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工程材料力学总复习资料




(压) A
FN



转 A T n

平 面 弯 曲 M M>0 F >0 x—平行于杆轴 S
A FS

内 力

FN > 0

Tn > 0 x—杆轴

x—杆

轴 x
应 力
s?
FN ( x) A

tr
O

s

s

Tn r t (r ) ? Ip

t
My s x? Iz

x

? F S yt ? S z y bI z

变 形

L

A

B

n
f

q

x

FN ( x) dL ? ? dx L EA( x )

? AB

Tn ?? dx L AB GI p

n? f M ( x) f ??( x)?? q? f?
EI

拉 强 度 条 件 刚 度 条 件

(压)





平 面 弯 曲

FN max Amin ? [s ] FN max ? A[s ]

s max ?[s ]

t max ?[t ]
| Tn |max Wt ? [t ] Tn |max ? Wt [t ]

s max ?[s ] t max ?[t ]
M max Wz ? [s ] M max ?Wz [s ]
| f max | ? f ? ?? ? L ?L?

?max ? [? ]

q max ?[q ]









以A点左侧部分为对象,A点的内力由下式计算: (其中“Pi、Pj”均为A 点左侧部分的所有外力)


压 扭 转 平 面 弯 曲

FNA ? ? P i (?) ?? Pj (?)
T An ? ? m i ( M

) ?? m j (

)

??? ??Pj ?? QA ? ??P i

M A ? ??mA ( P i)

????m

A

( Pj )

?

一、拉伸、压缩
当杆件受到与其轴线重合的外力作用时,将会产生轴向拉 伸或压缩变形。

受力特点:外力合力作用线与杆轴线重合。 变形特点:杆件沿轴线方向伸长或缩短。 应力集中:由于构件截面尺寸剧烈变化引起的应力局部升 高的现象。
应力

变形

FN ( x) s? A FN l ?l ? EA

x

s

三种不同情况下的强度计算 ? 强度校核:在已知荷载、构件尺寸和材料的情况下,构件是否 满足强度要求,由下式检验 FN s? ? [s ] A ? 设计截面:已知荷载情况、材料许用应力,构件所需横截面面 积,用下式计算。 FN

A?

[s ]

? 计算许用荷载:已知构件几何尺寸和材料许用应力,则构件 的最大轴力可用下式计算

FN ? [s ] A

静不定问题的求解步骤 1. 建立平衡方程,确定内外力的静力关系;

2.
3. 4. 5.

建立几何方程,确定各杆间的变形协调关系;
建立物理方程,确定各杆的力与变形的关系; 联立几何方程与物理方程,导出补充方程; 联立平衡方程与补充方程,求出未知力。

低碳钢试件在拉伸时的力学性能

sp —— 比例极限:应力应变成正比例关系的应力最大值。 se —— 弹性极限:试件只发生弹性变形的应力最大值。

ss —— 屈服极限:(下屈服点的应力值)出现大的塑性变形的应力值。 sb —— 强度极限;材料所能承受的最大应力。
s
sb
E C F

实验时注意 断口特点

ss D C ' se B sp A

颈缩阶段 颈缩现象

O

?

P P

P

P
P Q

剪切面

二、剪切和挤压 1)剪切:受力特点:外力大小相等、方向相反、相距很近、垂 直于轴线。

变形特点: 在平行外力之间的截面,发生相对错动变形。
2)挤压:挤压变形:连接件在压力作用下而出现局部压陷变形

挤压面:两构件的接触面叫挤压面。

三、扭转
直杆在若干个横截面上受到转向不同的外力偶作用而产生 的变形。 外力特点:在垂直于杆轴的平面上作用有力偶。 变形特点:杆上各个横截面均绕杆的轴线发生相对转动。 应力

Tn r t (r ) ? Ip Tnl ?? GI p

tr
O

变形

强度条件

T t max ? ? [t ] Wt
T ? [t ] 是否成立? Wt

解决三类强度问题 ?校核强度已知T 、D 和[τ],确定t max ? ?设计截面已知T 和[τ],由
T ? Wt ? [t ]

r max

Iz

确定截面尺寸.

?确定许可载荷已知D 和[τ],由 确定外载荷. 刚度条件

T ? [t ] ? Wt ? [t ] ?

r max

IZ

T 1800 ?max ? ? [? ] GI P ?

