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四川省德阳市2015届高三一诊模拟考试(一)数学文试题


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德阳市高中 2015 届高三一诊模拟考试(一)

数 学(文史类)
第Ⅰ 卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x x ? 1}, B ? {0,1,2,4} ,则 (CR A) (A) 2.复数

B ?(

) (D) ?

{2 , 4}

(B) {0}

(C) {0,1}

2i ? 2?i 2 4 2 4 2 4 (A) ? ? i (B) ? i (C) ? i 5 5 5 5 5 5 3.下列说法正确的是 (A) “ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 是奇函数”的充要条件

2 4 (D) ? ? i 5 5

2 (B)若 p : ? x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ? x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 (C)若 p ? q 为假命题,则 p,q 均为假命题 ? 1 ? 1 (D) “若 ? ? ,则 sin ? ? ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ” 6 2 6 2 4.以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)

已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x , y 的值分别为 (A) 5,2 (B)5,5 (C) 8,5 (D)8,8 )

2sin2B-sin2A 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则 的值为( sin2A 1 1 7 (A)- (B) (C)1 (D) 9 3 2 ? y ? x, ? 6. 已知不等式组 ? y ? ? x,(其中 a ? 0 ) 表示的平面区域的面积为 4, 点 P(x,y ) ?x ? a ? 在该平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 (A)9 (B)6 (C)4
2

(D)3 )

7.函数 f ( x) ? ( x ? 2) ln(x ? 4x ? 4) ? ( x ? 2) ln 4 的零点个数为(
·1 ·

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(A)2

(B)1

(C)3

(D)0

8.已知实数 x ? [1, 10] ,执行如右图所示的程序框图,则输出 x 的值不小于 55 的概率为 2 4 1 5 (A) (B) (C) (D) 9 9 9 9 2 y 9.设 P 是双曲线 x2 ? 右焦点,△ PF1 F2 的 ? 1 上除顶点外的任意一点,F1 、F2 分别是双曲线的左、 4 内切圆与边 F1 F2 相切于点 M,则 F1M ? MF2 ? (A)5 (B)4 (C)2 (D)1 10.已知函数 f ( x) ? 1 ? 的取值范围是 1 (A) [? ,0] 2

m ,若 ?a, b, c ? R , f (a), f (b), f (c) 为某一个三角形的边长,则实数 m ex ? 1
(C) [1, 2]

(B) [0,1]

1 (D) [? ,1] 2

第Ⅱ 卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.已知 tan ? ? 3 ,则
3cos ? ? sin ? ? ______. 2 cos ? ? sin(? ? ? )

, B ? , CA ? 1 ,则 | 2 AC ? AB |? _____. 2 6 13.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是_____. 12.在 Rt△ABC 中, C ? 14.若两正数 a , c 满足 a ? 2c ? 2ac ? 8 ,则 ac 的最大值为 15.设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,如:[? ] ? 3 , [?4.3] ? ?5 .给出下列命 ① 对任意实数 x ,都有 [ x] ? x ? 0 ; ② 若 x1 ? x2 ,则 [ x1 ] ? [ x2 ] ; ③[lg1] ? [lg 2] ? [lg 3] ? ? [lg100] ? 90 ;

?

?

题:

2x 1 ? ,则 y ? [ f ( x)] ? [ f (? x)] 的值域为 {?1, 0} . x 1? 2 2 其中所有真命题的序号是__________.
④ 若函数 f ( x) ? 三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)已知{an}是首项为 1,且满足 an?1 ? an ? 2 ,Sn 表示{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; 2 (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q -(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. x 17. (本小题满分 12 分)设平面向量 m ? (cos2 , 3 sin x) , n ? (2, 1) ,函数 f ( x) ? m ? n . 2 (Ⅰ )当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围; 3 2 2? ? 13 ? (Ⅱ )当 f (? ) ? ,且 ? ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 3 6 5 3

? ?

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18. (本小题满分 12 分)某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛” ,先在本校进行选拔测 试(满分 150 分) ,若该校有 100 名学生参加选拔测试,并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分 布直方图. (Ⅰ )根据频率分布直方图,估算这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩; (Ⅱ )该校推荐选拔测试成绩在 110 以上的学生代表学校参加市知识竞赛,为了了解情况,在该校推 荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取 2 人,求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同 组的概率.

