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广东省汕头市2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)新人教A版


2012-2013 学年广东省汕头市高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.) x 1. 分) (5 (2013?南充一模)已知全集 U=R,集合 A={x|0<2 <1},B={x|log3x>0},则 A∩ (?UB)=( ) A.{x|

x>1} B.{x|x>0} C.{x|0<x<1} D.{x|x<0} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 解指数不等式可以求出集合 A,解对数不等式可以求出集合 B,进而求出?UB,根据集 合并集运算的定义,代入可得答案. x 解答: 解:∵A={x|0<2 <1}{x|x<0}, B={x|log3x>0}={x|x>1}, 所以 CUB={x|x≤1}, ∴A∩(CUB)={x|x<0}. 故选 D 点评: 本题考查的知识点是集合的交并补集的混合运算, 其中解指数不等式和对数不等式分 别求出集合 A,B,是解答本题的关键. 2. 分) (5 (2012?焦作模拟) 已知 i 是虚数单位, 则复数 z=i+2i +3i 所对应的点落在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 3



考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 2 3 分析: 根据=i+2i +3i =1﹣2﹣3i=﹣1﹣3i 复数 z 对应的点为(﹣1,﹣3) ,得出结论. 2 3 解答: 解:z=i+2i +3i =1﹣2﹣3i=﹣1﹣3i 复数 z 对应的点为(﹣1,﹣3) 2 3 所以复数 z=i+2i +3i 所对应的点落在第三象限. 故选 C 点评: 本题考查两个复数代数形式的乘法,复数与复平面内对应点之间的关系,是一道基础 题. 3. 分) (5 (2013?深圳一模)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几 何体的左视图为( )

1

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体,它的左视图首先应该是一个正方形,中 间的棱在左视图中表现为一条对角线,分析对角线的方向,并逐一对照四个答案中的 视图形状,即可得到答案. 解答: 解:由已知中几何体的直观图, 我们可得左视图首先应该是一个正方形,故 D 不正确; 中间的棱在左视图中表现为一条对角线,故 C 不正确; 而对角线的方向应该从左上到右下,故 A 不正确 故 B 选项正确. 故选 B 点评: 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图, 其中熟练掌握简单几何体的三视图的形 状是解答此类问题的关键.

4. 分) (5 (2013?丰台区一模)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 e

2x+y

的最大值是

( ) 3 A.e

B.e

2

C.1

D.e

﹣4

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2x+y 分析: z=2x+y,作出可行域,利用线性规划知识可求得 z 的最大值,进而可得 e 的最大 令 值. 解答: 解:作出可行域如下图阴影所示: 由 得 ,所以 B(1,0) ,

令 z=2x+y,则当直线 y=﹣2x+z 经过点 B 时该直线在 y 轴上的截距 z 最大, zmax=2×1+0=2, 2x+y 2 所以 e 的最大值是 e . 故选 B.

2

点评: 本题考查线性规划的简单应用及指数函数的单调性, 考查学生灵活运用所学知识分析 解决问题的能力.

5. 分)双曲线 (5 A.



=1 的渐近线与圆 x +(y﹣2) =1 相切,则双曲线离心率为( B. C.2 D.3

2

2



考点: 双曲线的简单性质;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用圆心(0,2)到双曲线 ﹣ =1 的渐近线 bx±ay=0 的距离等于半径 1,可求得 a,b 之间的关系,从而可求得双曲线离心率. 解答: 解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线为 bx±ay=0, 依题意,直线 bx±ay=0 与圆 x +(y﹣2) =1 相切, 设圆心(0,2)到直线 bx±ay=0 的距离为 d, 则 d= = =1,
2 2

∴双曲线离心率 e= =2. 故选 C. 点评: 本题考查双曲线的简单性质,考查点到直线间的距离,考查分析、运算能力,属于中 档题. 6. 分) (5 (2013?浙江模拟)阅读下面程序框图,则输出结果 s 的值为( )

3

A.

B.

C.

D.