?

m

也可解决三类刚度问题

2、传动轴AC如图所示,主动轮A传递的外力偶矩 M e1 ? 1 kN ? m
从动轮B、C 传递的外力偶矩分别为 M e2 ? 0.4 kN ? m
M e3 ? 0.6 kN ? m ,已知轴的直径为 d ? 4 cm ,各轮的间距

l ? 50 cm ,切变模量 G ? 80 GP a

(1) 试合理布置各轮的位置; (2) 试求各轮在合理位置时轴内的最大切应力。 解: ( 1 )各轮比较合理的位置是: 轮Ⅰ位于中间。在这种情况下 轴的最大扭矩为0.6 kN. m。
M e1 A l M e2 B l Me3 C

(2)轮在合理位置时的最大剪应力:

T T 600?16 t max ? ? ? ? 47.8MPa 3 1 WP ? ? d 3 3.14? 0.04 16
( 3 )轮在合理位置时的最大扭 转角

? max

T ?l ? ? GI P

600 ? 0.5 ? 0.015 rad 4 ? ? 0.04 9 80 ? 10 ? 32

四、平面弯曲:
当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时,梁 的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。

外力特点:在梁的纵向对称面内有力偶或垂直于梁轴线的力作用。 变形特点:梁的轴线由直线变为平面曲线

应力

My s x? Iz

s
M max ? [s ] WZ M max WZ ? [s ]

t
y

x

三类强度计算: ? 校核强度 ? 设计截面

? 计算最大荷载

M max ? WZ [s ]

变形

n? f
f ??( x)?? M ( x) q? f? EI
f

n

q

x

矩形截面和圆形截面的惯性矩 矩形截面
bh3 I z bh 2 Iz ? , Wz ? ? h 12 6 2 ?d 4 I z ?d 3 Iz ? , Wz ? ? d 32 64 2
IZ ?

h

b

圆形截面

D

? ( D4 ? d 4 )
64

?

? D4
64
4

(1 ? ? 4 )
d D

WZ ?

? D3
32

(1 ? ? )

平行移轴公式

z
a
2

zc

I y ? I yc ? b A I z ? I zc ? a A
2

C
b

yc

O

y

当一个平面图形是由若干个简单的图形组成时,则可用组

合法求图形的惯性矩

I y ? ? I yi
i ?1

n

I z ? ? I zi
i ?1

n

挖空的图形惯性矩取负值

载荷集度、剪力和弯矩的微分关系

d FS ( x) ? q ( x) dx

d M ( x) ? FS ( x) dx

d 2 M ( x) d FS ( x) ? ? q ( x) 2 dx dx

载荷集度、剪力和弯矩的积分关系

FSB ? FSA ? ? q( x) d x
x1

x2

M B ? M A ? ? FS ( x) d x
x1

x2

外 力

无外力段
q=0

均布载荷段
q>0 q<0

集中力
P C

集中力偶
m C

Q FS 图 特 征

水平直线
FS FS

斜直线
FS

自左向右突变
FS FS1 C

无变化
FS C

x
FS<0

x

x

x

FS>0

斜直线 M M1 M M x 图 x x x x x 特 M2 征M M M M 增函数 降函数 盆状 坟状 折向与P同向 M1 ? M2 ? m

增函数 降函数 自左向右折角 自左向右突变 曲线

FS2 FS1–FS2=P

x

x

1:利用微分关系快速作梁的内力图1
q

1.计算约束反力 FBy
a
qa

FAy

4a

? M =0, ? M =0
A B

9 3 FAy= qa , FBy= qa 4 4

2.确定控制面 A、B两个截面、约束力FBy右侧的截面、以及集中力 qa左侧的截面。

q

9 3 FAy= qa , FBy= qa 4 4

FAy
FS
O

4a

FBy

a

qa

3.建立坐标系

9 qa 4
( +)

4.确定控制面
( -)

x

5.画图 确定剪力等于零的 截面位置。

9a / 4

qa

qa

7qa / 4
M

81qa 2 / 32
( +)

qa 2
x

O

2:利用微分关系快速作梁的内力图 F=qa q C
a
FS
O

(1)求约束反力

A
3 qa 2

2a E F B
a/2

B

? M A=0

FB ?

1 qa 2

FA

?
x

5 Fy ? 0 FA= qa 2

(2)建立坐标系 (3)确定控制截面 (4)利用微分关系作图

-qa
M

1 2 qa 8

1 ? qa 2
x

O

? qa2

例4:利用微分关系作梁的内力图。
F=3KN q=2KN/m

M 0 ? 6KN.m

C
1m

FAy

A

D
4m 1m

B

FBy

1、求支座反力

?M

A

?0 ?0

FBy ? 3.8KN
FAy ? 7.2KN

?M

B

F=3KN

q=2KN/m

M 0 ? 6KN .m

FBy ? 3.8KN
B

FAy ? 7.2KN

C
1m

FAy

A

4m

D
1m

FBy

2.1m
FS 4.2KN
x -3.8KN

(2)建立坐标系

(3)确定控制截面 (4)利用微分关系作图

-3KN
M

1.41KN .m

3.8KN.m x

-3KN.m

-2.2KN.m

五、应力分析与强度理论 1、解析法

s x ?s y s x ?s y s? ? ? cos 2? ? t xy sin 2? 2 2

s x ?s y t? ? sin 2? ? t xy cos 2? 2
主平面

tan2? 0 ? ?

