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2015届第三次联考文数答案


金榜教育· 2015 届安徽省示范高中高三第三次联考 数学(文科)参考答案
一:选择题 1 【答案】C 2 【答案】A 【解析】 x ? 2 时, a ? (1, ?1) , b ? (3,3) , a ? b 。反之不成立, a ? ?2 也可以。故选 A。 3 【答案】B 【解析】 cos ? ? sin ? ? 4 【答案】A 【解析】由 an ?

r />5 12 7 + ? . 13 13 13

n ?1 ? n ? n ?1 ? n , ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n )

所以 a1 ? a2 ?

? an ? ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ?

? ( n ?1 ? n ) ? 5 ,

即 n ? 1 ?1 ? 5 ,即 n ? 1 ? 6 ,解得 n ? 1 ? 36, n ? 35 .选 A. 5 【答案】D 【解析】? T ? ? ?? ? 2 由五点作图法知 2 ? 6 【答案】D 【解析】依题意,函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 对称轴为 x ?

?
3

?? ?

?
2

,? = -

? 6

1 1 , 且在 [ , ?? ) 上为增函数,因为 f (0) ? f (1), 2 2

f (?2) ? f (3) , 1 ? 2 ? 3 ,所以 f (1) ? f (2) ? f (3) ,即 f (0) ? f (2) ? f (?2) 选择 D.
7【答案】A 【解析】特称命题的否定为:对任意实数 x ,都有 x ? x ? 1 ? 0 ,选 A ;
2

8【答案】A 【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ?
0 0 0 0 0 0 0

2? 6 4

由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?
0 0

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4

9【答案】D 【解析】建立如图所示的直角坐标系,则 A? 0,0? , B ? 0,4? , C ? 2,4? , D ? 4,0? , 从而 P ?3,2? ,故 PA ? ? ?3, ?2 ? , PB ? ? ?3, 2 ? ,从而 PA ? PB ? 9 ? 4 ? 5 。 10【答案】D
2 2 【解析】 方法一:k ? 0 时, f ( x) ? kx 在 (k , ??) 上单调递增, 符合题意。 若 k ? 0 则 g ( x) ? (k ? 2) x ? 2kx ? 4

第 1 页 共 4 页

在 (k , ??) 上单调递增,若 k 2 ?2 ? 0, k ? ? 2 ,此时 g ( x) ? 2 2x ? 4 符合题意;若 k 2 ?2 ? 0, 则 k 2 ?2 ? 0, 且

2k ? k ,解得 ? 3 ? k ? ? 2 ,所以 k 的取值范围是 [? 3, ? 2] (0, ??) 。 2(k 2 ? 2)

方法二:求导得 f ' ( x) ? k , g ' ( x) ? 2(k 2 ? 2) x ? 2k ,若 k ? 0 显然符合题意,若 k ? 0 ,当则 2(k 2 ? 2) ? 0 ,即

k ? ? 2 时 g ' ( x) ? 2 2 符合题意,否则 2(k 2 ? 2) ? 0 ,且 g ' (k ) ? 2(k 2 ? 2)k ? 2k ? 0 ,化简得

?2(k 2 ? 2) ? 0 ? 3 ?k ? 3k ? 0 ,解得 ? 3 ? k ? ? 2 ,所以实数 k 的取值范围是 [? 3, ? 2] (0, ??) ,选 D。 ?k ? 0 ?
二:填空题 11【答案】 7
2 2 2 【解析】 | a ? b | ? (a ? b) (a ? b) ? a a ? b b ? 2a b ?| a | ? | b | ?2 | a || b | cos

? ? 7 ?| a ? b |? 7 . 3

12【答案】 e 【解析】 f (0) ? ?2 ,所以 f (0) ? 3 ? 1 , f ( f (0)+3) ? f (1) ? e . 13【答案】

? 3
2 2 2

【解析】由题设及正弦定理 a ? b ? c ? bc ,所以 cos A ? 14【答案】 an ? 2 n

? b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,A? . 3 2bc 2

【解析】由题意得 a2 ? a4 ? 2(a3 ? 2) ,又 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,得 a3 ? 8 , 设等比数列 {an } 的公比为 q ,可得 15【答案】①②③ 三:解答题 16【解】 (1) f ? x ? ? 4cos( x ?

8 ? 8 ? 8q ? 28 ,解得 q ? 2 , a1 ? 2 , an ? 2n 。 q

?
2

)sin(

2? 3 1 ? x) ? 1 ? 4sin x( cos x+ sin x) ? 1 3 2 2
2

所以 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? 所以 f ?x ? 的最小正周期 T ? ? 。 (2)因为 x ? [ ? 所以 sin(2 x ? ……………6 分

?
6

)

?

1 ? ) ? [ ?1, ] .所以 2sin(2 x ? ) ? [ ?2,1] 6 2 6
第 2 页 共 4 页

5? ? , ] 12 6

所以 2 x ?