3 19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 满足: Sn ? an ? n ? 3 . 2 (Ⅰ )求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;
a1 ? 1) ? log ? 1) ? log ( , 1) ( Ⅱ) 令 cn ? log3 ( 对 任 意 n ? N* , 是 否 存 在 正 整 数 m , 使 3 a (2? 3 an ? 1 1 1 m ? ? ? ? 都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. c1 c2 cn 3

20. (本小题满分 13 分)

f ( x) ? x ?1e x (其中 e 为自然对数的底数)的定义域为 (0, ??) . (I)求函数 f ( x ) 在 ?m, m ? 1? ( m ? 0 )上的最小值; 2 (Ⅱ)对 ?x ? (0, ??) ,不等式 xf ( x) ? ? x ? ? x ?1 恒成立,求 ? 的取值范围. a 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? 2 ? ( a 为实数). x
已知函数 (I)当 a ? 1 时,求函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值; (II)若方程 e 围. (III)若 u( x) ? f ( x) ? x ? 2mx ,当 y ? u ( x) 存在两个极值时,求 m 的取值范围,并证明两个
2 2 f ( x)

? 1.5g ( x) (其中 e 为自然对数的底数)在区间[0.5,2]上有解,求实数 a 的取值范

极值之和小于 ? 3 ? ln 2 .
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2015 届高三一诊模拟考试(一) 数学参考答案及评分意见(文史类)
一、选择题:CADCD,BACBD. 二、填空题:11. -6;12. 2;13.

23 ;14. 2; 15.① ②④. 3

三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. 解:(1)因为{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. 故 Sn=1+3+?+(2n-1)= n(a1+an) n(1+2n-1) 2 = =n . 2 2 ?????6 分

(2)由(1)得 a4=7,S4=16.因为 q2-(a4+1)q+S4=0,即 q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而 q=4. 又因为 b1=2,{bn}是公比 q=4 的等比数列, - - - 所以 bn=b1qn 1=2×4n 1=22n 1. b1(1-qn) 2 n 从而{bn}的前 n 项和 Tn= = (4 -1).?????12 分 3 1-q

x 17.解析: (Ⅰ ) f ( x) ? (cos2 , 2

3sin x) ? (2,1) ? 2cos2

x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? 3sin x · 2

? cos x ? 3 sin x ? 1 ? 2sin( x ? ) ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 6

?

? ? ? ? 2? 1 ? ? 当 x ?[? , ] 时, x ? ?[? , ] ,则 ? ? sin( x ? ) ? 1 , 0 ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 3 , 3 2 6 6 3 2 6 6
所以 f ( x) 的取值范围是 [0, 3] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

? 13 ? 4 (Ⅱ )由 f (? ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? ,得 sin(? ? ) ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 6 5 6 5
因为 ?

2? ? ? ? ? ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? ,得 cos(? ? ) ? , · 3 6 2 6 3 6 5
12 分

? ? ? ? 4 3 24 . sin(2? + ) ? sin[2(? ? )] ? 2sin(? ? )cos(? ? ) ? 2 ? ? ? 3 6 6 6 5 5 25
两段可以合并,所以

Tn ?

(2n ? 1) ? 3n ? 1 ,n? N* ???????(12 分) 2

18.解析: (Ⅰ )设平均成绩的估计值为 X ,则:
X ? (20 ? 0.001 ? 40 ? 0.004 ? 60 ? 0.009 ? 80 ? 0.020 ? 100 ? 0.013 ? 120 ? 0.002 ? 140 ? 0.001) ? 20
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? 80 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(Ⅱ )该校学生的选拔测试分数在 [110,130) 有 4 人,分别记为 A,B,C,D,分数在 [130,150) 有 2 人, 分别记为 a,b,在则 6 人中随机选取 2 人,总的事件有(A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,a) , (A,b) , (B,C) , (B,D) , (B,a) , (B,b) , (C,D) , (C,a) , (C,b) , (D,a) , (D, b) , (a,b)共 15 个基本事件,其中符合题设条件的基本事件有 8 个. 故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为 P ?

8 .· · · · · · · · · · 12 分 15

3 19.解析:当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? a1 ? 2 ,解得 a1 ? 4 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 2 3 3 当 n ? 2 时,由 Sn ? an ? n ? 3 得 Sn?1 ? an?1 ? n ? 4 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 2 3 3 两式相减,得 Sn ? Sn?1 ? an ? an?1 ? 1 ,即 an ? 3an?1 ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 2 则 an ? 1 ? 3(an ?1 ? 1) ,故数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 3 为首项,公比为 3 的等比数列. · · · · · 4分
(Ⅱ )由(Ⅰ )知 an ? 1 ? 3n ,

cn ? log3 (a1 ? 1) ? log3 (a2 ? 1) ?
所以

? log3 (an ? 1) ? 1 ? 2 ?

