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正余弦函数的图像和性质导学案


三角函数的图像与性质(第一课时) ---正余弦函数的图像与性质

学习目标:
1.理解并掌握利用单位圆作正弦函数和余弦函数图象的方法; 2.理解并熟练掌握用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图的方法,并利用图象解 决一些有关问题;

新课学习:
看书 30 页,把正余弦函数的定义记下来。

一、正(余)弦函数的定义
实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系, 而一个确定的角又对应着唯一确定的正 弦(或余弦)值,这样,任意给定一个实数 x,有唯一确定的值 sinx(或 cosx)与之对应, 由这个对应法则所确定的函数 y=sinx(或 y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数)其定义域是 R,及 y=sinx ( x ? R) 叫做正弦函数,y=cosx ( x ? R) 叫做余弦函数。

二、正(余)弦函数的图像:
注:1、我们可以利用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象 2、为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值 都为实数. ① 函数 y=sinx 的图象 看书 31 页理解正弦函数的作图过程。 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0), ( (

? ,1), (?,0) , 2

3? ,-1), (2?,0),只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太 2

高时,常采用五点法作正弦函数的简图,要求熟练掌握. “五点(画图)法”的优点是方便,缺点是精确度不高. ② 余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图像变换得到余弦 函数的图象吗?

cos x ? sin(

?
2

? x) ? sin(

?
2

? x)

根据诱导公式 cos x ? sin( x ?

?
2

) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移

? 个单位长 2

度即得余弦函数 y=cosx 的图象. 提问:为什么选第二个诱导公式而不选第一个?
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

余弦函数 y=cosx, x?[0,2?]的五个关键点是: (0,1) , (

? 3? ,0), (?,-1), ( ,0), (2?,1) 2 2

③ 正弦曲线与余弦曲线: 正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. ④用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 例:画出下列函数的简图:

1) y ? 1 ? sin x

x ? [0,2? ]

2) y ? ? cos x

x ? [0,2? ]

3) y ? sin(2 x ?

?
3

)一个周期内的简图,若 ? [0,2? ] x

4)y ? 2 cos(3x ?

?
6

) ? 1一个周期内的简图。若 ? [0,2? ]呢? x

思考:画出下列函数的简图:

1) y ? sin x

2) y ? sin x

三角函数的图像与性质(第二课时) ---正余弦函数的性质

学习目标:
掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期; 前言:1、研究一个函数,一般从解析式或图像相结合去研究。 2、研究一个函数的性质,一般从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性 以及自身的一些特点入手。

正(余)弦函数 y=sinx,x∈R, y=cosx,x∈R 的性质:
1.定义域: 正(余)弦函数的定义域都是实数集 R[或(-∞,+∞)] . 2.值域: 1)正弦函数的值域是[-1,1]

? +2kπ , (k∈Z)时,取得最大值 1; 2 3? ② 当且仅当 x= +2kπ (k∈Z)时,取得最小值-1. 2
① 当且仅当 x= 2) 余弦函数的值域是[-1,1] ① 当且仅当 x=2kπ (k∈Z)时,取得最大值 1; ② 当且仅当 x= ? +2kπ (k∈Z)时,取得最小值-1. 例:求下列函数的定义域、值域。

1) y ? 2 ? sin x 2) y ? ? 4 cos x 3) y ? lg sin x
练习: 1、函数 y= ? sin
x 的定义域_______ 3

2.求函数的定义域: y ?

1 1 ? cos x

3、f(x)的定义域为[0,1) f(cosx)的定义域______ ,

例:求下列函数的最值,并指出分别什么时候取到最值. 1) y=-2sinx; 2) y=sin2x+1; 2 3) y=sin x+2sinx

3.周期性: 周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个 值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的

周期.。 (观察图象)正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下: 1? 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2? 规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) ; 3? 这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 可以说明. 当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 4? 2 ? ,4 ? 等叫做函数 y=sinx 的周期. 有关周期函数的说明: 1)对于周期函数来说,如果所有的周期中存在一个最小的正数,就称它为最小正周期。 2)并不是所有周期函数都存在最小正周期; 3)周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义域无下界; 4) “每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) ; 5)周期函数的周期不止一个,若 T 是周期,则 kT(k?Z)一定也是这个函数的周期。 问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?
6

?

2? ? 2? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 6 3

(2)正弦函数 y ? sin x , x ? R 是不是周期函数,如果是,周期是多少? (3)若函数 f ( x) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x) 的周期吗?为什么?
*

同理当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? cos(x ? 2k? ) ? cos x ? f ( x) . y=cosx 周期为 2k? ( k ? Z ) ,最小正周期为 2 ? 例:求下列函数的周期:

1) y ? 3 cos x 2) y ? sin 2 x 1 ? 3) y ? 2 sin( x ? ) 2 6

思考:函数y ? sin(?x ? ? )的周期是什么? ? T

2?

