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山东省淄博市第七中学2015届高三数学上学期期中试题 理


山东省淄博市第七中学 2015 届高三数学上学期期中试题 理
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项是正确) 1、设集合 U ? {1 , 2, 3, 4, 5} , A ? {1, 3} , B ? {2, 3, 4} ,则(CUA

)∩(CUB)=( A {1} B {5} C {2, 4} D {1,2,4,5} )

2、已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么 ( A )

??? ? ??? ? ??? ?

???? ???? AO ? OD

B AO ? 2OD

????

????

C

???? ???? AO ? 3OD

D 2 AO ? OD )

????

????

3、下列函数中,以为?最小正周期,且在 [0,

? ]上为减函数的是( 4

? x 2 4 4 A f(x)=sin2xcos2x Bf(x)=2 sin x―1 Cf(x)= cos x―sin x Df(x)=tan ( ― ) 4 2 4、已知数列 {an } ,那么“对任意的 n ? N ,点 Pn (n, a n ) 都在直线 y ? 2 x ? 1 上”是“ {an }
*

为等差数列”的( A 必要而不充分条件 C 充要条件

) B 既不充分也不必要条件 D 充分而不必要条件

? 5、将函数 y=sin(x― )上各点的纵坐标不变,横坐标伸长位为原来的 2 倍,然后将图像沿 x 3 轴向左平移?个单位,与所得新图像对应的解析式为( 2? A y=sin(2x+ ) 3 ? B y=sin(2x+ ) 3 x ? C y=sin( + ) 2 6 ) x 5? D y=sin( + ) 2 6

? ? ? 6、设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: ? ? ? ? ? ? ? ① ( a · b ) c ―( c · a ) b = 0 ; ? ? ? ? ② | a |―| b |<| a ― b |

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ③ ( b · c ) a ―( c · a ) b 不与 c 垂直; ④ (3 a +2 b )·(3 a ―2 b )=9| a | ―4| b | 中,是真命题的有( A ①② B ②③
2

) C ③④ D ②④
2 2 2

7. 已知圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的圆心为抛物线 y ? 4 x 的焦点,且与直线

3x ? 4 y ? 2 ? 0 相切,则该圆的方程为 64 64 2 2 2 2 A. ( x ? 1) ? y ? B. x ? ( y ? 1) ? 25 25 2 2 2 2 C. ( x ?1) ? y ? 1 D. x ? ( y ?1) ? 1
8.设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? cos ?? x ? ? ? ? ? ? 0,| ? |? 且 f ? ?x ? ? f ? x ? ,则( )

? ?

??

? 的最小正周期为 ? , 2?

-1-

? ?? ? ? 3? ? B. f ? x ? 在 ? , ? 单调递减 ? 单调递减 ? 2? ?4 4 ? ? ?? ? ? 3? ? C. f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增 D. f ? x ? 在 ? , ? 单调递增 ? 2? ?4 4 ? 3 9.设函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2? 有三个零点 x1、x2、x3 , 且x1 ? x2 ? x3 ,
A. f ? x ? 在 ? 0, 则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 B. x2 ? 0 10.若椭圆 ) C.

0 ? x2 ? 1

D.

x3 ? 2

x2 y 2 x2 y 2 3 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 的渐近线方程为 的离心率为 ,则双曲线 a 2 b2 a 2 b2 2
1 x 2
1 0

A. y ? ?

B. y ? ?2 x

C. y ? ?4 x )

D. y ? ?

1 x 4

11.设 a ? cos xdx, b ? sin xdx, 下列关系式成立的是(
0

?

1

?

a?b a ?b ?1 D 12.如图,函数 y ? f ? x ? 的图象为折线 ABC ,设 g ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ? , 则函数 y ? g ? x ? 的
A B C 图象为(
y
1

a?b

a ?b ?1


y
1 1 -1 1

y

1 B 1

A- . 1

O
-1

B. -1
x

O x A
-1 (第 12 题图)

x C

O
-1

y

y
1

C.
-1

1

D.
x

1

O
-1

-1

O
-1

1

x

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积为

5

6

正视图

侧视图

俯视图

2 14.点 A(3,4) ,点 P 为抛物线 y =4x 上一动点,点 P 到直线 x ? ?1 的距离为 d,则|PA|+d 的 最小值为

15. y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数且在 ?0, ??? 上递增, 不等式 f ? 集为

? x ? ? 1? ? ? f ? ? ? 的解 ? x ?1 ? ? 2?

-2-

16.下列命题中,正确的是

(1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? b ?
0

?

?

?

?

?

?

7

1 ?2 x (3)若命题 p :"?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0" ,则命题 p 的否定为“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 (4) “ a ? 1 是“直线 x ? ay ? 0 与直线 x ? ay ? 0 互相垂直”的充要条件
(2)若 x ? 0, 则x ? 三 解答题(满分 74 分) 17.函数 f ( x) ? A sin(? x ? 间的距离为

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之

? , 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

18. (本题满分 12 分) 2 如图所示的长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 ABCD 是边长为 的正方形, O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ? 2 , M 是线段 B1D1 的中点. (Ⅰ)求证: BM // 平面 D1 AC ; (Ⅱ)求证: D1O ? 平面 AB1C ; (Ⅲ)求二面角 B ? AB1 ? C 的大小.

