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2015年秋北师大版数学必修二第一章立体几何初步第7节:球


§7 简单几何体的再认识 7.3 球 问题 引航 1.球的表面积公式和体积公式是什么?它们各具 有什么特点? 2.如何求与球有关的组合体的表面积和体积? 1.球的截面 圆 有以下 用一个平面α 去截半径为R的球O的球面得到的是___. 性质: O 为圆心的球的大圆. (1)若平面α 过球心O,则截线圆是以__ (2)若平面α 不过球心O,如图,设 OO′⊥α ,垂

足为O′,记OO′=d, 对于平面α 与球面的任意一个公共 点P,都满足OO′⊥O′P,则有O′P= R 2 ? d 2 ,即此时截线 O′ 为圆心,以r= R 2 ? d2 为半径的球的小圆. 圆是以____ 2.球的切线 唯一 公共点的直线叫做球的切线. (1)定义:与球只有_____ 如图,l为球O的切线,M为切点. (2)性质:①球的切线垂直于过切点的半径; 相等 ②过球外一点的所有切线的长度都_____. 如图,PA,PB为从点P引到球O的切线, 则PA=PB. ③从球外一点引球的切线,切线与圆面 圆锥 O′构成一个_____. 3.球的表面积与体积公式 前提条件 表面积公式 体积公式 球的半径为R 4π R2 S=_____ 4 3 V= ?R 3 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)决定球的表面积与体积的关键量是球的半径.( ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径. ( (3)球的表面积和体积与半径之间存在函数关系.( ) ) 【解析】(1)正确.因为球的表面积与体积只与球的半径有关. (2)正确.球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆,大圆 的半径等于球的半径. (3)正确.从公式看,球的表面积和体积只与球的半径有关,给 定R都有惟一确定的S和V与之对应,故表面积和体积是关于R的 函数. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)过球面上两点可能作出的球的大圆有________个. (2)两个球的半径之比为1∶2,则这两个球的表面积之比为 ________. (3)球的表面积与体积的比是________.(R为球的半径) 【解析】(1)当球面上两点不在一条直径上时,可能作出球的 大圆只有一个,若在直径上,则有无数个. 答案:一或无数 (2)由S=4πr2知,若半径之比为1∶2,则表面积之比为1∶4. 答案:1∶4 (3)4πR2∶ 4 πR3= 3 . 答案:3 3 R R 【要点探究】 知识点1 球的表面积与体积 1.正确认识球的表面积与体积公式 (1)从公式看,球的表面积和体积的大小,只与球的半径有关, 给定R都有惟一确定的S,V与之对应,所以球的表面积和体积 都是关于半径R的函数,因此要求球的表面积或体积,关键是 确定球的半径. (2)球的表面不能展开成平面,所以球的表面积公式的推导与 前面所学的多面体与旋转体的体积公式的推导方法是不一样的 . 我们只需记住公式即可. (3)球的表面积恰好是球大圆面积的4倍. 2.计算球的表面积和体积时的关键及要注意的问题 (1)关键是计算球的半径,而计算半径的关键是寻找球心的位 置.因此,在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心位置, 球面上的点等信息. (2)注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积或 体积时,也可以求出球的半径. 【微思考】 (1)两个半径不相等的球,体积会相等吗? 提示:不会相等,由球的体积公式可知. (2)顶点都在球上的长方体的对角线与球的直径有何关系?

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