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 2013 除以 6 余数为 3, 由 根据程序框图转化为一个关系式, 利用特殊角的三角函数值 化简,得出 6 个一循环,可得出所求的结果. 解答: 解:∵2013÷6=335?3, ∴根据程序框图转化得: sin ﹣ +sin ﹣ +sinπ +?+sin + +0﹣ ﹣ = ( + +0)+ +0﹣ + ﹣ +0= +0)( + . + +0

+0)+?+(

故选 D. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,循环结构,以及特殊角的三角函数值,认清程序 框图,找出规律是解本题的关键. 7. 分)在下列命题中, (5 ①“a= ②( ”是“sina=1”的充要条件; + ) 的展开式中的常数项为 2; ;
4

③设随机变量 ξ ~N(0,1) ,若 P(ξ ≥1)=p,则 P(﹣1<ξ <0)=
x x

④已知命题 p:? x∈(0,+∞) >2 ; 命题 q:? x∈(﹣∞,0)3x>2x,则命题 p∧ ,3 (¬q)为真命题; 其中所有正确命题的序号是( ) A.①②④ B.②③ C.②③④ D.①③④ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 探究型. 分析: ①利用充要条件的定义判断.②利用二项展开式的内容判断.③利用正态分布的知识 去判断.④利用复合命题的真假关系判断.

4

解答: 解:①当 sina=1 时,α = ②二项展开式的通项公式为

,所以①错误.

, 由 12﹣4k=0,得 k=3,即常数项为 ,所以②正确.

③因为 ξ ~N(0,1) ,P(ξ ≥1)=p,所以 P(ξ ≥1)=P(ξ ≤﹣1)=p, 所以 P(﹣1<ξ <0)= .所以③

正确. ④因为命题 p 为真,q 为假,所以¬q 为真,所以 p∧(¬q)为真命题,所以④正确. 故选 C. 点评: 本题主要考查了命题的真假判断,综合性较强,要求熟练掌握相关的知识. 8. 分)设 Q 为有理数集,a,b∈Q,定义映射 fa,b:Q→Q,x→ax+b,则 fa,b?fc.d 定义为 (5 Q 到 Q 的映射: a,b?fc.d) (f (x)=fa,b(fc.d(x),则(fa,b?fc.d)=( ) ) A.fac,bd B.fa+c,b+d C.fac,ad+b D.fab,cd 考点: 映射. 专题: 新定义. 分析: 根据映射的定义,分别求出 fa,b,fc.d,然后求出(fa,b?fc.d) ,根据映射关系确定答 案. 解答: 解:根据映射的定义可设对应的函数为 fa,b:y=ax+b,fc.d:y=cx+d. 则(fa,b?fc.d) (x)=fa,b(fc.d(x) a,b(cx+d)=a(cx+d)+b=acx+ad+b, )=f 根据映射的定义为 fac,ad+b:x→acx+ad+b, 故选 C. 点评: 本题主要考查了映射的定义,根据映射的定义得到相应的对应关系是解决本题的关 键. 二、填空题: (本大共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡的相应位置.必做 题(9~13 题) ,选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 9. 分) (5 (2012?宁国市模拟)抛物线 y=x 的焦点坐标为
2



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 2 2 根据抛物线的标准方程,再利用抛物线 x =2py 的焦点坐标为(0, ) ,求出物线 y=x 的焦点坐标. 2 2 解答: 解:∵抛物线 y=x ,即 x =y, ∴p= , = ,

5

∴焦点坐标是 (0,﹣ ) , 故答案为: (0,﹣ ) . 点评: 2 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用, 抛物线 x =2py 的焦点坐标为 ﹣ ) (0, , 属基础题. 10. 分)函数 y=x ﹣2x﹣3 在点 M(2,﹣3)处的切线方程为 2x﹣y﹣7=0 . (5 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求导数,确定切线的斜率,利用点斜式,可得切线方程. 解答: 解:求导函数,y′=2x﹣2 ∴x=2 时,y′=2 2 ∴函数 y=x ﹣2x﹣3 在点 M(2,﹣3)处的切线方程为 y+3=2(x﹣2) ,即 2x﹣y﹣7=0 故答案为:2x﹣y﹣7=0. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,属于基础题.
2

11. 分)若向量 , , 满足 ∥ 且 ⊥ ,则 ?( +2 )= 0 . (5

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量 , , 满足 ∥ 且 ⊥ ,可得 可得出. 解答: 解:∵向量 , , 满足 ∥ 且 ⊥ ,∴ ∴ ∴ ?( +2 )= . =0.

