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函数突破 10.函数图象
例 1:对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a -x),(1)求证 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称; (2)若函数 f(x) 对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2-x),且方程 f(x)=0 恰好有四个 不同实根,求这些实根之和.. (1)证明:设(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,则

y0=f(x0), 又 f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)= f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在 函数的图象上, 而

3.已知 f(x)=log2(x+1),将 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位,
再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 变),得到函数 y=g(x)的图象,则函数 F(x)=f(x)-g(x)的最 大值为_.

(2a ? x0 ) ? x0 =a,∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0) 2

关于直线 x=a 对称,故 y=f(x)的图象关于 x=a 对称. (2)y=f(x)关于 x=2 对称,若 x0 是 f(x)=0 的根,则 4-x0 也是 f(x)=0 的根,由对称性,f(x)=0 的四根之和为 8. 练习:已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图,求 b 的范 围 法一: f(x)图象过 (0, 和(1, f(0)=0,得 d=0,, 0) 0), f(1)=a+b+c ①,又有 f(-1)<0,即-a+b-c<0②,①+②得 b<0, 法二:f(0)=0 有三根,∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x- 2)=ax -3ax +2ax,∴b=-3a,∵a>0,∴b<0. 例 2:如图点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上,它们的 横坐标分别是 a、a+1、a+2.又 A、B、C 在 x 轴上的射影分 别是 A′、 B′、 C′,记△AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′ 的面积为 g(a). (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论.
解:(1)连结 AA′、BB′、CC′,则
3 2

解:g(x)=2log2(x+2)(x>-2)
F (x) ? log 2 x ?1 1 1 ? log 2 2 ? log 2 (x ? ?1) 1 ( x ? 2)2 x ? 4x ? 4 x ?1? x ?1 x ?1

∴ F(x) ≤ log

1
2

1 2 ( x ? 1) ? ?2 x ?1

? log 2

1 =-2 当且仅当 4

x+1=

1 ,即 x=0 时取等.∴F(x)max=F(0)=-2. x ?1

4.如图在 y=lgx 的图象上有 A、B、C 三点,它们的横坐标 分 别 为 m,m+2,m+4(m>1).(1) 若 △ ABC 面 积 为 S , 求 S=f(m);(2)判断 S=f(m)的增减性.

解(1)S△ABC=SAA′B′B+SBB′C′C-S 梯形 AA′C′C. (2)S=f(m)为减函数
5.如图函数 y=

3 |x|在 x∈[-1,1] 2 3 )是△ABC 2

f(a)=S△AB′C=S 梯形 AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B = 1 ( a ? a ? 2 ),
2

的图象上有两点 A、 AB∥Ox 轴, B, 点 M(1, m)(m∈R 且 m>

g(a)=S△A′BC′= 1 A′C′·B′B= 2

a ?1 .

的 BC 边的中点.(1)写出用 B 点横坐标 t 表示△ABC 面积 S 的函数解析式 S=f(t);(2)求函数 S=f(t)的最大值,并求出相 应的 C 点坐标. 解:(1)设 B(t,

(2) f (a ) ? g (a ) ?

1 [( a ? 2 ? a ? 1) ? ( a ? 1 ? a )] 2 1 1 1 ? ( ? )?0 2 a ? 2 ? a ?1 a ?1 ? a

3 3 t),A(-t, t)(t>0),C(x0,y0). 2 2

课后强化: 1.当 a≠0 时,y=ax+b 和 y=bax 的图象只可能是( A )

3 t ? y0 t ? x0 ∵M 是 BC 的中点.∴ =1, 2 =m. 2 2

2.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等 跑累了,再走余下的路,下图中 y 轴表示离学校的距离,x 轴表示出发后的时间,则适合题意的图形是(D)

3 t.在△ABC 中,|AB|=2t, 2 3 AB 边上的高 hAB=y0- t=2m-3t. 2 1 1 ∴S= |AB|·hAB= ·2t·(2m-3t), 2 2
∴x0=2-t,y0=2m- 即 f(t)=-3t2+2mt,t∈(0,1). (2) ∵ S= - 3t2+2mt= - 3(t -

m 2 m2 )+ ,t ∈ (0,1 ] , 若 3 3

—1—

m ? ?0 ? 3 ? 1 ,即 ? ? ?m ? 3 ? 2 ?

3 m2 m <m≤3,当 t= 时,Smax= ,相应的 C 点 3 2 3

1 .(2)b=4 时,交点为(5,4);b=0 时, x?4 9 交点为(3,0).(3)不等式的解集为{x|4<x< 或 x>6 } . 2
解(1)g(x)=x-2+

坐标是(2-

m 3 m , m),若 >1,即 m>3.S=f(t)在(0,1]上是 3 2 3
2 -1(x∈R)的反函数,函数 g(x) 10 ? 1
x

增函数,∴Smax=f(1)=2m-3,C 点坐标(1,2m-3). 6.已知函数 f(x)是 y=

的 图 象 与 函 数 y= - F(x)=f(x)+g(x).

1 的图象关于 y 轴对称,设 x?2

(1)求函数 F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A、B, 使直线 AB 恰好与 y 轴垂直?若存在,求出 A、B 的坐标; 若不存在,说明理由.

1? x 1 (-1<x<1 ) .g(x)= , 1? x x?2 1? x 1 ∴F(x)=lg + ,定义域为(-1,1). 1? x x ? 2 1? x 2 (2)用定义可证明函数 u= =-1+ 是(-1,1)上的 1? x x ?1
解(1)f(x)=lg 减函数,且 y=lgu 是增函数.∴f(x)是(-1,1)上的减函数, 故不存在符合条件的点 A、B.
2 7.已知函数 f1(x)= 1 ? x ,f2(x)=x+2,

(1)y=f(x)= ?

? f1 ( x ), ?3 ? f 2 ( x ),

x ? [?1,0) x ? [0,1]

,试画出 y=f(x)的图象并求

y=f(x)的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积; (2)若方程 f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根,求实数 a 的范

围.(3)若 f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1,
? ? .解:(1)y=f(x)= ? 1 ? x , x ? [ ?1,0) .图略.
2

1 ] ,求 b 值. 2

?? x ? 1, x ? [0,1] ?

y=f(x)的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+ (2)a 的取值范围:2-

2 )π.

2 <a≤1.

(3)若 f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1,

1 5? 3 ] ,得 b= . 2 2

8.设函数 f(x)=x+

1 的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的 x

图象为 C2,C2 对应的函数为 g(x). (1)求 g(x)的解析表达式; (2)若直线 y=b 与 C2 只有一个交点, 求 b 的值,并求出交点坐标; (3)解不等式 logag(x)<loga

9 (0<a<1). 2
—2—


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