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必修1 第二、三章 基本初等函数(1)及函数的零点单元测试卷(解析)


必修① 第二、三章 基本初等函数(1)及函数的零点单元测试
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题)

1. (2014 秋?西山区校级期中)化简:

(a>0,b>0)结果为(



A.a

B.b

C.

>
D.
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考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算;有理数指数幂的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数幂的运算法则即可得出.

解答: 解:原式=

═a.故选:A.

点评: 本题考查了指数幂的运算法则,属于基础题.

2. (2012?蓝山县校级模拟)函数 y=lgx﹣ 的零点所在的大致区间是( A. (6,7) B. (7,8) C. (8,9) D. (9,10) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题.
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分析: 由于函数 y=f(x)=lgx﹣ 在(0,+∞)上是增函数,f(9)<0,f(10)>0,由此得出结论. 解答: 解:由于函数 y=f(x)=lgx﹣ 在(0,+∞)上是增函数,f(9)=lg9﹣1<0,f(10)=1﹣ f(9)?f(10)<0,故函数 y=lgx﹣ 的零点所在的大致区间是(9,10) ,故选 D. 点评: 本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题. 3. (2015?秦州区校级一模)a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.1 的大小关系是( ) A.a>b>c B.c>a>b C.b>c>a D.c>b>a 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 计算题. 0.9 分析: 由指数函数,对数函数的单调性,确定 0<a=log0.70.8<1,b=log1.10.9<0,c=1.1 >1. 0.9 解答: 解:0<a=log0.70.8<1,b=log1.10.9<0,c=1.1 >1.故选 B. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.
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=

>0,

0.9

4.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是( A.y=log2x B.y=5 C.y=x D.y=x 考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用.
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﹣1

x

5

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分析: 运用常见函数的单调性和奇偶性,即可得到既是单调函数,又是奇函数的函数. 解答: 解:对于 A.则为底数大于 1 的对数函数,不具奇偶性,则 A 不满足条件; 对于 B.则为指数函数,不具奇偶性,则 B 不满足条件; 对于 C.则为幂函数,幂指数大于 0,则为 R 上的增函数,且为奇函数,则 C 满足条件; 对于 D.为幂函数,且为奇函数,在 x>0,x<0 上递减,则 D 不满足条件.故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断,考查常见函数的单调性和奇偶性,考查判断能力,属于基础题和 易错题. 5. (2015 春?潮州期末)当 a>1 时,函数 y=a
﹣x

与 y=logax 的图象是(



A.

B.

C.
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D.

考点: 指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由已知的 a>1,得到 <1,根据指数函数和对数函数的图象选择. 解答: 解:由 a>1 知,函数 y=a =
﹣x

为减函数,y=logax 为增函数.故选 A.

点评: 本题考查了指数函数和对数函数的图象;关键是熟记指数函数和对数函数的图象和形状,明确底数与 1 的 关系.
a b

6. (2010?辽宁)设 2 =5 =m,且 A. 考点: 专题: 分析:

,则 m=(



B.10 C.20 D.100 指数式与对数式的互化;对数的运算性质. 计算题;压轴题. 直接化简,用 m 代替方程中的 a、b,然后求解即可.
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解答: 解:

,∴m =10,又∵m>0,∴

2

.故选 A.

点评: 本题考查指数式和对数式的互化,对数的运算性质,是基础题. 7. (2014 秋?合阳县校级期末)已知集合 A={y|y=log3x,x>1},B={y|y=3 ,x>0},则 A∩B=( A. B.{y|y>0} C. D.{y|y>1}
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x



考点: 对数函数的值域与最值;交集及其运算;指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 由条件求对数函数、指数函数的值域,得到 A、B,再利用两个集合的交集的定义求出 A∩B. x 0 解答: 解:由 x>1 可得 y=log3x>log31=0,∴A=(0,+∞) .再由 x>0 可得 y=3 >3 =1,可得 B=(1,+∞) . ∴A∩B=(1,+∞) ,故选 D. 点评: 本题主要考查求对数函数、指数函数的值域,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题. 8. (2012 秋?宁阳县校级月考)为了得到函数 y=lg(x+3)﹣1 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点( A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度
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C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,左加右减,上加下减.
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解答: 解:y=lgx

y=lg(x+3)

y=lg(x+3)﹣1;故选 B.

