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数学-扬州中学2013-2014学年高二上学期12月月考数学试题


江苏省扬州中学 2013-2014 学年高二上学期 12 月月考试卷 数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题 卷相应的位置上)
1.命题“ ?x ? R, e ? x ? 1 ”的否定是
x



2.抛物线 y ? 8 x 的焦点坐标为
2

r />


3.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,这个正四棱锥的侧面积是



4.已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ?( x) ? 【答案】 1 ? cos x . 【解析】



1

试题分析:两函数的差求导数.分别求导再相减.故填 1 ? cos x .正弦函数的导数是余弦函数. 考点:1.函数的差的求导方法.2.正弦函数的导数.

5.一枚骰子(形状为正方体,六个面上分别标有数字 1,2,3, 4,5,6 的玩具)先后抛 掷两次,骰子向上的点数依次为 x, y .则 x ? y 的概率为 .

6.若双曲线 x ?
2

y2 ? 1的离心率为 2,则 m 的值为 m



7.在不等式组

所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为

格点)中任取 3 个点,则该 3 点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 【答案】 【解析】



9 . 10

试题分析:如图总共有 5 个点,所以,每三个点一组共有 10 种情况.其中不能构成三角形的 只有一种共线的情况.所以能够成三角形的占 想.所以了解格点的个数是关键.

9 .本题考查的是线性规划问题.结合概率的思 10

2

y

y =1/x y=x

3

x

考点:1.线性规划问题.2.概率问题.3.格点问题.

8.如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是

AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积
为 V 2 ,则 V1 : V2 ?

x2 y 2 3 9.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A,B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆 2 a b

3

上不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 倾斜角分别为 ? , ? ,则

cos(? ? ? ) = cos (? +?)

10.若“ x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为



11 . 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? (2c ? 3a ? 2b) x ? d (a ? 0) 的 图 像 如 图 所 示 , 且
3 2

f ?(1) ? 0 .则 c ? d 的值是



4

12. 设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线, 则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题 的序号 ... (写出所有真命题的序号) .

考点:1.面面平行.2.直线与平面平行.3.面面垂直.4.直线与平面垂直.

13 . 已 知 可 导 函 数 f ( x) ( x ? R) 的 导 函 数 f ?( x) 满 足 f ?( x) > f ( x) , 则 不 等 式

ef ( x) ? f (1)e x 的解集是



5

14.已知椭圆 E:

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦 4


点(如图) ,则这个平行四边形面积的最大值是 【答案】4. 【解析】

试题分析: 由题意得椭圆的半焦距为 3 .i)当直线 AB 与 x 轴垂直的时候 ABCD 为矩形面积 为 2 3 .ii)当直线 AB 不垂直 x 轴时假设直线 l AB : y ? k ( x ? 3).lCD : y ? k ( x ? 3) .A ( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ).所以直线 AB 与直线 CD 的距离 d=

2 3k k 2 ?1

.又有 ?

? y ? k ( x ? 3) ?
2 2 ? ?x ? 4 y ? 4

.

消去 y 可得: x (4k ? 1) ? 8 3k x ? 12k ? 4 ? 0 . x1 ? x2 ?
2 2 2 2

8 3k 2 4(3k 2 ? 1) , x x ? .所 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

以 AB ?

(

8 3k 2 2 4(3k 2 ? 1) 4(k 2 ? 1) ) ? 4 ? ? .所以平行四边形的面积 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

6

S= 8 3

k4 ? k2 2 令 k ? t .所以 2 2 (4k ? 1)

S ?8 3

t2 ? t ?8 3 16t 2 ? 8t ? 1 16 ?

1 64 (8t ? 1) ? 9 ? 10 8t ? 1

.因为 8t ? 1 ? 0 时.S 的最大值为 4.

综上 S 的最大值为 4.故填 4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离. 考点:1.分类的思想.2.直线与椭圆的关系.3.弦长公式.4.点到直线的距离.

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤)
15. (本小题满分 14 分) 求实数 m 的取值组成的集合 M ,使当 m ? M 时,“ p或q ”为真,“ p且q ”为假. 其中 p : 方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负根; q : 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数
2

根.

q真 : ? ? [4(m ? 2)] 2 ? 4 ? 4 ? 0, 即 1 ? m ? 3. …………………10 分
① p真q假: m ? ?2; ② q真p假: 1 ? m ? 3. 综上所述: M ? {m | m ? ?2或1 ? m ? 3}. …………………13 分 …………………14 分

考点:1.含连接词的复合命题.2.二次方程的根的分布. 3.集合的概念.

