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2017卓越学案高考总复习·数学文(新课标)第6章第4讲


第六章 数列 第4讲 数列求和 第六章 数列 an与Sn的关系问题 (2015· 高考全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1 1 -n =-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________ . [解析] ∵ an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1, ∴ Sn+1-Sn=SnSn+1. 1 1 1 1 ∵ Sn≠0,∴ S - =1,即 -S =

-1. Sn+1 Sn+1 n n 1 1 又 =-1,∴ {S }是首项为-1,公差为-1的等差数列. S1 n 1 1 ∴ S =-1+(n-1)×(-1)=-n,∴ Sn=-n. n 栏目 导引 第六章 数列 (1)求解an与Sn关系问题的思想方法为:利用关系式an= ? (n=1) ?S1 ? 进行转化. ? ?Sn-Sn-1 (n≥2) (2)求解an与Sn关系问题的常用方法: ①若结论中需要的是通项an型,将Sn转化成an; ②若结论中需要的是求和Sn型,将an转化成Sn; ③利用求出的an代入关系式求出Sn或利用求出的Sn代入关系 式求an. 栏目 导引 第六章 数列 2 1 1.若数列{an}的前n项和Sn= an+ ,则{an}的通项公式是an 3 3 n- 1 ( - 2) =________. 2 1 解析:当n=1时,S1= a1+ =a1,∴a1=1. 3 3 1? 2 2 1 ?2 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= an+ -?3an-1+3?= (an-an-1), 3 3 ? ? 3 an ∴an=-2an-1,即 =-2, an-1 ∴{an}是以1为首项的等比数列,其公比为-2, ∴an=1×(-2)n 1,即an=(-2)n 1. - - 栏目 导引 第六章 数列 3 3 2.Sn是数列{an}的前n项之和,已知an>0,a3 + a +…+ a 1 2 n= S2 n.求数列{an}的通项公式. 3 3 2 解:∵a3 1+a2+…+an=Sn,an>0,① 2 2 ∴当n=1时,a3 = S = a 1 1 1,解得a1=1. 3 2 当n=2时,a3 + a = S 1 2 2,解得a2=2, 当n≥2时, 3 3 2 a3 + a +…+ a = S 1 2 n- 1 n-1,② 栏目 导引 第六章 数列 ①-② 2 2 得a3 = S - S n n n-1=an(Sn+Sn-1) ∴a2 n=Sn+Sn-1③ ∴a2 n+1=Sn+1+Sn④ ④-③得 (an+1+an)(an+1-an)=an+1+an. ∴an+1-an=1, 又∵a2-a1=1, ∴数列{an}是首项a1=1,公差为1的等差数列, ∴an=1+(n-1)×1=n. 栏目 导引 第六章 数列 裂项相消法求数列的前n项和 (2015· 高考全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和.已知an >0,a2 n+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; 1 (2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和. anan+1 栏目 导引 第六章 数列 [解 ] (1)由a2 n+2an=4Sn+3,① 可知a2 n+1+2an+1=4Sn+1+3.② 2 ②-①,得a2 - a + n 1 n+2(an+1-an)=4an+1, 2 即2(an+1+an)=a2 n+1-an=(an+1+an)(an+1-an). 由an>0,得an+1-an=2. 又a2 1+2a1=4a1+3,解得a1

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