗) ,记圆柱形罐子的体积为 V (cm ) . (1)按下列要求建立函数关系式: ①设 AD ? x cm ,将 V 表示为 x 的函数; ②设 ?AOD ? ? ( rad ) ,将 V 表示为 ? 的函数; A (2)请您选用(1)问中的一个函数关系,求圆柱形罐子的最大体积. 19. (本题满分 16 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,左焦点为 F1 (?1, 0) ,右准线方程为: x ? 4 . (1)求椭圆 C 的标准方程;
3
3

D

C

θ O
第(18)题图

B

(2) 若椭圆 C 上点 N 到定点 M (m, 0)(0 ? m ? 2) 的距离的最小值为 1, 求 m 的值及点 N 的坐标; (3)分别过椭圆 C 的四个顶点作坐标轴的垂线,围成如图所示的矩形,A、B 是所围成的 矩形在 x 轴上方的两个顶点.若 P、Q 是椭圆 C 上两个动点,直线 OP、OQ 与椭圆的 另一交点分别为 P 1 、 Q1 ,且直线 OP、OQ 的斜率之积等于直线 OA、OB 的斜率之积, 试探求四边形 PQPQ 1 1 的面积是否为定值,并说明理由.

y B Q O P1
第(19)题图

P

A x Q1

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 在 x ? 2 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行. (1)求实数 a 的值; (2) 若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 2 x ? x 在 [ ,2] 上恰有两个不相等的实数根, 求实数 m 的
2

1 2

取值范围; (3)记函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx ,设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 2

b?

3 ,且 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? k 恒成立,求实数 k 的最大值. 2

4

扬州市 2014—2015 学年度第一学期期末调研测试试题

高 二 数 学 参 考 答 案
1. 若x ? 0, 则 x2 ? 0 7. y ? ? 3 x 11. 0 ? a ? 1 12. 8. 2. 8 3.

2015.1 5. 4 10.② 6. 8 3

1 2

9. (

? 5?
6 , 6

1 3

4. 5

) (区间写开闭都对)

8 5

13. ( , ??)

1 2

14. [ 3 ? 1,1)

15.证明: (1) 连结 BC1 . ∵侧面 AA1C1C 是菱形, AC1 与 A1C 交于点 O ∵E 是 AB 的中点 ∴ OE // BC1 ; ∴ O 为 AC1 的中点

A1 B1 O

C1

??????3 分 ∴ OE // 平面 BCC1 B1 ??????7 分

∵ OE ? 平面 BCC1 B1 , BC1 ? 平面 BCC1 B1

A E B

C

(2)∵侧面 AA1C1C 是菱形 ∵ AC1 ? A1 B ,

∴ AC1 ? A1C

A1C

A1 B ? A1 , A1C ? 平面 A1 BC , A1 B ? 平面 A1 BC
??????12 分 ∴ AC1 ? BC . ??????14 分 ??????3

∴ AC1 ? 平面 A1 BC ∵ BC ? 平面 A1 BC

16.解: (1)若 p 真: ?2 ? x ? 4 ;当 m ? 3 时,若 q 真: ?1 ? x ? 5 分 ∵ p 且 q 为真 ∴?

??2 ? x ? 4 ? ?1 ? x ? 5

∴实数 x 的取值范围为: [?1, 4]

??????7

分 (2) ∵ ?p 是 ?q 的必要不充分条件 ∴ p 是 q 的充分不必要条件 ??????10 分 ∵若 q 真: 2 ? m ? x ? 2 ? m

?2 ? m ? ?2 且等号不同时取得 (不写“且等号不同时取得” ,写检验也可) ?4?2?m ∴m ? 4. ??????14 分 17.解: (1)第 1 组人数 5 ? 0.5 ? 10 ,所以 n ? 10 ? 0.1 ? 100 , ??????2
∴? 分 第 2 组频率为: 0.2 ,人数为: 100 ? 0.2 ? 20 ,所以 a ? 18 ? 20 ? 0.9 , ??4 分 第 4 组人数 100 ? 0.25 ? 25 ,所以 x ? 25 ? 0.36 ? 9 , ??????6 分 (2)第 2,3,4 组回答正确的人的比为 18 : 27 : 9 ? 2 : 3 : 1 ,所以第 2,3,4 组每组应各依次抽 3 取 人 , 人 , 1 2
5

人 ??????9 分 (3)记“所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖”为事件 A,抽取的 6 人中,第 2 组 的设为 a1 , a2 ,第 3 组的设为 b1 , b2 , b3 ,第 4 组的设为 c , 则从 6 名幸运者中任取 2 名的所有可能的情况有 15 种,它们是: (a1 , a2 ) ,(a1 , b1 ) ,(a1 , b2 ) ,(a1 , b3 ) ,(a1 , c) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 ) ,(a2 , b3 ) ,(a2 , c) , ??????11 分 (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b1 , c) , (b2 , b3 ) , (b2 , c) , (b3 , c) . 其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种,他们是: (a1 , a 2 ) ,(a1 , b1 ) ,(a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , ?????? (a1 , c) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 ) ,(a2 , b3 ) ,(a2 , c) . 13 分

? P( A) ?