16. (本小题满分 14 分)

7

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,DC∥AB, ∠BAD= 90? ,且 AB=2AD=2DC=2PD=4,E 为 PA 的中点. (1)证明:DE∥平面 PBC; (2)证明:DE⊥平面 PAB.

17. (本小题满分 15 分)
8

如图,过点 (0, a3 ) 的两直线与抛物线 y ? ?ax 2 相切于 A、B 两点, AD、BC 垂直于直 线 y ? ?8 ,垂足分别为 D、C. (1)若 a ? 1 ,求矩形 ABCD 面积; (2)若 a ? (0, 2) ,求矩形 ABCD 面积的最大值.

(2)设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? ?ax0 2 , 因为 y? ? ?2ax ,所以切线方程为 y ? y0 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) , 即 y ? ax02 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) ,

9

18. (本小题满分 15 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知平面 AAC 1 1C ? 平面ABCD , 且 AB ? BC ? CA ? 3,AD ? CD ? 1 . (1)求证: BD ? AA1 ; (2)在棱 BC 上取一点 E,使得 AE ∥平面 DCC1 D1 ,求

BE 的值. EC

【答案】 (1)证明参考解析; (2) 【解析】

BE ?1 EC

试题分析: (1)由于 AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形 ABD 全等于三角形 CBD.所以这两个三 角形关于直线 BD 对称.所以可得 BD ? AC .再由面面垂直即可得直线 BD 垂直于平面
10

ACC1 A1 .从而可得 BD ? AA1 .

19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右两焦点分别为 F1 , F2 , P 是椭圆上一点,且在 x 轴 a 2 b2

上方, PF2 ? F1 F2 , PF2 ? ? PF1 , ? ? ? , ? . 3 2 (1)求椭圆的离心率 e 的取值范围; (2)当 e 取最大值时,过 F1 , F2 , P 的圆 Q 的截 y 轴的线段长为 6,求椭圆的方程; (3) 在 (2) 的条件下, 过椭圆右准线 l 上任一点 A 引圆 Q 的两条切线, 切点分别为 M , N . 试 探究直线 MN 是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.

?1 1 ? ? ?

11

(1) e ?
2

1? ? c2 b2 2? 1 ? ? ?1 1 ? ? 1 ? ? 1? ? ,∴ e ? ,在 ? , ? 上单调递减. 2 2 1? ? a a 1? ? 1? ? ?3 2?

∴? ?

3 2 1 1 1 1 1 1 时, e 2 最小 , ? ? 时, e 2 最大 ,∴ ? e 2 ? ,∴ . ?e? 3 2 2 3 3 2 3 2 2 c 2 2 时, ? ,∴ c ? b ? a ,∴ 2b2 ? a 2 . 2 a 2 2

(2) 当 e ?

∵ PF2 ? F1 F2 ,∴ PF1 是圆的直径,圆心是 PF1 的中点,∴在 y 轴上截得的弦长就
12

是直径,∴ PF1 =6.又 PF1 ? 2a ?

b2 a2 3 ? 2a ? ? a ? 6 ,∴ a ? 4, c ? b ? 2 2 .∴ a 2a 2
-------10 分

椭圆方程是

x2 y2 ? ?1 16 8

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x
2

( a 为实常数) .

(1)当 a ? ?4 时,求函数 f ( x) 在 ?1, e ? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e?时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (3)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e ? ,都有 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 求实数 a 的取值范围.
2 【答案】 (1) f ( x) max ? f (e) ? e ? 4 . x ? e ; (2) ? e 2 ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有

1 1 ? , x1 x 2

2 个相异的根. a ? ?e 2 或 a ? ?2e 时, 方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根. a ? ?2e 时, 方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根.(3)? a ?

1 ? 2e 2 . e

13

x2 (2)易知 x ? 1 ,故 x ? ?1, e?,方程 f ?x ? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e? 时,方程 ? a ? ln x

x2 根的个数. 设 g ? x ? = , g ?( x) ? ln x

2 x ln x ? x 2 ln 2 x

当 x ? 1, e 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 递减,当 x ? ( e , e?时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 递 增.又 g (e) ? e , g ( e ) ? 2e ,作出 y ? g ( x) 与直线 y ? ?a 的图像,由图像知:
2

?

?

1 x ? x(2 ln x ? 1) ln 2 x

当 2e ? ?a ? e 2 时,即 ? e 2 ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2 个相异的根; 当 a ? ?e 2 或 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根; 当 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根; (3)当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ?[1, e] 时是增函数,又函数 y ? -------10 分

1 是减函数,不妨设 x

1 ? x1 ? x2 ? e ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 1 1 ? x1 x 2

1 1 ? 等 x1 x 2

14

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