.再利用向量垂直与数量积的关系即



故答案为 0. 点评: 熟练掌握向量垂直与数量积的关系及平行向量的性质是解题的关键. 12. 分)我们知道,任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理,比 (5 如:在△ABC 中,三条边 a,b,c 对应的内角分别为 A、B、C,那么用余弦定理表达边角关 2 2 2 系的一种形式为:a =b +c ﹣2bccosA,请你用规范合理的文字叙述余弦定理(注意,表述中 不能出现任何字母) 三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们 : 的夹角的余弦的乘积的 2 倍的差 . 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形.
6

分析: 根据边角关系的符号表示,即可得到文字叙述. 解答: 解:文字叙述余弦定理为:三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边 以及它们的夹角的余弦的乘积的 2 倍的差. 故答案为: 三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角 的余弦的乘积的 2 倍的差. 点评: 本题考查余弦定理的表述方法,考查学生理解能力,属于基础题.

13. 分)不等式|2x﹣1|>2x﹣1 解集为 (5

{x|

} .

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 通过分类讨论右边≥0 与右边<0 即可得出. 解答: 解:①当 时,原不等式可化为 2x﹣1>2x﹣1,即 0>0,矛盾,应舍去; ②当 时,左边≥0,右边<0,显然左边>右边,因此 }. .

综上可知:不等式|2x﹣1|>2x﹣1 解集为{x| 故答案为{x| }.

点评: 熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键.

14. 分) (5 (坐标系与参数方程)在极坐标系中,以点(2, 极坐标方程为 ρ =4sinθ .

)为圆心,半径为 2 的圆的

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 2 分析: 由题意可得 圆心的直角坐标为(0,2) ,半径为 2,求得圆的直角坐标方程为 x +(y 2 2 2 ﹣2) =4,即 x +y =4y.再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得它的极坐标方程. 2 解答: 解:由题意可得 圆心的直角坐标为(0,2) ,半径为 2,故圆的直角坐标方程为 x + 2 (y﹣2) =4, 2 2 即 x +y =4y. 2 再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得 ρ =4ρ sinθ ,即 ρ =4sinθ , 故答案为 ρ =4sinθ . 点评: 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化,简单曲线的极坐标方程,属于基础题. 15. (2013?广东模拟)如图,⊙O 中的弦 CD 与直径 AB 相交于点 E,M 为 AB 延长线上一点, MD 为⊙O 的切线,D 为切点,若 AE=2,DE=4,CE=3,DM=4,则 OB= 4 ,MB= .

7

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 先根据相交弦定理得求出 EB,即可求出 OB;再结合切割线定理即可求出 MB. 解答: 解:由相交弦定理得:CE?ED=AE?EB? =6. ∴OB=
2

=4.

又∵MD =MB?MA=MB?(MB+BA) . 设 MB=x ∴16=X?(X+8)? x=﹣4+4 ,x=﹣4﹣4 (舍) . 故答案为:4,4 ﹣4. 点评: 本题主要考查与圆有关的比例线段、相交弦定理及切线性质的应用.属于基础题.考 查计算能力. 三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=4,S5=35. (Ⅰ)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn=p (p≠0) ,求数列{bn}的前 n 项的和 Tn.

考点: 等差数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用等差数列的通项公式即可得到 a1 与 d,再利用前 n 项和公式即可得出; (II)利用(I)可得 bn,利用等比数列的定义即可证明数列{bn}为等比数列,即可求 出其前 n 项和. 解答: (Ⅰ)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 解:



解得



∴an=3n﹣2.

