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(理数)广州市2009届普通高中毕业班综合测试(一)


试卷类型:A 2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
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注意事项:

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本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。
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1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自 己所在的市、县/区、学校、以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 用 2B 将试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上。
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2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。
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3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。
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4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。
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5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
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参考公式:

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锥体的体积 V=

1 3

Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.
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如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).

如果事件 A、B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)· P(B).

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一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.函数 f(x)=sin2x 的最小正周期为 A.π B. 2π
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C. 2π

D. 4π

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2.已知 z=i(1+i)(i 为虚数单位),则复数 z 在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

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D. 第四象限

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3.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率

1

分布直方图如图 1 所示,已知 9 时至 10 时的销售额为 2.5 万元 ,则 11 时至 12 时的销售 额为 ( )
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A. 6 万元

B. 8 万元

C. 10 万元

D. 12 万元

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4.已知 A(-1,a)、A(a,8)两点的直线与直线 2x-y+1=0 平行,则 a 的值为 A.-10 B. 17 C. 5 D.2
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5.阅读图 2 的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”),若输出的 S 的值等于 16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 A.i>5 B.i> 6 C.i> 7 D.i> 8
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6.已知 p:关于 x 的不等式 x2+2ax-a>0 的解集是 R,q:-1<a<0,则 p 是 q 的那么 A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件

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D. 既非充分又非必要条件
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7.在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn 中,若 2a2+an-5=0, 则自然数 n 的值是 A.7 B.8 C.9 D.10
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2

8.在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率 为 A.
1 8
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B.

1 4

C.

3 4

D.

7
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8
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二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一) 必做题 (9~12 题)
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9.若 log2(a+2)=2,则 3a= 10. 若
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?

a 0

x d x = 1 ,则实数 a 的值是_________.

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11.一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm)如图 3 所示, 则该几何体的侧面积为_______cm2.
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12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*都有 S n =
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2 3

an ?

1 3

,且 1<Sk<9,则 a1 的值

为______,k 的的值为________.
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(二)选做题 (13~15 题,考生只能从中选做两题)

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13. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρ sin(θ + 为
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π 4

)=2 被圆ρ =4 截得的弦长



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14. (几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O(O 为圆心)的切线, 切点为 A, 交圆 O 于 B, PO C 两点,AC = 3 ,∠PAB=300,则线段 PB 的长为
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.

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15. (不等式选讲选做题) 已知 a,b,c∈R,且 a+b+c=2,a2+2b2+3c2=4,则 a 的取值范围为
3

_____________.
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)
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已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB=

3 5


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(1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ ABC=4,求 b,c 的值.

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次, 击中目标得 2 分,未击中目标得 0 分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别 为
3 5

和 p ,且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为 2 的概率为

9 20

,假设

甲、乙两人射击互不影响. (1)求 p 的值; (2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ ,求ξ 的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC, AB⊥AC,D、E、F 分别是棱 PA、PB、PC 的中点,连接 DE,DF,EF. (1)求证: 平面 DEF∥平面 ABC; (2)若 PA=BC=2, 当三棱锥 P-ABC 的体积的最大值时, 求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值. P

D E A

F

C

B

19. (本小题满分 12 分) 某车间有 50 名工人, 要完成 150 件产品的生产任务, 每件产品由 3 个 A 型零件和 1 个 B 型 零件配套组成. 每个工人每小时能加工 5 个 A 型零件或者 3 个 B 型零件,现在把这些工人

4

分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一中型号的零件.设加工 A 型零 件的工人人数为 x 名(x∈N*) (1)设完成 A 型零件加工所需时间为 f(x)小时,写出 f(x)的解析式; (2)为了在最短时间内完成全部生产任务,x 应取何值?

20 (本小题满分 14 分) 已知动圆 C 过点 A(-2,0),且与圆 M:(x-2)2+x2=64 相内切 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l: y=kx+m(其中 k, m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点 B, 与双曲线 D, 交于不同两点 E,F,问是否存在直线 l,使得向量
??? ? ??? ? ? D F ? B E ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

x 4

2

?

y

2

?1

12

21. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}的相邻两项 an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,且 a1=1. (1)求证:数列{ an-
1 3

× n}是等比数列; 2

(2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和, 问是否存在常数 λ, 使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, 若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由.

5

参考答案
1.A 2.B 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C
? 2

9.9
?

10.

