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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2【配套备课资源】第一章 1.1.4


1.1.4

1.1.4
【学习要求】
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投影与直观图

1.了解中心投影、平行投影的概念,会画几何体的投影. 2.会画常见几何体的直观图,理解直观图的斜二测画法规则. 【学法指导】 通过对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投 影下画空间图形两种方法的各自特点; 通

过学习斜二测画法 画出空间几何体的直观图,提高空间想象力与直观感受,感 受几何作图在生产活动中的应用.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1.4

1.已知图形 F,直线 l 与平面 α 相交(如图所
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示),过 F 上任意一点 M 作直线 MM′平 行于 l,交平面 α 于点 M′,则点 M′叫 做点 M 在平面 α 内关于直线 l 的平行投影(或象). 如果图 形 F 上的所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图 形 F′,则 F′叫做图形 F 在 α 内关于直线 l 的 平行投

影 .平面 α 叫做 投射面 ,l 叫做 投射线 .

填一填· 知识要点、记下疑难点

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2.平行投影的性质(图形中的直线或线段不平行于投射线) (1)直线或线段的平行投影仍是 直线或线段;
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(2)平行直线的平行投影是平行或 重合的直线; (3)平行于投射面的线段, 它的投影与这条线段 平行且等长; (4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形 全等 ; (5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比 等于 这两条线段的比.

填一填· 知识要点、记下疑难点

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3.直观图: 当投射线和投射面成适当的 角度 或改变图形相对 于投射面的 位置 时,一个空间图形在投射面上的平行投影
本 课 空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图. 时 栏 4.中心投影:一个点光源 把一个图形照射到一个平面上,这个 目 开 图形的影子就是它在这个平面上的中心投影, 空间图形经中 关

(平面图形)可以形象地表示这个空间图形.像这样用来表示

心投影后,直线变成直线,平行线可能变成了相交的直线.

.

研一研· 问题探究、课堂更高效

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[问题情境]
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空间几何体多用直观图来表示.空间图形能否在平面中画 出来,使得既富有立感,又能表达出图形各主要部分的位 置关系和度量关系呢?这就是空间几何体的直观图.本节 我们就来研究这个问题.

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探究点一 问题 1
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平行投影

观察教材 16 页图 1-27,太阳光线可以把一个矩形

的窗框投射到地板上,影子是平行四边形,在影子中,框 边的长度以及框边之间的夹角有所改变,你能观察出没有 发生变化的是什么吗?
答 框边的平行性没有改变,平行直线段或同一条直线上的 两条线段的比也没有改变.

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问题 2

在立体几何中,一般都是根据平行投影的性质,用

平面图形来表示空间图形,那么点和图形的平行投影是怎 样定义的? 答 已知图形 F,直线 l 与平面 α 相交(如图
所示),过 F 上任意一点 M 作直线 MM′平 行于 l,交平面 α 于点 M′,则点 M′叫做 点 M 在平面 α 内关于直线 l 的平行投影(或象).
如果图形 F 上的所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成 图形 F′, F′叫做图形 F 在 α 内关于直线 l 的平行投影. 则 平 面 α 叫做投射面,l 叫做投射线.

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问题 3 观察教材 17 页图 1-28,你能归纳出平行投影有怎 样的性质(图形中的直线或线段不平行于投射线)?
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答 (1)直线和线段的平行投影仍是直线和线段;

(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线;
(3)平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长; (4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等;
(5)在同一直线或平行直线上, 两条线段平行投影的比等于这 两条线段的比.

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问题 4 如何画一个图形 F 的平行投影?
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答 画一个图形 F 的平行投影,一般是转化为点的平行投 影,即先求图形 F 的边界点或顶点的投影点,再将这些投 影点连接成图.

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1.1.4

探究点二 斜二测画法 问题 1 阅读教材 17 页下半部分,你能说出什么叫空间图形
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的直观图吗? 答 当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射

面的位置时, 一个空间图形在投射面上的平行投影(平面图形) 可以形象地表示这个空间图形.像这样用来表示空间图形的 平面图形,叫做空间图形的直观图.

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1.1.4

问题 2 阅读教材 17 页下半部分,你能说出什么是斜二测画
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法吗?
答 依据平行投影的性质画直观图的方法, 国家规定了统一 的标准,一种较为简单的画图标准是斜二测画法.

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问题 3 阅读教材 17 页最后一段及 18 页最上面一段,你能 感悟出用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,关
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键点是什么吗?
答 其关键是在坐标系 x′O′y′中画出决定图形位置与 形状的顶点,一般情况下,这些点的位置都要通过其所在 的平行于 x 轴、y 轴的线段来确定.

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问题 4 画水平放置的直观图时,要把握怎样的原则?
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答 (1)∠x′O′y′=45° 135° (或 );
(2)平行性不变;

(3)x 轴方向上的线段长度不变,y 轴方向上的线段长度折半.

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问题 5 画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作?
答 如图, 直角坐标系变成 45° 的坐标系, 利用 A′B′=AB, 1 A′D′= AD, D′C′=DC 确定出点 A′, B′, C′, D′, 2 连接这四个点,即得到直角梯形的直观图.

