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1.1.7柱、锥、台和球的体积


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r />普通高中课程标准数学2(必修)

第一章 立体几何初步

1.1.7 柱、锥、台和球的体积

一、复习引入
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在小学我们就已经知道长方体的体积V的计算 公式

V长方体 ? abc ? Sh

其中a,b,c分别是长方体的长、宽和高,S,h分 别是长方体的底面积和高。

长方体的体积公式是计算其它几何体体积的基础, 我们将上述结论作为已知事实来用。
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等底等高柱体的体积相等吗?

Liangxiangzhongxue

二、提出问题
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思考:如何求其它几何体的体积?
我国古代数学家祖暅(gèng)对几何体的体积 研究,取得了辉煌的成就,他提出的祖暅原理是推

导其它几何体的体积公式的理论基础。

祖暅原理:幂势既同,则积不容异
意思是说: 夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两 个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相 等,那么这两个几何体的体积相等. Bqr6401@126.com

二、提出问题
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思考:如何求其它几何体的体积?

祖暅原理:幂势既同,则积不容异

点击演示 问题:两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)的 体积如何? Bqr6401@126.com

三、概念形成
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概念1.柱体(棱柱和圆柱)的体积
棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向得到,因 此,两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)应该具有 相等的体积.

V柱体 ? Sh

h

h

S

S
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S

三、概念形成
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概念2.锥体(棱锥、圆锥)的体积
在小学我们就通过比较容积的方法,验证了棱锥(圆 锥)的体积是两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱) 的体积的三分之一。利用祖暅定理也可分析得到。

V锥体

1 ? Sh 3
h

h

S

S
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S

A' B'

C'

A
A' A'

C B
A' B' B' C'

A B

C' B

C

C

三、概念形成
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概念3.台体(棱台、圆台)的体积
棱台和圆台分别是棱锥和圆锥用平行于底面的平面截 去一个锥体得到的。因此台体的体积可以用两个锥体体积 的差来计算。体积公式如下:

V台体

1 ? h S ? SS ' ? S ' 3

?

?

S

S Bqr6401@126.com

S

三、概念形成
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柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
上底扩大 上底缩小

1 ' 1 S' ? S S' ? 0 ' V ? Sh V ? ( S ? S S ? S )h V ? Sh 3 3

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三、概念形成
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概念4.球的体积

H

h

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三、概念形成
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概念4.球的体积
r
l
R

R

l l

S ? ? r 2 ? ? ( R2 ? l 2 )

R
1 V球 2



? R2 ? R ? ? R2 ? R

1 3

4 3 V球 ? ? R 3
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探究

S1

R

4 3 1 1 1 1 ?R ? V球 ? RS1 ? RS2 ? RS3 ? ? ? RS球面 3 3 3 3 3
球的表面积:

S球面 ? 4?R

2

四、应用举例
普 例1.已知棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面 通 体S-ABC,求它的体积。 高 中 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. , 课 解:过点S作 SD ? 平面ABC 于D. 连接BD并延长交AC于M。 程 依据正棱锥的性质,则D为底面正三角形的中心,M为AC中 标 点。 准 2 2 2 a 3
? BC ? a ,? BD ?

S

3

BM ?

3

BC 2 ? CM 2 ?

a 2 ? ( )2 ? a 3 2 3

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? 3 ? 6 ? SD ? SB 2 ? BD 2 ? a 2 ? ? a? ? a 3 ? 3 ?

2

A M D
B

C

1 1 3 3 2 ? S?ABC ? AC ? BM ? a ? a? a 2 2 2 4 1 1 3 2 6 2 3 VS ? ABC ? S ABC ? SD ? ? a ? a? a 3 3 4 3 12

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四、应用举例
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例2.如图,长方体 ABCD ? A' B 'C ' D ' 中,用截面截下 一个棱锥 C ? A' DD ' ,求棱锥 C ? A' DD '的体积与剩余 部分的体积之比。

D' A' B'

C'

D

C
B

A
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四、应用举例
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例3.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm )六角 螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm,内孔 ? 直径为10mm,高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个( 取 3.14,可用计算器)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差,即:
V? 3 10 ?122 ? 6 ?10 ? 3.14 ? ( ) 2 ?10 4 2

3

? 2956(mm3 ) ? 2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为

5.8 ?100 ? (7.8 ? 2.956) ? 252(个)

答:这堆螺帽大约有252个. Bqr6401@126.com

四、应用举例
例4.一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和 6cm,高是1.5cm,求三棱台的体积。

A1 O1 B1 D1

C1

A O E

C

D

B

五、课堂练习
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练习1.圆柱的底面直经与高都等于球的直经2R. 求证:球的体积等于圆柱体积的2/3 证明:
4 V球 ? ? R3 ,V柱 ? ? R 2 ? 2 R ? 2? R3 3

2 ? V球 ? V柱 3
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五、课堂练习
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练习2.已知正四棱锥底面正方形的边长4cm,高与 斜高的夹角是30°,求正四棱锥的体积.
P

D

C

A

B

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五、课堂练习
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练习3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形, 主视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,左 视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形。 (1)求该几何体的体积V; (2)该几何体的表面积S

6

8 Bqr6401@126.com

六、课堂总结
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1.几何体的体积就是它们占据空间的大小,掌握它 们的体积公式及解有关问题的关键。 2.对于台体、球体的公式,应强加记忆。 3.注意体积公式中量,以及各量的求法。 4.三棱锥以任何一面都可以充当底面,在解题中 要注意体会。

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七、布置作业
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课本第32页,练习A,1,2,3题,练习B,1,2,3 弹性作业:

课本第32页:习题1-1A,习题1-1B
优化设计,同步测控,第 页,我夯基,我达标

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下课
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