2

11.80

12. a 1 ? ? 1 , k ? 4
3 5

13. 4 3

14.1

15. ? , 2 ? ? 11 ?

16. (1) ∵cosB=

>0,且 0<B<π ,
4 5

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∴sinB= 1 ? c o s B ?
2

.
b

??2 分 ,

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由正弦定理得

a s in A

?

??4 分

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s in B

s in A ?

a s in B b

2? ? 4

4 5 ? 2 5

.

??6 分 ??8 分

(2) ∵S△ ABC= ∴
1 2

1 2

acsinB=4,
4 5
2

? 2?c?

? 4,

∴c=5.

??10 分

由余弦定理得 b2=a2+c -2accosB, ∴b ?
2

a

+ c ? 2accosB ?
2

2 + 5 ? 2? 2?5?
2 2

3 5

?

1 7 .??14 分

17. (1)设“甲射击一次,击中目标”为事件 A, “乙射击一次,击中目标”为事件 B, “甲射 击一次,未击中目标”为事件 A , 乙射击一次,未击中目标”为事件 B ,则 “
P (A ) ? 3 5 , P (A ) ? 2 5 , P (B ) ? p, P (B ) ? 1 ? p,

??1 分 依题意得 (1 ? p ) ?
5 3 2 5 p ?
3 4

9 20



??3 分 ??5 分 ??6 分
2 5 ? 1 4 ? 1 10

解得 p ?

3 4

,故 p 的值为

.

(2)ξ 的取值分别为 0,2,4.
P (? ? 0 ) ? P (A B ) ? P (A ) ? P (B ) ? P (? ? 2 ) ? 9 20 P (? ? 4 ) ? P (A B ) ? P (A ) ? P (B ) ? 3 5 ? 3 4 ? 9 20



??8 分

, , ??10 分

∴ξ 的分布列为
6

ξ P

0
1 10

2
9 20

4
9 20

??12 分 ∴Eξ = 0 ?
1 10 ? 2? 9 20 ? 4? 9 20 ? 27 10 .

??14 分

18. 证明:∵D、E 分别是棱 PA、PB 的中点, ∴DE 是△PAB 的中位线,∴DE∥AB, ∵DE ? 平面 PAB,AB? 平面 PAB, ∴DE∥平面 PAB, ??2 分

∵DE∩DF=D,DE? 平面 DEF, DF? 平面 DEF, ∴平面 DEF∥平面 ABC. ??4 分

(2)求三棱锥 P-ABC 的体积的最大值,给出如下两种解法: 解法 1:由已知 PA⊥平面 ABC, AC⊥AB,PA=BC=2, ∴AB2 +AC2 =BC2=4, ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V =
1 3 ? P A ? S? ABC ? 1 3 ? PA ? 1 2 ? AB ? AC

??6 分
? 1 6 ? 2 ? AB ? AC ? 1 3 ? AB ? AC
2 2

?

1 3

?

BC 2

2

?

2 3

.
2 3

2

当且仅当 AB=AC 时等号成立,V 取得最大值,其值为 解法 2:设 AB=x,在△ABC 中, A C ? ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 V =
? 1 3 x 4? x
2

,此时 AB=AC= 2 .
4?x
1 2
2

BC ? AB
2

2

?

(0<x<2),

1 3

? P A ? S? ABC ?

1 3

? PA ?

? AB ? AC

??6 分

?

1 3

4x ? x
2

4

?

1 3

? (x ? 2 ) ? 4 ,
2 2

∵ 0<x<2 , 0<x2<4 , ∴ 当 x2=2 , 即 x ? AB=AC= 2 . ??8 分

2 时,V 取得最大值,其值为

2 3

,此时

7

求二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值..,给出如下两种解法: 解法 1:作 DG⊥EF,垂足为 G,连接 AG, ∵PA⊥平面 ABC,平面 ABC∥平面 DEF,∴P A⊥平面 DEF, ∵EF? 平面 DEF,∴ P A⊥EF. ∵DG∩PA=D,∴EF⊥平面 PAG,AG? 平面 PAG,∴EF⊥AG, ∴∠AGD 是二面角 A-EF-D 的平面角. 在 Rt△EDF 中,DE=DF= P
EF ? 1 2
1 2

??10 分
2 2

AB =



B C = 1 ,∴ D G ?

1 2

.

D E A G

F

在 Rt△ADG 中,
2 2

C

AG =

AD

+ DG

?