?

例:求下列函数的周期:

1 ? 1)y ? sin( x ? ) ? 4 2) y ? sin(?2 x ?

?

4

)

练习:求下列函数的周期: 1) y ? 2 sin( 2) y ? sin(

?

1 ? x? ) 2 4 x ? 3)

2

3) y ? cos( ?2 x ?

?
6

)

例:求函数y ? 2 sin(2 x ?
思考得到这类题的周期。

?
6

) 的最小正周期。

例:求证:y ? sin x ? cos x 的最小正周期为

?
2

思考:为了使 y=sinω x(ω >0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值,则ω 的最小值 是( ) 。

练习:(1)函数 y ? sin(?x ?

?
4

) 的图像相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求 ? 的值. 3

(2)直线 y ? 1 与函数 y ? sin(?x ? 周期.

?
4

) 的图像相邻两交点之间的距离等于

? ,求 ? 的值和 3

( 3) 已 知 函 数 y ? sin(?x ?

?
4

) , 若 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成 立 , 且

? | x1 ? x2 | 的最小值为 ,求 ? 的值 6

(4)设函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0? ,将 y ? f ?x ? 的图像向右平移 的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 (A)

? 个单位长度后,所得 3

1 3

(B)3

(C)6

(D)9

注:有关三角函数的周期性: 1)y=Asin( ?x ? ? ) ? k T=

2? ?

2)若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x),其中 a>0,则 f(x)的周期为 2a;

3)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),其中 a>0,且 f(x)为奇函数,则 f(x)的周期为 4a; 4)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),其中 a>0,且 f(x)为偶函数,则 f(x)的周期为 2a; 5)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=

f ( x) ? 1 ,其中 a>0,则 f(x)的周期为 4a; f ( x) ? 1 1 ,其中 a>0,则 f(x)的周期为 2a; f ( x)

6)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=

7)若函数 f(x)同时关于 x=a 与 x=b 对称,其中(a<b),则 f(x)的周期为 2(b-a); 8)若函数 f(x)同时关于(a,0)与(b,0)对称,其中(a<b),则 f(x)的周期为 2(b-a); 9)若函数 f(x)关于(a,0)对称,同时关于 x=b 对称,其中(a<b),则 f(x)的周期为 4(b-a); 10)若函数 f(x)满足 f(x+b)=f(x+a),,则 f(x)的周期为 b-a; 例:已知函数 f(x)是奇函数,6 是 f(x)的一个周期,而且 f(-1)=1,求 f(5). -1

例:已知偶函数 y=f(x)满足条件 f(x+1)=f(x-1),且当 x ? [?1,0] 时, f ( x ) ? 3 ?
x

4 ,求 9

f (log5 ) 的值。1 1
3

例 3:判断下列函数是否为周期函数;若存在最小正周期,请求出. 1) y=sin2x; 2) y=sin(2x+4); 3) y=sin(x/2 +5) 4) y=|sinx|; 5) y=sin|x|; 6) y=sin|x+

? | 2

三角函数的图像与性质(第三课时) ---正余弦函数的性质

学习目标:
掌握正余弦函数的单调性,并能求出正、余弦函数的单调区间. 4.单调性:

? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 2 2 ? 3? 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 2 2 ? ? ? 3? 到-1.即[- +2kπ , +2kπ ] ? (k∈Z) ;[ +2kπ , +2kπ ] ? (k∈Z) 2 2 2 2 2)余弦函数在每一个闭区间[2kπ ,? +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1; 在每一个闭区间[ ? +2kπ ,2 ? +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1.
1)正弦函数在每一个闭区间[- 即[2kπ , ? +2kπ ] ? (k∈Z) ;[ ? +2kπ ,2 ? +2kπ ] ? (k∈Z) 例:求下列函数的最大值和最小值,并写出取得最大值和最小值时的 x 的取值集合。

1) y ? cos x ? 1

1? x ? R ,

2? x ? [ ?

? ?

, ] 3 4

2) y ? ?3 sin 2 x

1? x ? R

2? x ? [ ?

? ?

, ] 3 4

1 ? 3) y ? ? sin( x ? ) ? 3 3 6

? 1 4) y ? 5 cos( ? x) ? 1 4 2

3 1 5)若y ? a ? b cos3 x的最大值为 ,最小值为? ,求y ? 2a sin x ? b的最值。 2 2

练习:已知函数 y=asinx+b 的最大值为 3,最小值为 2,求 a,b.

练习:求函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

x ? [?

? ?

, ]的值域。 6 6

练习:求函数 y ?

