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吉林省长春市普通高中2015届高三质量监测(三)数学理 (4)


吉林省长春市普通高中高三质量监测(三) 数学理
一、选择题 1. 已知集合 A ? {x ?1≤ x ≤1} , B ? {x x 2 ? 2 x ≤ 0} ,则 A ? B ? ( A. [?1, 0] 2. 3. B. [?1, 2] )

4.

5.

C. [0,1] D. (??,1] ? [2,

??) 2 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 ? z 2 =( ) z A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i 已知 a ? 1, b ? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为( ) ? ? ? 2? A. B. C. D. 3 6 4 3 2 2 已知 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? c2 ? bc , bc ? 4 ,则 ?ABC 的面积为( ) 1 A. B. 1 C. 3 D. 2 2 已知 a ???2,0,1,3,4? , b ??1, 2? ,则函数 f ( x) ? (a2 ? 2) x ? b 为增函数的概率是 (
2 A. 5

) B.
3 5

C.

1 2

D.

3 10
11 , 则 12

6. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序. 若输出的 S 为 判断框中填写的内容可以是( ) A. n ? 6 B. n ? 6 C. n ≤ 6 D. n ≤ 8

7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某多面体的 三视图,则该多面体的体积为( ) 32 64 32 3 A. B. 64 C. D. 3 3 3

?x ? 4 y ? 4 ≤ 0 ? 8. 在平面直角坐标系中,若 P( x, y ) 满足 ?2 x ? y ? 10 ≤ 0 ,则 x ? 2 y 的最大值是 ?5 x ? 2 y ? 2 ≥ 0 ?

( ) A. 2 B. 8 C. 14 D. 16 2 9. 已 知直线 y ? 2 2( x ?1) 与抛物线 C : y ? 4 x 交于 A, B 两点,点 M (?1, m) , 若

MA ? MB ? 0 ,则 m ? (



1

1 2 C. D. 0 2 2 10. 对定义在 [0,1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x) 称为 M 函数: (i) 对任意的 x ? [0,1] ,恒有 f ( x) ≥ 0 ; (ii) 当 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 ? x2 ≤1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ≥ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 则下列四个函数中不 是 M 函数的个数是( ) .

A.

2

B.

① f ( x) ? x2 ② f ( x) ? x2 ? 1 ③ f ( x) ? ln( x2 ? 1) ④ f ( x) ? 2x ?1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 2 x y 11. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与函数 y ? x 的图象交于点 P , 若函数 y ? x a b 的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F (?1, 0) ,则双曲线的离心率是( ) 3 5 ?1 5?2 3 ?1 A. B. C. D. 2 2 2 2 x ? y ?2 x ? y ?2 ?e ? 2 恒成立,则实数 a 的最大值是 12. 若对 ?x, y ?[0, ??) ,不等式 4ax ≤ e ( ) 1 1 A. B. 1 C. 2 D. 4 2 二、填空题 ? 1 3 13. 函数 y ? sin x ? cos x ( x ? [0, ] )的单调递增区间是__________. 2 2 2 1 14. ( x ? )6 的展开式中常数项为__________. 2x 15. 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,且 f (1) ? 0 ,则不等式 f ( x ? 2) ≥ 0 的解集是__________. 16. 底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图,半球内 4 2 有一内接正四棱锥 S ? ABCD ,该四棱锥的体积为 ,则该半 3 球的体积为 . 三、解答题. 17. 已 知 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , 其 前 n 项 的 和 为 Sn , 且 满 足
an ? 2 S n 2 ( n ≥ 2) . 2Sn ? 1

?1? ⑴ 求证:数列 ? ? 是等差数列; ? Sn ?

⑵ 证明:当 n ≥ 2 时, S1 ? S2 ? S3 ? ... ? S n ? .