1+

1 4

?

5 2



1

B ∴? AGD =

DG AG

?

2 5 2

?

5 5

.

∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

5 5

.

??14 分

解法 2:分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图的空间直角坐标系
2 2 2 2 ??? ? 2 2 ??? ,,1), F ? ( ? 0 E 2 2 2 2

A-xyz,则 A(0,0,0),D(0,0,1),E(

,0,1),

F(0,

,1). ∴ A E ? (



,) . 0

??9 分 P D z

? 设 n ? ( x , y , z ) 为平面 AEF 的法向量,

? ?n ? 则? ? ?n ?

??? ? ?AE ? 0 , ??? ?EF ? 0

F

E A B x ,z=-1, C y

? 2 x + z ? 0 ? 即? 2 ? 2 2 ? ? x + y ? 0 ? ? 2 2

,令 x

=

2

,则 y

=

2

? ∴ n ? ( 2 , 2 , 1 ) 为平面 AEF 的一个法向量.

?

??11 分

8

? ∵平面 DEF 的一个法向量为 D A ? ( 0 ,0 , 1 ) ,

????

? ???? ∴ c o s ? n,D A ? ?

? ???? n,D A ? ???? ? | n || D A |

1 ( 2) ? (
2

?
2 2

5 5



2 ) ? ( ? 1) ? 1

??13 分 而 n 与 D A 所成角的大小等于二面角 A-EF-D 的平面角的大小.
5 5

?

????

∴二面角 A-EF-D 的平面角的余弦值为

.

??14 分

19. 【解析】(1) 生产 150 件产品,需加工 A 型零件 450 个,则完成 A 型零件加工所需时间
f(x ) ? 450 5x ? 90 x

(x∈N*,且 1≤x≤49).

??2 分

(2) 生 产 150 件 产 品 , 需 加 工 B 型 零 件 150 个 , 则 完 成 B 型 零 件 加 工 所 需 时 间
g (x ) ? 150 3 (5 0 ? x ) ? 50 50 ? x

(x∈N*,且 1≤x≤49).

??4 分设完成全部生产任

务所需时间 h(x)小时,则 h(x)为 f(x)与 g(x)的较大者, 令 f(x)≥g(x),则
90 x ? 50 50 ? x

,解得 1 ? x ? 3 2

1 7



所以,当 1≤x≤32 时,f(x)>g(x);当 33≤x≤492 时,f(x)<g(x).
? 90 , (x ? N * , 且 1 ? x ? 3 2 ) ? x ? 故 h (x ) ? ? ? 5 0 ,x ? N * , 且 3 3 ? x ? 4 9 ) ( ? 50 ? x ?

??6 分

当 1≤x≤32 时, h ? (x ) ? ?

90 x
2

? 0 ,故 h(x)在[1,32]上单调递减, 90 32 ? 45 16

则 h(x)在[1,32]上的最小值为 h (3 2 ) ?
50 (5 0 ? x )
2

(小时);

??8 分

当 33≤x≤49 时, h ? (x ) ? ?

? 0 ,故 h(x)在[33,49]上单调递增,

则 h(x)在[33,49]上的最小值为 h (3 3 ) ?

50 50 ? 33

?

50 17

(小时); ??10 分

∵h(33)> h(32),∴h(x)在[1,49]上的最小值为 h(32), ∴x=32. 答:为了在最短时间内完成全部生产任务,x 应取 32. ??12 分

20. 【解析】 (1)圆 M:(x-2)2+x2=64,圆心 M 的坐标为(2,0),半径 R=8. ∵|AM|=4<R,∴点 A(-2,0)在圆 M 内,
9

设动圆 C 的半径为 r,圆心为 C,依题意得 r= |CA|,且|CM|=R-r, 即|CM+|CA|=8>|AM|, ??3 分

∴圆心 CD 的轨迹是中心在原点,以 A,M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆, 设其方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0),则 a=4,c=2,

∴b =a -c =12,∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为

2

2

2

x

2

?

y

2

? 1.

16

12

??5 分
? y = kx + m ? (2)由 ? x 2 y 2 消去 y 化简整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0, + =1 ? 12 ? 16

设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2= ? △1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0.

8km 3 + 4k
2

. ??7 分



? y = kx + m ? 由? x2 y2 消去 y 化简整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0, ? =1 ? ?4 12

设 E(x3,y3),F(x4,y4),则 x3+x4= △2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0.
??? ? ??? ? ?