2t xy

s x ?s y

2 ? s x ?s y ? s x ?s y ? 2 正应力极值 s max ? ? ? ? ? ? t ? xy ? ? 2 ? 2 ? s min ? ?

s x ?s y 切应力极值面 tg 2?1 ? 2t xy
切应力极值

s x ?s y 2 2 t max ? ? ( ) ? t xy 2 min

2、图解法

s x ?s y , 0) 应力圆圆心坐标 ( 2
半径

s x ?s y 2 2 ( ) ?t x 2

应力圆的绘制 1)选定坐标及比例尺; 2)取x面的两个应力值,定出D(sx , txy)点, 取y面的两个应力值,定出D'(sy , tyx)点; 3)连DD‘交s 轴于C点,以C为圆心,DD’为直径作圆。 n?

t
Dx(sx,tx) o F C K

?

y

?

x

ty

tx

sx

s

sy

Dy (sy,ty)

四种常用强度理论
(第一强度理论) 最大拉应力理论

强度条件 s 1 ?

su
n

? [s ]

(第二强度理论) 最大伸长线应变理论

强度条件
(第三强度理论)最大剪应力理论 (第四强度理论)形状改变比能理论

s1 ? ? (s 2 ? s 3 )] ? [s ]

强度条件

s1 ? s 3 ? [s ]

强度条件
脆性断裂 屈服失效

1 [(s 1 ? s 2 ) 2 ? (s 2 ? s 3 ) 2 ? (s 3 ? s 1 ) 2 ] ? [s ] 2
选用第一、第二强度理论 选用第三、第四强度理论

例题3:一点处的应力状态如图。 已知

s x ? 60MPa, t xy ? 30MPa, ? ? ? 30 。 s y ? 40MPa,

sy

试求(1)? 斜面上的应力;

t xy
?

(2)主应力、主平面;
(3)绘出主应力单元体。

sx

(4)求出极值切应力(或求最大切应力)

(1)? 斜面上的应力

α =-30

s x ? 60MPa,

s y ? 40MPa,

t xy ? 30MPa,

? ? 30?。

sy

t xy
?

s x ?s y s x ?s y s? ? ? cos 2? ? t xy sin 2? 2 2
60 ? 40 60 ? 40 ? ? cos( ?60 ? ) ? 30 sin( ?60 ? ) 2 2

sx

? 9.02 MPa

t? ?

s x ?s y

2 60 ? 40 ? sin( ?60 ? ) ? 30 cos( ?60 ? ) 2

sin 2? ? t xy cos 2?

? ?58.3MPa

(2)主应力、主平面

s x ? 60MPa,

s y ? 40MPa,

t xy ? 30MPa,

sy

t xy
?

s x ?s y s x ?s y 2 2 s max ? ? ( ) ? t xy 2 2
? 68.3MPa

s x s ? s x ? s y ? (s x ? s y ) 2 ? t 2 min xy 2 2
? ?48.3MPa

s 1 ? 68.3MP a, s 2 ? 0, s 3 ? ?48.3MP a

s x ? 60MPa,

s y ? 40MPa,

t xy ? 30MPa,

sy

主平面的方位:

t xy
?

tg 2? 0 ? ?

2t xy

sx

? 60 ?? ? 0. 6 60 ? 40
? 0 ? 15.5? ,

s x ?s y

代入 s ? 表达式可知

? 0 ? 15.5? ? 90? ? 105.5?

? s ?0 ? 15.5 主应力 1 方向: ? .5 主应力 s 3 方向:?0 ? 105

(3)主应力单元体:
sy

s3
t xy
?

s1
15 .5?

sx

第一组

?
任何截面、任何变形、任何应力状态

第二组

?

σ x或σy等于零的任何截面、任何变形的二向应力状态
第三组

?

圆截面、弯扭组合变形

? ? ? ?

一、判断题(共10分,每小题2分)。 二、单项选择题(共 15分,每小题3分 ) 三、作图简答题(共 35 分)。 四、计算题(共40分)。

? ? ? ? ?

三、作图简答题(共 35 分)。 1.受力分析(8分)力偶只能和力偶平衡 2.轴力图(5分) 例如 p162,8-1 3.扭矩图(10分) 例如p189,9-1,9-4 4.弯曲内力图(12分) p211,10-5 bd


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