点评: 本题考查了函数图象的平移变换,属于基础题. 9. (2014 秋?曲沃县校级期中)已知常数 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=a A. (0,1) B. (1,﹣1) C. (1,0) D. (1,1) 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用.
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x﹣1

﹣1 恒过定点(



分析: 根据指数函数的性质,我们易得指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点,再根据函数图象的 平移变换法则,我们易求出平移量,进而可以得到函数图象平移后恒过的点 A 的坐标. 解答: 解:由指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象恒过(0,1)点,而要得到函数 y=a ﹣1(a>0,a≠1)的图 x 象,可将指数函数 y=a (a>0,a≠1)的图象向右平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位.则(0,1)点平移后得到 (1,0)点。故选 C. 点评: 本题考查的知识点是指数函数的图象与性质,其中根据函数 y=a 图象平移变换法则,求出平移量是解答本题的关键.
x﹣1 x x﹣1

x

﹣1(a>0,a≠1)的解析式,结合函数

10. (2011?福建)已知函数 f(x)= A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 考点: 指数函数综合题. 专题: 计算题.
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.若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于(



分析: 由分段函数 f(x)=

,我们易求出 f(1)的值,进而将式子 f(a)+f(1)=0 转化为一个关于

a 的方程,结合指数的函数的值域,及分段函数的解析式,解方程即可得到实数 a 的值. 解答: 解:∵f(x)= 解得 x=﹣3,故选 A. 11. (2015?信阳模拟)幂函数 y=f(x)的图象经过点(4, ) ,则 f( )的值为( A.1 B.2 C.3 考点: 幂函数的性质. 专题: 计算题. D.4 ) ∴f(1)=2,若 f(a)+f(1)=0,∴f(a)=﹣2,∵2 >0,∴x+1=﹣2 ,
x

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分析: 先设出幂函数解析式来,再通过经过点(4, ) ,解得参数,从而求得其解析式,再代入 求 f( )的值.

解答: 解:设幂函数为:y=x

α

∵幂函数的图象经过点(4, ) ,∴ =4

α

∴α=﹣

∴y=

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则 f( )的值为:

.故选 B.

点评: 本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题.幂函数要求较低,属于基础题. 点评: 本题考查的知识点是分段函数的函数值,及指数函数的综合应用,其中根据分段函数及指数函数的性质, 构造关于 a 的方程是解答本题的关键. 12. (2014?东莞二模)已知函数 y=f(x)的图象与 y=lnx 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(2)=( ) 2 A.1 B.e C.e D.ln(e﹣1) 考点: 反函数;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可知函数 y=f(x)是 y=lnx 的反函数,求出函数 f(x)的解析式即可. 解答: 解:∵函数 y=f(x)的图象与 y=lnx 的图象关于直线 y=x 对称,∴函数 y=f(x)是 y=lnx 的反函数,∴f
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(x)=e ,∴f(2)=e .故选 C. 点评: 本题考查了求反函数的值的问题,求出反函数的解析式是解决问题的关键. 二.填空题(共 4 小题) 13. (2015?浙江)若 a=log43,则 2 +2 = 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用.
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x

2

a

﹣a



分析: 直接把 a 代入 2 +2 ,然后利用对数的运算性质得答案. 解答: 解:∵a=log43,可知 4 =3,即 2 =
a a

a

﹣a

,所以 2 +2 =

a

﹣a

+

=

.故答案为:



点评: 本题考查对数的运算性质,是基础的计算题. 14. (2014 秋?瑞安市期中)函数 f(x)=
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的定义域是 {x|x>1 且 x≠2} .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,∴ ,即 ;解得 x>1 且 x≠2,

∴f(x)的定义域是{x|x>1 且 x≠2}.故答案为:{x|x>1 且 x≠2}. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题, 解题时应根据函数的解析式, 求出使解析式有意义的自变量的取值范围, 是基础题. 15. (2014 秋?许昌月考)函数 y=lg(x ﹣4x+5)的值域为 [0,+∞) . 考点: 对数函数的值域与最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 分析: 由题意配方法求 x ﹣4x+5 的取值范围,再利用单调性求值域. 2 2 2 2 2 解答: 解:∵x ﹣4x+5=(x﹣2) +1;∴x ﹣4x+5≥1;故 lg(x ﹣4x+5)≥lg1=0;故函数 y=lg(x ﹣4x+5)的值 域为[0,+∞) .故答案为:[0,+∞) . 点评: 本题考查了配方法及单调性在求函数值域中的应用,属于基础题.
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2

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16. (2012 秋?深圳期中) 已知函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) , 对于命题: ①若 x ? 1 , 则 f ( x) ?0 ; ②若 0 ? x ? 1 , 则 f ( x) ? 0 ;③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 ; ④
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f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) 正确的有