2km 3? k
2

. ② ??9 分

∵ D F ? B E ? 0 ,∴ (x4-x2 )+ (x3-x1) =0,即 x1+x2= x3+x4, ∴?
8km 3 + 4k
2

?

2km 3?k
2

,∴2km=0 或 ?

4 3 + 4k
2

?

1 3?k
2

, ??11 分

解得 k=0 或 m=0, 当 k=0 时,由①、②得 ? 2 3 < m ? 2 3 , ∵m∈Z,∴m 的值为-3,-2,-1,0,1,2,3; 当 m=0 时,由①、②得 ? 3 < m ? ∵k∈Z,∴k=-1,0,1. ∴满足条件的直线共有 9 条.
3 ,

??14 分

21. (1)证法 1:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根,

10

∴?

? a n + a n +1 = 2 ? b n = a n ? a n +1

n

??2 分
1 3 1 3

由 an+an+1=2n,得 a n + 1 ? 是首项为 a 1 ?
2 3 ? 1 3

?2

n +1

? ? (a n ?

? 2 ) ,故数列 {a n ?
n

1 3

?2 }
n

,公比为-1 的等比数列.

??4 分

证法 2:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根, ∴?
? a n + a n +1 = 2 ? b n = a n ? a n +1
n

??2 分
1 3 ?2
n

a n +1 ?

1 3 1 3

?2 ?2
1 3

n +1

2 ? an ?
n

?2

n +1

? (a n ? ? an

1

?2 )
n


an ?

?
n

an ?
n

1 3

3 1 n ? ?2 3

? ?1 ,

故数列 {a n ?

? 2 } 是首项为 a 1 ?

2 3

?

1 3

,公比为-1 的等比数列. ??4 分

(2)解:由(1)得 a n ? ∴ b n = a n ? a n +1 ?
? 1 9 [2
2 n +1

1 3

?2
n

n

?

1 3

? ( ? 1) ,即 a n ?
n n n +1

1 3 ]

[ 2 ? ( ? 1) ] ,
n n

1 9

[ 2 ? ( ? 1) ] ? [ 2
n

? ( ? 1)

n +1

? ( ? 2 ) ? 1]
1 3

??6 分

∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=
1 3

[(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n]
n

?

[2

2 n +1

? 2?

( ? 1) ? 1 2

],

??8 分

要使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, 即 [2
9 1
2 n +1

? ( ? 2 ) ? 1] ?
n

? 3

[2

2 n +1

?2?

( ? 1) ? 1
n

] ? 0 (* ) 对任意 n∈N*都成立.

2

①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [ 2
9

1

2 n +1

? 2 ? 1] ?
n

? 3

[2

2 n +1

? 1] ? 0 ,



1 9

(2

n +1

? 1)( 2 ? 1) ?
n

λ 3

(2
n

n +1

? 1) ? 0 ,

∵2n+1-1>0,∴ λ <
1

1 3

( 2 ? 1) 对任意正奇数 n 都成立.
n

当且仅当 n=1 时, ( 2 ? 1) 有最小值 1,∴λ <1.
3

??10 分
[2
2 n +1

①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [ 2
9

1

2 n +1

? 2 ? 1] ?
n

? 3

? 1] ? 0 ,

11



1 9

(2

n +1

? 1)( 2 ? 1) ?
n

λ 3

(2
n

n +1

? 1) ? 0 ,

∵2n+1-1>0,∴ λ <
1

1 3

( 2 ? 1) 对任意正奇数 n 都成立.
n

当且仅当 n=1 时, ( 2 ? 1) 有最小值 1,∴λ <1.
3

??10 分
[2
2 n +1

②当 n 为正偶数时,由(*)式得 [ 2
9

1

2 n +1

? 2 ? 1] ?
n

? 3

? 2] ? 0 ,



1 9

(2

n +1

? 1)( 2 ? 1) ?
n

2λ 3

( 2 ? 1) ? 0 ,
n

∵2n-1>0,∴ λ < 当且仅当 n=2 时,

1 6 1 6

(2

n +1

? 1) 对任意正偶数 n 都成立. ? 1) 有最小值 1.5,∴λ <1.5.

(2

n +1

??12 分

综上所述,存在常数 λ,使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,λ 的取值范围是(-∞, 1). ??14 分

12


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