3 sin x ? 1 的值域。 sin x ? 2

例:确定下列函数的单 调区间: 1) y ? 1 ? cos 2 x 2) y ? sin 3x

1 ? 3) y ? sin( x ? ) 2 3

x ? [?2? ,2? ]

1 ? 4) y ? sin(? x ? ) 2 3

x ? [?2? ,2? ]

例:利用三角函数的性质比较下列各组数的大小:

) 18 10 23 17 2) cos(? ? )与 cos(? ? ) 5 4 7 7 3) ? ? ) cos( ? ) cos( 8 6 4) cos 217?与 cos(?1220?) 5) 1, sin 2, sin 3 sin 提问:在 ?ABC 中,sinA>sinB>sinC,则角 A、B、C 的大小关系是( 1 例:解不等式 sin x ? ,x ? [0,2? ],若 x ? R呢? 2

1)sin (?

?

)与 sin(?

?

) 。

例:设 sinx=5t-1 求的范围。

练习:1、求函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) 的单调增区间(或在区间 [0, ?] 上的单增区间).

2、 ? 、 ? 、 ? 均为锐角,若 sin ? ? 是( ) B. ? ? ? ? ?

1 3 , tan? ? 2 , cos ? ? ,则 ? 、 ? 、 ? 的大小顺序 3 4
D. ? ? ? ? ?

A. ? ? ? ? ?

C. ? ? ? ? ?

练习:1、求函数 f ( x) ? 2 sin( ?2 x ?

?
3

) 的单调增区间.

2、 观察余弦曲线,写出满足 cos x ?

1 的 x 的区间 2

3、函数 y ? sin?

?? ? ? 2 x ? 的单调递减区间是( ?3 ? ,2k? ? 5? ? ,k ? Z 12 ? ? ? ?



A. ?2k? ?

? ? ? ?

?
12

B. ?4k? ?

5? 11 ? ? ,4k? ? ,k ? Z 3 3 ? ?

C. ?k? ?

5? 11 ? ? , k? ? ,k ? Z 12 12 ? ?


D. ?k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? ,k ? Z 12 ? ?

4、下列不等式成立的是( A. sin ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? 18 ? ? 10 ? ? 33? ? ? 17? ? ? ? cos? ? ? ? 5 ? ? 4 ?

B. sin 3 ? sin 2

C. cos? ?

D. cos

7? 16? ? cos 5 5


5、若函数 y ? sin x ? 1 在区间 ? a,

? ?? 上是增函数,则 a 的取值范围是( ? 2? ?
C. ? ?

A. ? ??,

? ?

??
? 2?

B. ? ??, ?

? ?

??
? 2?

? ? ? ,0 ? 2 ? ?
) C. ?? ,

D. ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

6、函数 y ? cos x 的一个单调增区间是( A. ? ?

? ? ?? , ? 4 4? ?

B. ?

? ? 3? ? , ?4 4 ? ?

? ?

3? ? 2 ? ?

D. ?

? 3? ? , 2? ? ? 2 ?

7.比较大小

? ? ___ sin 3 4 ? ? (3) cos ___ cos 3 4
(1) sin

(2) sin 250 (4) cos

?

sin 260?
cos 14? 9

15? 8

8、判断下列各命题的真假 ① 若 x,y 是第二象限角,x<y,则 sinx<siny; ②若 A、B 是三角形 ABC 的两内角,A<B,则 sinA<sinB 9、解下列方程或不等式; 1)sinx=

1 ; 2 1 2

2)sin x=

2

3)sinx>0.5

三角函数的图像与性质(第四课时) 学习目标:掌握正、余弦函数的奇、偶性,对称性的判断, 5.奇偶性: 1)正弦曲线关于原点对称,及定义域关于原点对称且 f(-x)=-f(x)所以函数 y=sinx,x∈R 为奇函数; 2)余弦曲线关于 y 轴对称,及定义域关于原点对称且 f(-x)=f(x),所以函数 y=cosx,x∈R 为偶函数. 例:求下列函数的奇偶性:

5 1) f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ) 2

2)f ( x) ? 2 sin x ? 2

3)f ( x) ? lg

1 ? sin x 1 ? sin x

练习:若函数 ? sin(x ? ? )(0 ? x ? ? )是R上的偶函数,则 ? _______ y ? .

练习:y=5sin(2x+θ )的图象关于 y 轴对称,则θ =_____

练习:判断下列函数的奇偶性

?1?y ? cos x ? 2 ?2?y ? sin x cos x

6、对称性: 1)y=sinx 的对称轴为 x=

?
2

? k? ,k∈Z;对称中心为 (k? ,0) ,k∈Z ;

2)y=cosx 的对称轴为 x=k ? ,k∈Z;对称中心为 ( 例:函数 y ? sin A x?0

?
2

? k? ,0) ,k∈Z 。

1 x 的图象的一条对称轴的方程是______ 2

B x?