①②④



考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题. 分析: 根据对数的底数大小判定函数的单调性,然后根据单调性和对数的运算性质判定四个命题的真假即可. 解答: 解:∵0<a<1 ∴函数 f(x)=logax 在(0,+∞)上单调递减 ①若 x>1,则 f(x)=logax<loga1=0,故正确; ②若 0<x<1,则 f(x)=logax>loga1=0,故正确; ③函数 f(x)=logax 在(0,+∞)上单调递减,则 f(x1)>f(x2) ,则 x1<x2,故不正确; ④f(xy)=logaxy=logax+logay=f(x)+f(y) ,故正确.故答案为:①②④ 点评: 本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用,同时考查了分析问题的能力,属于基础题. 三.解答题(共 6 小题) 17. (2015 春?临沂校级期中)计算:

? 8 ?3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 2 ?3 4 (1) ? ? +? ? ?? - ? - ? ? ? 27 ? ? 2 ? ? 5 ? ? 3 ? 9
考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 利用指数和对数的运算法则和性质即可计算得解.
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2

-

1

0

2

(2)lg 5﹣lg 2+2lg2+ 3

2

2

log3 2

解答: 解: (1)原式=
2 2

=

=0.…(6 分)

(2)原式=(1﹣lg2) ﹣lg 2+2lg2+2=1+2=3.…(12 分) 点评: 本题主要考查了指数和对数的运算法则和性质,考查了计算能力,属于基本知识的考查. 18.在直角坐标系中分别画出下列函数的简图:

1 x ( ) , ( x ? 0) (1) f ( x) ? 3
19.通过作图求下列函数的零点个数: (1) f ( x) ? 3x -x ? 1

1 (2) f ( x) ? ln x , ( x ? ) e

(3) f ( x) ? ? x

(2) f ( x) ?| log 2 ( x ? 1) | ?2 x ?1

20. (2013?淇县校级一模)已知函数 f(x)有最大值 3,求 a 的值. 考点: 指数函数单调性的应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

(1)若 a=﹣1,求 f(x)的单调区间; (2)若 ,

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分析: (1)a=﹣1,因为 ∈(0,1) ,根据指数函数的单调性,得 t=﹣x ﹣4x+3 的减区间就是 f(x)的增区间, 增区间就是 f(x)的减区间,由此结合二次函数的单调性,不难得出 f(x)的单调区间; (2)根据题意,得 t=ax ﹣4x+3 在区间(﹣∞, )上是增函数,在区间( ,+∞)上是减函数,从而得到 a>0 且 f(x)的最大值为 f( )=3,解之得 a=1.
2

2

解答: 解: (1)a=﹣1,得

,∵ ∈(0,1) ,t=﹣x ﹣4x+3 的增区间为

2

(﹣∞,﹣2) ,减区间为(﹣2,+∞)∴f(x)的减区间为(﹣∞,﹣2) ,增区间为(﹣2,+∞) ; (2)∵f(x)有最大值 3, ∈(0,1) ,∴函数 t=ax ﹣4x+3 有最小值﹣1,∴a>0,∴函数 t=ax ﹣4x+3 在区间(﹣
2 2

∞, )上是减函数,在区间( ,+∞)上是增函数,由此可得,a>0 且 f( )=

=3,得﹣ +3=﹣1,

解之得 a=1,综上所述,当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1 点评: 本题给出指数型复合函数,讨论函数的单调区间并求函数的最值,着重考查了指数函数的单调性和二次函 数的图象与性质等知识,属于基础题. 21.已知函数 f ( x) ? log 2 增函数. -2 +b 22. (2013 秋?芜湖期末)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数.(1)求 b 的值;(2)判断函数 f(x)的单 2 +2 2 2 调性(不用证明) ;(3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数奇偶性的性质;二次函数的性质;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)利用奇函数定义 f(x)=﹣f(x)中的特殊值 f(0)=0 求 b 的值; (2)设 x1<x2 然后确定 f(x1)﹣f(x2)的符号,根据单调函数的定义得到函数 f(x)的单调性; 2 2 (3)结合单调性和奇函数的性质把不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 转化为关于 t 的一元二次不等式,最后由一 元二次不等式知识求出 k 的取值范围.
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1? x , x ? (?1,1) .(1)判断 f ( x) 的奇偶性,并证明; (2)证明 f ( x) 在(-1,1)上是 1? x

x

解答: 解: (1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,即

?b=1,∴



(2)由(1)知

,设 x1<x2 则 f(x1)﹣f(x2)

=



= ,

因为函数 y=2 在 R 上是增函数且 x1<x2

x

∴f(x1)﹣f(x2)= ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数.

>0,即 f(x1)>f(x2) ,

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(3)f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,所以 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 2 2 2 2 2 等价于 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) ,因为 f(x)为减函数,由上式可得:t ﹣2t>k﹣2t . 即对一切 t∈R 有:3t ﹣2t﹣k>0,从而判别式
2

2

2

.所以 k 的取值范围是 k<﹣ .

点评: 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略,是一道 综合题.

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