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问题 6 画空间多面体的直观图,是按怎样的顺序进行的?
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答 一般先用斜二测画法画底面,再以多面体顶点在底面的 射影点找出各个顶点,然后连接成图,成图后擦去作为辅助 线的坐标轴.

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问题 7 如何画出圆柱、圆锥的直观图?
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答 在立体几何中,通常用正等测画法画圆的直观图,圆的 直观图是椭圆. 由于画圆的直观图比较复杂, 在实际操作中, 通常使用不同尺寸的椭圆模板.会画圆的直观图,就能画出 圆柱、圆锥的直观图.

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例 1 画水平放置的正六边形的直观图.
解 画法:(如图)(1)在已知六边形 ABCDEF 中,取对角线 AD 所在直线为 x 轴,取对称轴 GH 为 y 轴,x 轴和 y 轴相
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交于点 O;任取点 O′,画对应的 x′轴和 y′轴,使 ∠x′O′y′=45° .

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(2)以点 O′为 A′D′及 G′H′的中点,在 x′轴上取 1 A′D′=AD.在 y′轴上取 G′H′= GH,以点 H′为 2 E′F′的中点画 F′E′∥O′x′,并使 F′E′=FE;再
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以 G′为 B′C′的中点画 B′C′∥O′x′,并使 B′C′ =BC. (3)顺次连接 A′,B′,C′,D′,E′,F′,A′,并擦
去 作 为 辅 助 线 的 坐 标 轴 , 所 得 到 的 六 边 形 A′B′C′D′E′F′就是水平放置的正六边形 ABCDEF 的 直观图.

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小结
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在画出水平放置的正六边形的直观图后,依照斜二测

画法规则,平行于 z 轴的线段在直观图中保持长度不变,就 很容易画出六棱柱和六棱锥的直观图.所以画空间多面体的 步骤可简单总结为: 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图

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跟踪训练 1 用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、 2 cm 的长方体 ABCD—A′B′C′D′的直观图.
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解 (1)画轴.如下图,画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点 O, 使∠xOy=45° ,∠xOz=90° .

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1.1.4

(2)画底面.以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 MN= 3 4 cm;在 y 轴上取线段 PQ,使 PQ= cm.分别过点 M 和 N 2 作 y 轴的平行线,过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交
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点分别为 A,B,C,D,四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD.
(3)画侧棱.过 A,B,C,D 各点分别作 z 轴的平行线,并在 这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA′,BB′,CC′, DD′.
(4)成图.顺次连接 A′,B′,C′,D′(去掉辅助线,将被 遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.

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探究点三 中心投影 问题 1
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不同的光源发出的光线是有差异的,其中灯泡发出

的光线与手电筒发出的光线有什么不同?
答 灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的; 手电筒发 出的光是一束平行光线.

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问题 2
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一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图

形的影子就是它在这个平面上的中心投影.那么用灯泡照 射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影?
答 灯泡照射物体形成的投影是中心投影; 手电筒照射物体 形成的投影是平行投影.

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问题 3

用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体,在投

影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当
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物体与灯泡的距离发生变化时,影子的大小会有什么不 同?
答 在投影面上形成的影子形状与原物体相似, 大小比物体 大.当物体离灯泡越近,在投影面上的影子越大.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.4

1.当图形中的直线或线段不平行于投射线时,关于平行投影
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的性质,下列说法中不正确的是 A.直线或线段的平行投影仍是直线或线段 B.平行直线的平行投影仍是平行的直线

( B )

C.与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等 D. 在同一直线或平行直线上, 两条线段平行投影的比等于 这两条线段的比
解析 平行直线的平行投影是平行或重合的直线.

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1.1.4

2.图中是水平放置的三角形的直观图,已知 AB∥y 轴,则△ABC 是 A.等边三角形
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( C )

B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析 在如图中的直观图中,∠xOy=∠BAC,
由斜二测画法知,∠ xOy=∠BAC=90° ,故选 C.

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3.画水平放置的正三角形的直观图.
解 画法按如下步骤完成:第一步:在已知的正三角形 ABC 中,取 AB 所在的直线为 x 轴,取对称轴 CO 为 y 轴.画对
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应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45° .

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第二步: x′轴上取 O′A′=OA, 在 O′B′=OB, O′C′ 1 = OC. 2
第三步:连接 A′C′,B′C′,所得的三角形 A′B′C′ 就是正三角形 ABC 的直观图.

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1.画水平放置的平面图形的直观图时,平行于 x 轴的线段, 在直观图中保持其长度不变; 平行于 y 轴的线段, 在直观
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图中长度减半.画直观图,关键是确定各顶点(或其它有 代表性的点)的位置;而确定顶点的位置,需要选取有关 的两个坐标系, 并在两个坐标系之间, 建立一定的对应关 系,其中以平行投影的性质为主要依据.

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2.圆的直观图是椭圆,由于画圆的直观图比较复杂,通常使 用不同尺寸的椭圆模板来画, 会画圆的直观图, 就能画出
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圆柱、圆锥、圆台的直观图. 3.中心投影的投射线相交于一点,中心投影后,图形与原图 形相比虽然相差较大, 但直观性强, 看起来与人的视觉效 果一致. 若一个平面图形所在的平面与投射面平行, 则中 心投影后得到的图形与原图形相似.


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