?

2

C x ??

D

x ? 2?

例:设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 的一条对称轴是直线 x ? 的值。 练习:下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin(2 x ? 6) B. y ? sin(

?
8

.求 ?

x ? ? ) 2 6

? 对称的是( ). 3 ? ? C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 6 3

总结:请你把正余弦函数的性质总结到笔记本上。 课后练习题 1.不等式 cos x ? 0, x ? A. ?0, ? ?

?0,2? ? 的解集为(
C. ? ? , 3? ? ?2 2 ? ? ?

) D. ? ? , 3? ? ? ? ?2 2 ?

B. ?0, ? ?

2.用“五点法”画函数 y ? cos x, x ?[0,4? ] 的简图时,正确的五个点是( A. (0,0), (? ,1), (2? ,0), (3? ,?1), (4? ,0) C. (0,1), (? ,0), (2? ,?1), (3? ,0), (4? ,1)



B. (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ? ,?1), (2? ,0) D. (0,1), (

?

?

2

3 2

3 ,0), (? ,?1), ( ? ,0), (2? ,1) 2 2
) D. [

3. 已知 x ? (0,2? ),函数y ? sin x ? ? cos x 的定义域为( A. [0, ? ] 4.如果 cos x ?

? 3? B. [ , ] 2 2

C. [ , ? ] 2 )

?

3? ,2? ] 2

m?4 4 m

有意义,则 m 的取值范围是( B. m ? 4 C. m ? 4

A. m ? 4

D. m ? 4

5. 下列叙述中正确的个数为(

)[来源:Zxxk.Com]

①作正弦、余弦函数图像时,单位圆的半径长与 x 轴上的单位可以不一致。 ② y ? sin x, x ? [0,2? ] 的图像关于点 P (? ,0) 成中心对称图形。 ③ y ? cos x, x ? [0,2? ] 的图像关于直线 x ? ? 成轴对称图形。 ④正弦、余弦函数 y=sinx,y=cosx 的图像不超出两直线 y=-1,y=1 所夹的范围。 A.1 B.2 C.3 D.4

6. 若函数 y ? 2 cos x(0 ? x ? 2? ) 的图像和直线 y=2 围成一个封 闭的平面图形,则这个 封闭图形的面积为( ) A.4 B.8 . C. 2? D. 4?

7. 下列命题中正确命题的序号是

? (1)y=cosx 的图象向左平移 ,得 y=sinx 的图象 2
(2)y=sinx 的图象向上平移 2 个单位,得 y=sin(x+2)的图象 (3)y=cosx 的图象向左平移φ 个单位,可得 y=cos(x+φ )的图象

? ? )的图象由 y=sinx 的图象向左平移 个单位得到 3 3 4 7 8. 比较 cos 4, cos ? , sin ? 的大小. 5 6
(4)y=sin(x+

自我检测: 1.函数 y=1+cosx 的图象
A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 ) ,对称轴是(





D.关于直线 x=

2.函数 y ? sin(2 x ? 单调递增区间是(

?
4

? 对称 2
) ,

) 的周期是(
) .

) ,对称中心是(

3.函数 y ? sin ? A

?1 ? x ? 3 ? 的最小正周期是( ?2 ?




π 2



π






( C.x= )

4. 函数 y=sin 2x+ ( A.x=-

5? ) 图象的一条对称轴方程是 2
B.x=-

? 2

? 4

? 8
( )

D.x=

5? 4

5.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图象 3?
B、关于直线 x ?

A、关于点 ? ,? 对称 0

?π ?3 ?π ?4

? ? ? ?

π 对称 4 π 对称 3
( ) D. ? ,? ? ?6 ? )

C、关于点 ? ,? 对称 0 6. 函数 y ? 2 sin(

D、关于直线 x ?

?
6

? 2 x), ( x ? ?0, ? ?) 为增函数的区间是

A. ?0, ? 3

? ?? ? ?

B. ? , 12 12 ?

? ? 7? ? ? ?

C. ? , ? ?3 6 ?

? ? 5? ?

? 5?

?

7.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R ) ,下面结论错误的( ..

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称 8.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是 A. ? ? , ?

B.函数 f ( x ) 在区间 ? 0, D.函数 f ( x ) 是奇函数 ( C. ? ?, ?

? ?? 上是增函数 ? 2? ?



? ? ?? ? ? ??

B. ? , ?

? ? 3? ? ?? ? ?

? ?

?? ? ? ?

D. ?

? 3? ? ,? ? 2 ? ? ?

9.设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离 的最小值 A 2π 10. f ( x) ? cos( ?x ?

? ,则 f (x) 的最小正周期是 4
B π C

? 2

D

? 4


?
6

) 最小正周期为

? ,其中 ? ? 0 ,则 ? ? 5


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