9 3 ? . 15 5
3 . 5

???14 分 ??????15 分

答:所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为 18.解: (1)① AB ? 2 (10 3) ? x ? 2? r , r ?
2 2

300 ? x 2

?



V ? f ( x) ? ? (
4分

300 ? x 2

?

)2 ? x ?

1

?

(? x 3 ? 300 x) , ( 0 ? x ? 10 3 )

??????

② AD ? 10 3 sin ? , AB ? 20 3 cos ? ? 2? r , r ?

10 3 cos ?

?



10 3 cos ? 2 3000 3 ? V ? g (? ) ? ? ( ( 0 ? ? ? )??? ) ? 10 3 sin ? ? sin ? cos 2 ? , ? ? 2
8分 (2)选用 f ( x) : f '( x) ? ?

3

?

( x 2 ? 100) ? ?

3

?

( x ? 10)( x ? 10) , 0 ? x ? 10 3 ,
??????10 分

令 f '( x) ? 0 ,则 x ? 10 列表得:

x
f '( x)
f ( x)

(0,10)

10 0
极大值

(10,10 3)

?
单调增

?
单调减 ??????13 分

(不列表,利用导函数的符号,判断出单调性同样得分)

? f ( x) max ? f (10) ?

2000

?
6

选用 g (? ) :令 t ? sin ? , 0 ? ? ?

?
2

, 0 ? t ? 1 , h(t ) ?

3000 3

?

t (1 ? t 2 )

? h '(t ) ?

3000 3

?

(?3t 2 ? 1) ? ? 3 3

9000 3

?

(t ?

3 3 )(t ? ), 3 3
??????

令 h '(t ) ? 0 ,则 t ? 10 分 列表得:

t
h '(t )

(0,

3 ) 3

3 3

(

3 ,1) 3

?
单调增

0
极大值

?
单调减 ??????13 分

h(t )

? h(t ) max ? h(

3 2000 2000 ,即 g (? ) max ? )? 3 ? ?

??????15 分

(对 g (? ) 直接求导求解也得分, g '(? ) ? 答:圆柱形罐子的最大体积为

3000 3 cos ? (1 ? 3 sin ? )(1 ? 3 sin ? )

?



2000

?



19.解: (1)设椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

? c ?1 ? ?a ? 2 由题意得: ? a 2 ,解得: ? , c ? 1 ? 4 ? ? ?c
∴ b 2 ? 3 ,∴椭圆的标准方程: ( )

??????2 分

x2 y2 ? ? 1; 4 3


??????4 分

2

N ( x, y )





MN 2 ? ( x ? m ) 2 ? y 2 ? (x ? m ) 2? 3(1 ?
对称轴: x ? 4m , ?2 ? x ? 2

x2 1 ? ) x 2? mx 2 ?m 2 ? 4 4

3

??????6 分
7

①当 0 ? 4m ? 2 ,即 0 ? m ? 解得: m 2 ?

1 , x ? 4m 时, MN 2 min ? ?3m 2 ? 3 ? 1 , 2

2 1 ??????8 分 ? ,不符合题意,舍; 3 4 1 ②当 4m ? 2 ,即 ? m ? 2 , x ? 2 时, MN 2 min ? m 2 ? 4m ? 4 ? 1 , 2 1 解得: m ? 1 或 m ? 3 ; ? m ? 2 ? m ? 1; 2
综上: m ? 1 , N (2, 0) ; ??????10 分

(3) 由题意得: 四条垂线的方程为 x ? ?2 , y ? ? 3 , 则 A(2, 3) ,B (?2, 3) ∴ kOA ? kOB ? ?

3 4

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则

y1 y2 3 ? ? ①, PQ ? x1 x2 4
2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 .

∵点 P 、 Q 在椭圆 C 上 ∴ y1 ? 3(1 ?

x12 x2 ) , y2 2 ? 3(1 ? 2 ) 4 4

平方①得: 9 x12 x2 2 ? 16 y12 y2 2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 2 ) ,即 x12 ? x2 2 ? 4 .?????12 分 ①若 x1 ? x2 ,则 P 、 P 1 、 Q 、 Q2 分别是直线 OA 、 OB 与椭圆的交点,∴四个点的坐标 为:

( 2,

6 6 6 6 ) , ( 2, ? ) , (? 2, ) ∴四边形 PQPQ ) , (? 2, ? 1 1 的面积为 4 3 ; 2 2 2 2
y2 ? y1 ( x ? x1 ) ,化简得: x2 ? x1

②若 x1 ? x2 ,则直线 PQ 的方程可设为: y ? y1 ?

( y2 ? y1 ) x ? ( x2 ? x1 ) y ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 ,
所以 O 到直线 PQ 的距离为 d ?

| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2



?????????14 分

所以 △OPQ 的面积 S ?