1 2

1 3

1 n

3 2

2

18. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB= 60? ,PD⊥平面 ABCD, PD=AD=1,点 E , F 分别为 AB 和 PD 中点. ⑴ 求证:直线 AF // 平面 PEC ; P ⑵ 求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.
F

D

C

A

E

B

19. 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人 投 10 次,投中的次数统计如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 ⑴ 从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明); ⑵ 若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的 1 号和 2 号同学分别代 表自己的班级参加比赛,每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分 别记作 X 和 Y ,试求 X 和 Y 的分布列和数学期望.

3

20、椭圆 E :

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,且经过点 ( 3 , ) 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 经过点 P(?2,0) 分别作斜率为 k 1 、k2 的两条直线, 两直线分别交椭圆 E 交于 M 、
N 两点,当直线 MN 与 y 轴垂直是,求 k1 ? k 2 的值。

21、已知函数 f ( x) ? e1?x (2ax ? a 2 ) (其中 a ? 0 ) 。 (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 (2,??) 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f ( x) 的最大值为 g (a) ,当 a ? 0 时,求 g (a) 的最大值。

4

? x ? 3 ? 2 cos? 20. 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ? ⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; ⑵ 已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y) ,求 ?ABM 面积的最大值.

21. ⑴ 已知 a , b 都是正数,且 a ? b ,求证: a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ; ⑵ 已知 a, b, c 都是正数,求证:
a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ≥ abc . a?b?c

5

长春市普通高中高三质量监测(三) 数学(理科)参考答案及评分参考 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. C 7. D 8. C 9. B 10. A 11. A 12. D. 简答与提示: 1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算,是一道常规问题. 【试题解析】C ∵ B ? [0, 2] ,∴ A ? B ? [0,1] ,故选 C. 2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,特别是复数的除法和平方运算, 对考生的运算求解能力有一定要求. 2 ? (1 ? i ) 2 ? 1 ? i ? 2i ? 1 ? i ,故选 A. 【试题解析】A ∵ z ? 1 ? i ,∴ 1? i 3. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运 算,特别突出对平面向量运算律的考查,另外本题也对考生的分析判断能力进行 考查. 【试题解析】B ∵ a ? (a ? b) ,∴ a ? (a ? b) ? a 2 ? a ? b ? 0 ,∴ a ? b ? a 2 ,∵

a ? 1, b ? 2 ,∴ cos ? a, b ??

a ?b a2 2 ,∴向量 a 与向量 b 的夹角为 ? ? | a || b | | a || b | 2

4.

5.

6.

7.

? ,故选 B. 4 【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积的 求法,对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求. ? 1 【试题解析】C ∵ a2 ? b2 ? c2 ? bc ,∴ cos A ? ,∴ A ? ,又 bc ? 4 ,∴ ?ABC 3 2 1 的面积为 bc sin A ? 3 ,故选 C. 2 【命题意图】本小题通过一次函数的单调性和系数的关系,考查古典概型的理解 和应用,是一道综合创新题. 【试题解析】B ∵ f ( x) ? (a2 ? 2) x ? b 为增函数,∴ a 2 ? 2 >0, 又 a ???2,0,1,3,4? ,∴ a ???2,3,4? ,又 b ??1, 2? , 3 ∴函数 f ( x) ? (a2 ? 2) x ? b 为增函数的概率是 ,故选 B. 5 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力,同时考 查学生对算法思想的理解与剖析. 1 1 1 11 【试题解析】C ∵ ? ? ? ,因此应选择 n ? 6 时满足, 2 4 6 12 而 n ? 8 时不满足的条件∴ n ? 6 ,故选 C. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题,并且对考生的空间想象 能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查,同时考查简单几何体的体积公 式. 【试题解析】D 由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三 64 条棱两两垂直,长度都为 4, ∴其体积为 ,故选 D. 3
6

8. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标 函数的几何意义,是线性规划的一种简单应用,对学生的数形结合思想提出一定 要求. 【试题解析】C 根据线性规划的方法可求得最优解为点 (2,6) ,此时 x ? 2 y 的值等 于 14,故选 C. 9. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质. 本 题不但对考生的运算求解能力、推理论证能力有较高要求,而且对考生的化归与 转化的数学思想也有较高要求. 1 【试题解析】B A(2,2 2 ), B( ,? 2 ) ,∵ M (?1, m) ,且 MA ? MB ? 0 ,∴ 2 2 ,故选 B. 2m2 - 2 2m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 2 10. 【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较,另外也可以利用函数在定 义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案,本题对学生的运算求解能力 和数形结合思想提出一定要求. 【试题解析】A (i)在 [0,1] 上,四个函数都满足;(ii) x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 ; 对于①, f ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x12 ? x2 2 ) ? 2x1 x2 ? 0 ,满足; 对于②, f ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [( x1 ? x2 )2 ?1] ? [( x12 ?1) ? ( x22 ?1)] ? 2x1 x2 ? 1 ? 0 ,不满足. 对于③, f ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? ln[(x1 ? x2 ) 2 ? 1] ? [ln(x12 ? 1) ? ln(x2 2 ? 1)]
( x1 ? 1)(x2 ? 1) x1 ? 0, x2 ? 0,?1 ? x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ,∴ x1 x 2 ? 1 ,∴ x1 2 x 2 2 ? 1 x1 x 2 ? 2 x1 x 2 , 4 4 2 2 2 2 ∴ x12 ?2x 2 ?2 2 x1 x 22 ? 1 ? 1 ,∴ ln x12 ?2x 2 ?2 2 x1 x 22 ? 1 ? 0 ,满足; x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? ln[(x1 ? x 2 ) 2 ? 1] ? ln[(x1 ? 1)(x2 ? 1)] ? ln
2 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 1
2 2

? ln

x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ? 1 而 2 2 2 2 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1

2

2

对于④, f ( x1 ? x2 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ?(2 x1 ? x2 - 1)? (2 x1 ? 1 ? 2 x2 ? 1) ? 2 x1 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? 0 ,满足; 故选 A. 11. 【命题意图】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法,结合双曲线 的标准方程与离心率,对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求. 1 【试题解析】A 设 P( x0 , x0 ) ,∴切线的斜率为 , 2 x0 又∵在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F (?1,0) ,∴
x0 1 ? ,解得 x0 ? 1 , 2 x0 x0 ? 1
2

∴ P(1,1) ,因此 2c ? 2,2a ? 5 ? 1 ,故双曲线的离心率是 5 ? 1 ,故选 A; 12. 【命题意图】本小题主要考查基本不等式的应用,以及利用导数求取函数最值的 基本方法,本题作为选择的压轴题,属于较难题,对学生的运算求解能力和推理 论证能力提出一定要求. 【试题解析】D 因为 e x ? y ?2 ? e x ? y ?2 ? 2 ? e x ? 2 (e y ? e? y ) ? 2 ? 2(e x ?2 ? 1) ,再由

7

e x ? 2 ( x ? 1) ? 1 1 ? ex?2 1 ? ex?2 ,令 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? ,可 x x x2 得 g ?(2) ? 0 ,且在 (2,??) 上 g ?( x) ? 0 ,在 [0,2) 上 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 的最小值为 1 g (2) ? 1 ,于是 2a ? 1, 即 a ? ,故选 D. 2 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) ? 5 4 3R 13. [0, ] 14. ? 15. (??,1] ? [3, ??) 16. ? 6 2 3a 简答与提示: 13. 【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取, 属于基本试题.

2(e x ? 2 ? 1) ? 4ax, 可有 2a ?

