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2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案


第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共 8 题,满分 160 分。 一、 (17 分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体 积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放, 释放时物块的下底面和湖 水表面恰好相接触。已知湖水密度为 ? ;物块边长为 b ,密度为 ? ' ,且 ? ' ? ? 。 在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下,

求物块从初始位置出发往返一次 所需的时间。 解: 由于湖面足够宽阔而物块体积很小,所以湖面的绝对高度在物块运动过程 中始终保持不变, 因此, 可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐 标系,以下简称 x 系. 设物块下底面的坐标为 x ,在物块未完全浸没入湖水时, 其所受到的浮力为 f b ? b2 x ? g (x?b) (1) 式中 g 为重力加速度.物块的重力为 fg ? b3 ??g 设物块的加速度为 a ,根据牛顿第二定律有 (2) b3??a ? fg ? fb 将(1)和(2)式代入(3)式得 a?? (3) ? g ? ?? ? x ? b? ? ?b ? ? ? ? (4) 将 x 系坐标原点向下移动 ? ?b / ? 而建立新坐标系,简称 X 系. 新旧坐标的关系为 X ? x? ?? b ? (5) 把(5)式代入(4)式得 a?? ?g X ? ?b (6) (6)式表示物块的运动是简谐振动. 若 X ? 0 ,则 a ? 0 ,对应于物块的平衡位置 . 由(5)式可知,当物块处于平衡位置时,物块下底面在 x 系中的坐标为 1 x0 ? ?? b ? (7) 物块运动方程在 X 系中可写为 X (t ) ? Acos ??t ? ? ? (8) 利用参考圆可将其振动速度表示为 V (t ) ? ? A?sin ??t ? ? ? (9) 式中 ? 为振动的圆频率 ?? ? g ?' b (10) 在(8)和(9)式中 A 和 ? 分别是振幅和初相位,由初始条件决定. 在物块刚被释放 时,即 t ? 0 时刻有 x = 0 ,由(5)式得 X (0) ? ? ?? b ? (11) (12) V (0) ? 0 由(8)至(12)式可求得 A? ?? b ? (13) (14) ? ?? 将(10)、(13)和(14)式分别代人(8)和(9)式得 X (t ) ? ?? b cos ??t ? ? ? ? (15) V (t ) ? ? ?? gb sin ??t ? ? ? ? (16) 由(15)式可知, 物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期;但物块的运 动始终由(15)表示是有条件的, 那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖 水中. 若物块从某时刻起全部浸没在湖水中,则湖水作用于物块的浮力变成恒 力, 物块此后的运动将不再是简谐振动,物块再次返回到初始位置所需的时间也 就不再全由振动的周期决定. 为此, 必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况. 2 显然,在 x 系中看,物块下底面坐标为 b 时,物块刚好被完全浸没;由(5)式知在 X 系中这一临界坐标值为 ? ?? ? X ? X b ? ?1 ? ? b ? ?? (17) 即物块刚好完全浸没在湖水中时,其下底面在平衡位置以下 X b 处. 注意到在 振动过程中,物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振蝠 A ,下面分两 种情况讨论: I. A ? X b . 由(13)和(17)两式得 ?

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