?n?

n(n ? 1) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 cn n(n ? 1) n n ?1 ? ? 1 1 1 1 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? cn 2 2 3 1 1 1 ?( ? )] ? 2(1 ? ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 n n ?1 n ?1



1 1 ? ? c1 c2 1 1 ? ? c1 c2



1 m 1 m ? 对任意 n ? N* 都成立,得 2(1 ? )? , cn 3 n ?1 3

即 m ? 6(1 ?

1 ) 对任意 n ? N* 都成立,又 m ? N* , n ?1

所以 m 的值为 1,2,3. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20.解析:

xe x ? e x , ????1 分 x2 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ;令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 所以,函数 f ( x ) 在(0,1)上是减函数;在 (1, ??) 上是增函数 ????2 分 (I)当 m ? 1 时,函数 f ( x ) 在[m,m+1](m>0)上是增函数,
解: f ?( x) ?

em 所以, f ( x) min ? f (m) ? ????4 分 m 当 0 ? m ? 1 时,函数 f ( x ) 在[m,1]上是减函数;在[1,m+1] 上是增函数 所以, f ( x)min ? f (1) ? e 。 ????6 分
(Ⅱ)由题意,对 ?x ? (0, ??) ,不等式 e ? x ? 1 ? ? x 恒成立
x 2

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e 1 ? x ? ? ? 恒成立 x x x e 1 (e x ? x ? 1)( x ? 1) ? x ? ,则 g ?( x) ? 令 g ( x) ? x x x2 由 g ?( x) ? 0得,x ? 1;由g ?( x) ? 0得,x ? 1 所以, g ( x)min ? g (1) ? e ? 2 。 所以, ? ? e ? 2 .
即 21.解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, ? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?
'

x

????8 分 ????10 分 ????12 分 ????13 分

1 1 x ?1 1 ? 2 ,则 ? ' ? x ? ? ? 2 ? 2 x x x x
'

∵在区间(0,1]上, ? ( x) ? 0 ,在区间[1,+∞)上, ? ( x) ? 0 ∴ ? ( x) 在区间(0,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增 ∴ ? ( x) 的最小值为 ? ?1? ? 0 .?????4 分

(Ⅱ)∵方程 e

2 f ?x?

?

3 ?1 ? g ? x ? 在区间 ? ,2? 上有解 2 ?2 ?

即e

2 ln x

? 3?

3a ?1 ? 在区间 ? ,2? 上有解, 2x ?2 ? 2 3 ?1 ? x 在区间 ? ,2? 上有解......................6 分 3 ?2 ?
2 3 ?1 ? x ,x∈ ? ,2? 3 ?2 ?
'

即 a ? 2x ?

令 h? x ? ? 2 x ?

∴ h ?x ? ? 2 ? 2 x ? 2?1 ? x ??1 ? x ?
' 2

∵在区间 ? ,1? 上, h ( x) ? 0 ,在区间 ?1, 2 ? 上, h ( x) ? 0 2
'

?1 ? ? ?

∴ h( x) 在区间 ? ,1? 上单调递增,在区间 ?1, 2 ? 上单调递减, 2 又 h?

?1 ? ? ?

4 4 ? 1 ? 11 ? ? , h?1? ? , h?2? ? ? 3 3 ? 2 ? 12

∴ h?2? ? h?x ? ? h?1?

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即-

4 4 ? h? x ? ? 3 3

? 4 4? ? a ? ?? , ? ? 3 3?

??????9 分

(Ⅲ)∵ ? ?x ? ? f ?x? ? x 2 ? 2mx ? ln x ? x 2 ? 2mx

? ? ` ?x ? ?

1 2 x 2 ? 2m x ? 1 ? 2 x ? 2m ? x x

? ? ? 4m 2 ? 8 ? 0 即 m ? ? ?,? 2 时, y ? ? ?x ? 存在极值................11 分 ?当 ? ? m ? 0 ?
设函数 y ? ? ?x ? 的极值点为 x1 , x 2 则 y ? ? ?x ? 的极值为 ? ?x1 ?, ? ?x2 ? 则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ?

?

?

1 2

2 2 ? ? ?x1 ? ? ? ?x2 ? ? ln x1 ? x1 ? 2mx 1 ? ln x2 ? x2 ? 2mx 2

? ln x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 2m? x1 ? x2 ?
2

? ? ln 2 ? m 2 ? 1 ? 2m 2 ? ? m 2 ? 1 ? ln 2 ? ?3 ? ln 2
...........................14 分

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