1 1 1 PQ ? d ? | x1 y2 ? x2 y1 |? x12 y2 2 ? 2 x1 x2 y1 y2 ? x2 2 y12 2 2 2

?

x2 x2 1 3 1 1 3 x12 (1 ? 2 ) ? x12 x2 2 ? 3 x2 2 (1 ? 1 ) ? 3( x12 ? x2 2 ) ? 3? 4 ? 3 . 2 4 2 4 2 2

根据椭圆的对称性,故四边形 PQPQ 1 1 的面积为 4 S ,即为定值 4 3 . 综上:四边形 PQPQ 1 1 的面积为定值 4 3 .
8

???????16 分

20.解: (1) f '( x) ?

1 ?a x

?????????2 分 ∴k ?

∵函数在 x ? 2 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行 解得: a ? 1 ;
2

1 1 ?a?? , 2 2

?????????4 分

(2)由(1)得 f ( x) ? ln x ? x ,∴ f ( x) ? m ? 2 x ? x ,即 x 2 ? 3 x ? ln x ? m ? 0 设 h( x) ? x ? 3 x ? ln x ? m( x ? 0) ,
2

1 2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) 则 h '( x) ? 2 x ? 3 ? ? ? x x x
令 h '( x) ? 0 ,得 x1 ?

x
h '( x)

1 2
0 极大值

1 , x 2 ? 1 , 列表得: 2 1 ( ,1) 1 2
- 0 极小值

(1,2) +

2

h( x )

m ? 2 ? ln 2

∴当 x ? 1 时, h( x) 的极小值为 h(1) ? m ? 2 ,

5 ?????????7 分 ? ln 2, h(2) ? m ? 2 ? ln 2 4 1 2 ∵方程 f ( x) ? m ? 2 x ? x 在 [ ,2] 上恰有两个不相等的实数根, 2
又 h( ) ? m ?

1 2

?h( 1 ) ? 0, ?m ? 5 ? ln 2 ? 0, ? 2 ? 4 5 ? ? ∴ ? h(1) ? 0, 即 ? m ? 2 ? 0, 解得: ? ln 2 ? m ? 2 ; 4 ?h(2) ? 0, ?m ? 2 ? ln 2 ? 0, ? ? ? ?
(也可分离变量解) (3)解法(一) ?????????10 分

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 1 2 ∵ g ( x) ? ln x ? x ? (b ? 1) x ,∴ g '( x) ? ? x ? (b ? 1) ? x x 2
∴ x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 , ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln

x1 1 2 ? ( x1 ? x2 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) x2 2

? ln

x1 1 x x x 1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 1 x ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) x2 2 x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1
9

0 ? x1 ? x2

设t ?

x1 1 1 ,则 0 ? t ? 1 ,令 G (t ) ? ln t ? (t ? ) , 0 ? t ? 1 2 t x2

则 G '(t ) ? ∵b ?

1 1 1 (t ? 1) 2 ? (1 ? 2 ) ? ? ? 0 ,∴ G (t ) 在 (0,1) 上单调递减; ???12 分 t 2 t 2t 2

3 25 ,∴ (b ? 1) 2 ? 2 4
2 2

∵ (b ? 1) ? ( x1 ? x2 ) ? ∴t ?

x12 ? 2 x1 x2 ? x2 2 x x 1 ? 1 ?2? 2 ?t? ?2 x1 x2 x2 x1 t

1 25 1 ∴ 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0 ∴ 0 ? t ? ?????????14 分 ?2? t 4 4 1 1 15 15 ∴当 t ? 时, G (t ) min ? G ( ) ? ? 2 ln 2 ∴ k ? ? 2 ln 2 4 4 8 8 15 ?????????16 分 ? kmax ? ? 2 ln 2 . 8
解法(二)

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 1 2 ∵ g ( x) ? ln x ? x ? (b ? 1) x ,∴ g '( x) ? ? x ? (b ? 1) ? x x 2
?x ? 1 ? 5 1 ? x1 2 ? ∴ ? ?0 ? x ? 1 1 ? x1 ?
?????????12 分

∴ x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 , ∴ x2 ?

1 x1

∵b ?

3 2

解得: 0 ? x1 ?

1 2

∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln

x1 1 2 1 1 ? ( x1 ? x2 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2 ln x1 ? ( x12 ? 2 ) x2 2 2 x1

设 F ( x) ? 2 ln x ?

2 1 ?( x 2 ? 1) 2 1 2 1 1 ?0 ( x ? 2 )(0 ? x ? ) ,则 F '( x) ? ? x ? 3 ? x x x3 2 x 2
?????????14 分 ∴k ?

∴ F ( x) 在 (0, ] 上单调递减; ∴当 x1 ?

1 2

? kmax

1 1 15 时, F ( x) min ? F ( ) ? ? 2 ln 2 2 2 8 15 ? ? 2 ln 2 . 8

15 ? 2 ln 2 8
?????????16 分

10

11


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