1 3 ? 【试题解析】∵ y ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) , 2 2 3 5? ? ? ? , 2k? ? ](k ? Z ) ,又 x ? [0, ] ,∴增区间为 [0, ] . ∴函数的增区间为 [2k? ? 6 6 2 6 14. 【命题意图】本小题是二项式定理的简单应用,求取二项展开式中某项的系数是 考生的一项基本技能. 1 1 1 k 6? k k 【试题解析】∵ ( x ? )6 的通项为 Tk ?1 ? C 6 x (? ) k ? (? ) k C 6 x 6 ?2 k ,令 2x 2x 2 5 6 ? 2k ? 0 ,∴ k ? 3 ,故展开式中常数项为 ? ; 2 15. 【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等,同时对考 生的数形结合思想. 【试题解析】由已知 x ? 2 ? 1 或 x ? 2 ? ?1 ,∴解集是 (??,1] ? [3, ??) . 16. 【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算,对考生 的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求,本题是一道 综合题,属于较难题. 【试题解析】设所给半球的半径为 R ,则棱锥的高 h ? R ,底面正方形中有 2 4 2 ,则 R3 ? 2 2 , AB ? BC ? CD ? DA ? 2R ,所以其体积 R 3 ? 3 3

于是所求半球的体积为 V ? 2 ?R 3 ? 4 2 ? .
3 3

三、解答题 17. 解: (1)当 n ? 2 时, Sn ? Sn?1 ?
2 2Sn , Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1 2Sn ? 1

?1? 1 1 ? ? 2 ,从而 ? ? 构成以 1 为首项,2 为公差的等差数列. Sn Sn?1 ? Sn ? 1 1 1 (2)由(1)可知, ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,? Sn ? 2n ? 1 Sn S1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ) ? 当 n ? 2 时, Sn ? n n(2n ? 1) n(2n ? 2) 2 n(n ? 1) 2 n ? 1 n

8

从而 S

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3. ? S2 ? S3 ? ... ? Sn ? 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ? ? 2 3 n 2 2 2 3 n ? 1 n 2 2n 2
P

18.

解: (1)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. 1 1 ∵点 F 为 PD 中点,∴ FM ? CD . ∴ AE ? AB ? FM ,∴AEMF 为 2 2 平行四边形,∴AF∥EM,∵ AF ? 平面PEC,EM ? 平面PEC , ∴直线 AF // 平面 PEC. (2)? ?DAB ? 60? ,? DE ? DC 如图所示,建立坐标系,则 P(0,0,1),C(0,1,0), 1 3 3 3 1 E( ,0,0),A( , ? ,0), B( , , 0) 2 2 2 2 2 ??? ? ??? ? 3 1 ∴ AP ? (? , ,1) , AB ? ? 0,1,0 ? . A 2 2 ? 设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? .

F

M

D

C

z
A

P

E

B

F

D

C

y

E x

B

? 3 ? ??? ? ? ??? ? 1 ? x ? y ? z ? 0 ,取 x ? 1 ,则 z ? 3 ,∴平面 PAB ∵ n ? AB ? 0 , n ? AP ? 0 ,∴ ? ? 2 2 2 ? ?y ? 0

? 3 的一个法向量为 n ? (1, 0, ) . 2
3 ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? n ? PC 2 ∵ PC ? (0,1, ?1) ,∴设向量 n与PC所成角为? ,∴ cos ? ? ? ??? ? ? n PC ?? 42 , 14

7 ? 2 4

42 . 14 19. 解:(1)两个班数据的平均值都为 7,
∴PC 平面 PAB 所成角的正弦值为
2 2 2 2 2 (6-7) +(5-7) +(7-7) +(9-7) +(8-7) =2 , 甲班的方差 s ? 5 2 1 2 2 2 2 2 ) +(8-7) +(9-7) +(7-7) +(7-7) 14 2 (4-7 ? = , 乙班的方差 s2 5 5

2 因为 s12 ? s2 ,甲班的方差较小,所以甲班的成绩比较稳定.

