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浙江省桐乡市高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题(普通班)


桐乡市高级中学 2015 学年第一学期高二年级期中考试试卷 数学试题(普通班)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.直线 x ? 3 y ? 3 3 ? 0 的倾斜角是( (A)30° (B)45° ) (C)60° (D)120° )

2.设 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,下列命题中为真命题的是( (A) 若 m // ? , n // ? ,则 m // n (C) 若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? (B) 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m // ? (D) 若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ?

3.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( (A)有无数条 ) (B)有 2 条 (C)有 1 条 (D)不存在 )

4.直线 l 1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l 2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 ,若 l 1 ? l 2 ,则 a ? ( (A)3 (B)﹣3 (C)﹣3 或 2

(D)3 或﹣2 )

5.正四棱锥 S﹣ABCD 中,SA=AB,则直线 AC 与平面 SBC 所成角的正弦值为( (A)
6 6

(B)

3 3

(C)

3 6

(D)

6 3

6.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是( (A) ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?



1 2

(B) ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?

1 2

(C) ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

(D) ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

7.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2, 则两圆的圆心距等于( (A)1 ) (C) 3 (D)2

(B) 2

8.已知点 A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部 分,则 b 的取值范围是( (A) (0,2 ? 2 ) )

(B) (2 ? 2 ,1)

2 (C) (2 ? 2 , ] 3

2 (D) [ ,1) 3

-1-

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9 至 12 题,每小题 6 分,第 13 至 15 题,每小题 4 分,共 36 分,请将答案写在答题卷上) 9.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为半径为 2 的四分之一个圆弧,则该几何体的体 积为 ▲
2 2

,表面积为





10.已知圆 O:x +y =1 和点 A(﹣2,0),若定点 B(b,0)(b≠﹣2)和常数 λ 满足:对圆 O 上 任意一点 M,都有|MB|=λ |MA|,则: (Ⅰ)b= ▲ ; (Ⅱ)λ = ▲ .

11.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方) , 且|AB|=2,则: (1)圆 C 的标准方程为 截距为 ▲ . ▲ . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的

12. 已知圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 16 的一条直径恰好经过直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆所截弦的中点, 则中点坐标为 ▲ ,该直径所在直线的方程为 ▲ .

13.三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 ▲ .

14.在四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′中,AA′⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC 且

AD=AA′=2BC.过 A′,C,D 三点的平面与 BB′交于 CC′,A′D′的中点(如图所示)给出以下判断:
①E 为 BB′的中点; ②直线 A′E 和直线 FG 是异面直线; ③直线 FG∥平面 A′CD;

点 E,F,G 分别为

-2-

④若 AD⊥CD,则平面 ABF⊥平面 A′CD; ⑤几何体 EBC﹣A′AD 是棱台. 其中正确的结论是 ▲ . (将正确的结论的序号全填上)

15. 定义一个对应法则 f: P(m, n)→P′ ( m , n ) , (m≥0, n≥0) . 现有点 A(3,9)与点 B(9,3), 点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始 运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为 ▲ .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 15 分)已知曲线方程 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (1)当 m ? ? 6 时,求圆心和半径; (2)若曲线 C 表示的圆与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M , N ,且 MN ?
4 5

,求 m 的值.

17. (本题满分 15 分)已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y﹣29=0 相切.求: (1)求圆的方程; (2)设直线 ax﹣y+5=0 与圆相交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(﹣2, 4)的 直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

-3-

18. (本题满分 15 分)如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE,

AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE.
(1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证;AE∥平面 BFD; (3)求三棱锥 C﹣BGF 的体积.

19. (本题满分 15 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60°,

PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.
(1)证明:CD⊥AE; (2)证明:PD⊥平面 ABE; (3)求二面角 A﹣PD﹣C 的正切值.

20. (本题满分 14 分)设函数 f(x)=a x (a>0) , g( x ) ? 9 ? ( x ? b) 2 .
2 2

(1)若函数 y=f(x)图象上的点到直线 x﹣y﹣3=0 距离的最小值为 2 ,求 a 的值; (2)关于 x 的不等式(x﹣1) >f(x)的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围; (3)对于函数 f(x)与 g(x)定义域上的任意实数 x,若存在常数 k,m,使得 f(x)≥kx+m 和 g(x)≤kx+m 都成立,则称直线 y=kx+m 为函数 f(x)与 g(x)的“分界线”.设 a ?
b?
2 , 2
2

5 3 ,试探究 f(x)与 g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程; 2
-4-

若不存在,请说明理由.

-5-


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