第 18 题图

-3-

19(本题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,对于任意的自然数 an ? 0 , 4 S n ? ? an ? 1? (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列,并求通项公式 (Ⅱ)设 bn ?

2

an ,求和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 3n

20(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, ?A ? 1200 , (Ⅰ)若三边长构成公差为 4 的等差数列,求 ?ABC 的面积 (Ⅱ)已知 AD 是 ?ABC 的中线,若 AB ? AC ? ?2 ,求 | AD | 的最小值

??? ? ??? ?

????

21.如图、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的一个焦点是 F(1,0) ,O 为坐标原点. a 2 b2

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点。若直线 l 绕点 F 任意转动,恒有

OA ? OB p AB ,求 a 的取值范围.
-4-

2

2

2

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)记 f(x)在区间 ? 0, ?? (n∈N*)上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx。如果对一切 n, 不等式 an p

an? 2 ?

c an? 2

恒成立,求实数 c 的取值范围;

-5-

答案:BACDC 13. 24π

DCACA 14.2 5

AA 15.{X|- <X<1}
? )+1; 6
1 3

16.①③

17.(1) f ( x ) =2sin(2x(2) ? =
? 。 3

18. 解: (1)连接 D1O,如图, ∵O、M 分别是 BD、B1D1 的中点,BD1D1B 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形, ∴D1O∥BM. ∵D1O? 平面 D1AC,BM?平面 D1AC,∴BM∥平面 D1AC. (2) 连接 OB1,∵正方形 ABCD 的边长为 2,BB1= 2 , ∴B1D1=2 2 ,OB1=2,D1O=2, 2 2 2 则 OB1 +D1O =B1D1 ,∴OB1⊥D1O. ∵在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC⊥D1D, ∴AC⊥平面 BDD1B1,又 D1O? 平面 BDD1B1, ∴AC⊥D1O,又 AC∩OB1=O, ∴D1O⊥平面 AB1C. (Ⅲ)在平面 ABB1 中过点 B 作 BE⊥AB1 于 E,连接 EC, ∵CB⊥AB,CB⊥BB1, ∴CB⊥平面 ABB1,又 AB1? 平面 ABB1, ∴CB⊥AB1,又 BE⊥AB1,且 CB∩BE=B, ∴AB1⊥平面 EBC,而 EC? 平面 EBC, ∴AB1⊥EC. ∴∠BEC 是二面角 B-AB1-C 的平面角. 在 Rt△BEC 中,BE=
2 3 ,BC=2 3

∴tan∠BEC= 3 ,∠BEC=60°, ∴二面角 B-AB1-C 的大小为 60°. 19.(1)an=2n-1 20.(1)15 3 (2)Tn=1-(n+1)×( ) (2)1
1 3
n

-6-

21. (Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点,因为△MNF 为正三角形,所以 OF ?

3 MN ,即 1 2



x2 y 2 3 2b ? 1. g , 解得b= 3. a2 ? b2 ? 1 ? 4, 因此,椭圆方程为 ? 4 3 2 3

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1), 因此,恒有 OA ? OB ? AB .
( ⅱ ) 当直线 AB 不与 x 轴重合时,设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1, 代入
2 2 2

2

2

2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2
所 以







(a2 ? b2m2 ) y 2 ? 2b2my ? b2 ? a2b2 ? 0,
2 ? b y y2 . ? 1 2 ?m
2

y1 ?

2b2 y2 ? a2 ?
2

,

m b2
2

2

a a
2

2

b b
2

m2

因为恒有 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角. 即 OAg OB ? ( x1 , y1 )g( x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立.

uur uu u r

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ? ? 2 ?1 a 2 ? b2 m2 a ? b2 m2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 0. a 2 ? b2 m2
又 a +b m >0,所以-m a b +b -a b +a <0 对 m ? R 恒成立, 2 2 2 2 2 2 2 即 a b m > a -a b +b 对 m ? R 恒成立. 2 2 2 2 2 2 2 当 m ? R 时,a b m 最小值为 0,所以 a - a b +b <0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 2 2 因为 a>0,b>0,所以 a<b ,即 a -a-1>0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解得 a>

1? 5 1? 5 1? 5 或 a< (舍去),即 a> , 2 2 2 1? 5 ,+ ? ). 2
1 ?x -1= . 1? x 1? x
-7-

综合(i)(ii),a 的取值范围为(

22. (I)因为 f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+ ? ),且 f′(x)=

由 f′(x)>0 得-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0) ; 由 f′(x)<0 得 x>0,f(x)的单调递增区间为(0,+ ? ). (II)因为 f(x)在[0,n]上是减函数,所以 bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则 an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i)

an ?2 ( an ?2 ? an ) ? n ? 2( n ? 2 ? n ) ? n ? 2

2 n?2 ? n

>

2 n?2 ? 1. n?2 ? n?2
2 2 1? 1? n?2 ?1,

又 lim n ? 2( n ? 2 ? n ) ? lim
x ??

因此 c<1,即实数 c 的取值范围是(- ? ,1].

-8-


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