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福建省泉州市唯思教育高中数学 2.2.3 平面向量的数乘运算(2)学案 新人教A版必修4


福建省泉州市唯思教育高中数学 2.2.3 平面向量的数乘运算(2)学案 新人教 A 版必修 4
【学习目标】 1. 理解并掌 握向量的共线定理; 2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题; 3.培养学生的逻辑思维能力 【学习重难点】 重点: 向量的共线定理; 难点:向量的共线定理; 【自主学习 】 1.向量的线性表示:

? ? ? ? ? ? b ? ? a ,( a ? 0) 若果 ,则称向量 b 可以用非零向量 a 线性表示;

2.向量共线 定理:

? ? 思考:向量共线定理中有 a ? 0 这个限制条件,若无此条件,会有什么结果?
【典型例题】 例 1.如图, D, E 分别是 ?ABC 的边 AB, AC 的中点,

??? ? ??? ? (1)将 DE 用 BC 线性表示; ? ??? ? ??? (2)求证: BC 与 DE 共线;

C

E

B D A

?? ?? ? e , e 例 2. 设 是 两 个 不 共 线 的 向 量 , 已 知 2 ??? ? ?? ?? ? 1??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? AB ? 2e1 ? ke2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A, B, D 三点共线,求 k 的值。

-1-

变式:设 e1 , e2 是两个不共线的向量,已知

?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? AB ? 2e1 ? 8e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,求证: A, B, D 三点共线。

例 3.如图, ?OAB 中, C 为直线 AB 上一点, AC

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? OA ? ? OB 求证: OC ? 1? ?

??? ? ? ? BC ,(? ? ?1),

思考:

(1) 当 ?

? 1 时,你能得到什么结论?

??? ? ??? ? ??? ? OA ? ? OB (2)上面所证的结论: OC ? 表明:起点为 O ,终点为直线 AB 上 一点 C 的 1? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 向量 OC 可以用 OA, OB 表示, 那么两 个不共线的向量 OA, OB 可以表示平面上任意一个向
量 吗?

?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? 2e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ? 3e2 , 其中 e1 , e2 不共线,向量 c ? 2e1 ? 9e2 ,是 ? ? ? ? ? 否存在实数 ? , ? ,使得 d ? ? a ? ? b 与 c 共线
例 4.已知向量 a

?

-2-

例 5.平面直角坐标系中,已知 A(3,1), B(?1,3), 若点 C 满足 OC

??? ?

??? ? ??? ? ? ? OA ? ? OB, 其 中

? , ? ? R, A, B, C 三点共线,求 ? ? ? 的值 ;

【课堂练习】 1.已知向量 a

?

?? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? 2e1 ? 2e2 , b ? ?3(e2 ? e1 ), 求证: a, b 为共线向量;

2.设 e1 , e2 是两个不共线的向量, a 值。

?? ?? ?

?

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 2e1 ? e2 , b ? ke1 ? e2 , 若 a, b 是共线向量,求 k 的

3.求证:起点相同的三个非零向量 a, b,3a ? 2b 的终点在同一直线上。

? ? ?

?

【课堂小结】

-3-

-4-


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