?

? [ ?? , ] . 6 6

?

………………8 分 ……………10 分 ……12 分

所以函数 f ( x ) 的值域为 [?2,1]

17【解】 (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 解出 a1 ? 7 , d ? ?2 .

? a1 ? 2d ? 3 , ? a1 ? 5d ? ?3

所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 9 .…………6 分

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 8n ? 16 ? (n ? 4) 2 .所以 n ? 4 时, Sn 取到最大值16 .…12 分 2 C CD ? AB 于 D ,则 CD ? b sin A ? 12 ,…………2 分 18【解】 (Ⅰ)过 作 A
(Ⅱ) Sn ? na1 ?

BD ? a cos B ? 5 ,于是 a ? BC ? 52 ? 122 ? 13 。 …………6 分
(Ⅱ)由面积 S ?

D

1 1 AB ? CD ? ? AB ? 12 ? 60 ,得 c ? AB ? 8 …………8 分 2 2

5 又 cos B ? , 13
由余弦定理 b ? c ? a -2ac cos B ? 169 ? 64-2 ?13 ? 8 ?
2 2

B

C

5 = 153=3 17 13

?l=8 ? 13 ? 3 17 ? 21 ? 3 17 .
19 【解】(1)k=1 时, f ( x) ? x3 ? x ,

…………12 分 因为 (1, f (1)) 为切点,所以切点为(1,0) ,

f '( x) ? 3x 2 ? 1, k1 ? f '(1) ? 2 所以y ? 2( x ? 1)
所以切线方程为 y ? 2 x ? 2 . (2)

………4 分

………6 分 ………7 分

f '( x) ? 3kx2 ?1 f '( x) ? 3kx2 ?1 ? 0

①当 k ? 0 时,

所以 f ( x ) 的递减区间为 (??, ??) ②当 k ? 0 时,

………9 分

f '( x) ? 3kx 2 ? 1 ? 3k ( x ?

1 1 )( x ? ) 3k 3k

f ( x) 的递减区间为 (?

3k 3k , ), 3k 3k 3k 3k )和( , ??) 3k 3k
………13 分

递增区间为 (??, ?

20【解】 (Ⅰ)

an ?1 ?

3an 2a ? 1 2 1 1 1 ? n ? ? ? , …………2 分 ,? an?1 3an 3 3 an 2an ? 1

第 3 页 共 4 页

?

3 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , 4 an?1 3 an a1 3 1 1 1 ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. 3 3 an
…………6 分

? 数列 {

3n 1 1 1 1 1 1 3n ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 .……8 分 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 ? n ,? an ? n 3 ?1 an?1 3 3 3 an 3 3
假设存在互不相等的正整数 m, s, t 满足条件, 则有 ?

?m ? t ? 2s
2 ?(as ? 1) ? (am ? 1)(at ? 1)

,所以 (

3s 3m 3t 2 ? 1) ? ( ? 1)( ? 1) 3s ? 1 3m ? 1 3t ? 1
…………10 分

化简得 (3s ? 1)2 ? (3m ? 1)(3t ? 1) ,即 32 s ? 2 ? 3s ? 1 ? 3m?t ? 3m ? st ? 1 , 因为 2 s ? m ? t ,所以得 3 ? 3 ? 2 ? 3 .
m t s

但是 3m ? 3t ? 2 3m ? 3t ? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立, 这与 m, s, t 互不相等矛盾,所以不存在互不相等的正整数 m, s, t 满足题给的条件。…………13 分 21【解】 (1)求导得 f ?( x) ? ln x ? 1, 令 f ?( x) ? 0 ? x ? 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是减函数, 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是增函数。

1 e

1 e

1 e

------3 分

?当 0 ? t ? t ? 1 ?

1 1 1 1 1 时, t 无解;当 0 ? t ? ? t ? 1 ,即 0 ? t ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ; e e e e e 1 1 当 ? t ? t ? 1 时,即 t ? 时, f ( x ) 在 [t , t ? 1] 增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t 。 e e

? f ( x) min

1 ? 1 ? ,0 ? t ? ? ? e e ?? ?t ln t , t ? 1 ? e ?

-------7 分

2 (2)由 x ln x ? ? x ? ax ? 6 ,可得 a ? ln x ? x ?

6 x 6 ( x ? 3)( x ? 2) , ---------9 分 设 h( x) ? ln x ? x ? ( x ? 0) , 则 h?( x) ? x x2 当 x ? (0, 2) 时 h?( x) ? 0, h( x) 是减函数
当 x ? (2, ??) 时 h?( x) ? 0, h( x) 是增函数,? h( x)min ? h(2) ? 5 ? ln 2, ---------11 分

因为对一切 x ? (0, ??), f ( x) ? g ( x) , ? a ? h( x)min ? 5 ? ln 2

---------- 13 分

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