(2) X 可能取 0,1,2 2 1 1 3 1 2 1 1 3 1 3 P ( X ? 0) ? ? ? , P ( X ? 1) ? ? ? ? ? , P( X ? 2) ? ? ? , 5 2 5 5 2 5 2 2 5 2 10 所以 X 分布列为: X 0 1 2 1 1 3 P 5 2 10
9

1 1 3 11 数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 5 2 10 10 Y 可能取 0,1,2 3 1 3 3 4 2 1 14 2 4 8 P(Y ? 0) ? ? ? , P(Y ? 1) ? ? ? ? ? , P(Y ? 2) ? ? ? , 5 5 25 5 5 5 5 25 5 5 25 所以 Y 分布列为: Y 0 1 2 3 14 8 P 25 25 25

数学期望 EY ? 0 ? 20、解析: (Ⅰ)

3 14 8 6 ? 1? ? 2 ? ? . 25 25 25 5

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)由题意知,当 k1 ? 0 时, M 点的纵坐标为 0,直线 MN 与 y 轴垂直,则 N 点的 纵坐标为 0 故 k2 ? k1 ? 0 ,这与 k 2 ? k1 矛盾。 当 k1 ? 0 时,直线 PM : y ? k1 ( x ? 2) ,

? y ? k1 ( x ? 2) 4k1 1 4 ? 由 ? x2 ,得 ( 2 ? 4) y 2 ? 2 y ? 0 ,∴ y M ? 2 k1 k1 1 ? 4k12 ? ? y ?1 ?4
2 2 ? 8k12 4k1 2 ? 8k 2 4k 2 ∴M( , ) ,同理 N ( , ) 2 2 2 2 1 ? 4k1 1 ? 4k1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

由直线 MN 与 y 轴垂直,则

4k1 4k 2 ? 2 2 1 ? 4k1 1 ? 4k 2

2 ∴ 4k1k2 ? 4k2 k12 ? k1 ? k2 ? 0 ? (k2 ? k1 )(4k1k2 ?1) ? 0

1 4 1? x 21、解析: (Ⅰ)由 f ( x) ? e (2ax ? a 2 )

∵ k1 ? k 2 ,∴ 4k1 ? k 2 ? 1 ,即 k1 ? k 2 ?

得 f ?( x) ? e1?x (2ax ? a 2 ) ? 2ae1?x ? ?e1?x (2ax ? a 2 ? 2a) ? 0 ,又 a ? 0 ,故 x ? 1 ?
a a 当 a ? 0 时, f ( x) 在 ( ?? ,1 ? ) 上为增函数,在 (1 ? ,?? ) 上为减函数, 2 2 a ∴ 1 ? ? 2 ,即 a ? 2 ,∴ 0 ? a ? 2 2
10

a , 2

当 a ? 0 时,不合题意 故 a 的取值范围为 (0,2]
? a (Ⅱ)由(Ⅰ)得,当 a ? 0 时 f ( x) max ? f (1 ? ) ? 2a ? e 2 2 a

即 g (a) ? 2a ? e

?

a 2 ? a 2

则 g ?(a) ? (2 ? a)e

? 0 ,得 a ? 2

∴ g (a) 在 (0,2) 上为增函数,在 (2,??) 上为减函数, ∴ g ( x) max ? g (2) ?
4 . e

? x ? 3 ? 2 cos? 22 解: (1)圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ? 所以普通方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 . ? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 . | 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | (2)点 M ( x, y) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 2
1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4 所以 ?ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 3 3 2 2 2 23 解: (1)证明: (a ? b ) ? (a b ? ab ) ? (a ? b)(a ? b) . 因为 a , b 都是正数,所以 a ? b ? 0 . 又因为 a ? b ,所以 (a ? b)2 ? 0 .
?ABM 的面积 S ?

于是 (a ? b)(a ? b)2 ? 0 ,即 (a3 ? b3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? 0 所以 a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ; (2)证明:因为 b2 ? c2 ? 2bc, a2 ? 0 ,所以 a2 (b2 ? c2 ) ? 2a2bc . ① c2 (a2 ? b2 ) ? 2abc2 . ③ 同理 b2 (a2 ? c2 ) ? 2ab2c . ② ①②③相加得 2(a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ) ? 2a2bc ? 2ab2c ? 2abc2 从而 a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ? abc(a ? b ? c) . 由 a, b, c 都是正数,得 a ? b ? c ? 0 ,因此
a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc . a?b?c

11


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