8

∴前 n 项和 Sn= (Ⅱ)∵an=3n﹣2,∴

=

. ,且 b1=p(p≠0) .

当 n≥2 时,
3

=p 为定值,

3

∴数列 bn 构成首项为 p,公比为 p 的等比数列. 3 所以 (1)当 p =1,即 p=1 时,Tn=n, 3 (2)当 p ≠1,即 p≠1 时数列{bn}的前 n 项的和是 = .

点评: 熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、前 n 项和公式等是解题的关键. 17. (12 分) (2013?延庆县一模)空气质量指数 PM2.5(单位:μ g/m )表示每立方米空气 中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250 日均浓度 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类型 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM2.5 进行监测, 获得 PM2.5 日均浓 度指数数据如茎叶图所示: (Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好?(注: 不需说明理由) (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率; (Ⅲ)在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优或良的天数,求 X 的 分布列及数学期望.
3

考点: 离散型随机变量的期望与方差;茎叶图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (I)由茎叶图可知:甲城市空气质量一级和二级共有 10 天,而乙城市空气质量一级 和二级只有 5 天,因此甲城市空气质量总体较好. (II)由(I)的分析及相互独立事件的概率计算公式即可得出;
9

(III)利用超几何分布即可得到分布列,再利用数学期望的计算公式即可得出. 解答: (Ⅰ)甲城市空气质量总体较好. 解: (Ⅱ)甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天,任取 1 天,空气质量类 别为优或良的概率为 ,

乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天,任取 1 天,空气质量类别为优 或良的概率为 , .

在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为 (Ⅲ)X 的取值为 0,1,2, , X 的分布列为: X 0 P , .

2

数学期望



点评: 正确理解茎叶图、相互独立事件的概率计算公式、超几何分布、随机变量的分布列、 数学期望的计算公式、排列与组合的计算公式是解题的关键.
2

18. (14 分)已知函数 f(x)=2sinx

﹣2sin x+1(x∈R) .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若 f( )= ,x0 ,求 cos2x0 的值. ,且

(Ⅲ)在锐角△ABC 中,三条边 a,b,c 对应的内角分别为 A、B、C,若 b=2,C= 满足 f( ﹣ )= ,求△ABC 的面积.

考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)利用两角和差的正弦公式求得函数 f(x)为 sin(2x+ 的最小正周期 T= (Ⅱ)由已知得 f( x0 =π . )=sinx0+cosx0= 可得 2x0

) ,可得函数 f(x)

,两边平方,求得 sin2x0=﹣ . 由 ,再由

10

cos2x0= (Ⅲ)因为 f( ﹣ )=

,运算求得结果. sinA= ,求得 sinA 的值,可得 A 的值. 再由 C=

求得 B 的值.可得 b=c=2,由此求得△ABC 的面积 S= bc?sinA 的值. 解答: 解:Ⅰ) ( 由于 函数 f x) ( =2sinx (2x+ ) , =π . , ﹣2sin x+1=2sinxcosx+cos2x=
2

sin

可得函数 f(x)的最小正周期 T= (Ⅱ)由已知得 f(

)=sinx0+cosx0=

两边平方,得 1+sin2x0= ,所以,sin2x0=﹣ . 因为 x0 ,所以 2x0 ,

所以,cos2x0=

=

=



(Ⅲ)因为 f( ﹣

)=

sin[2( ﹣

)+

]=

sinA= .



所以 sinA= ,又因为△ABC 为锐角三角形,所以 A= 所以由 A+B+C=π ,且 C= 得到:B= .

所以 b=c=2,且△ABC 的面积 S= bc?sinA= ×2×2× =1. 点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用, 属于中档题. 19. (14 分) (2013?海淀区一模)在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,△ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点, PA=AB=4, 又 ∠CDA=120°, N 在线段 PB 上, PN= . 点 且 (Ⅰ)求证:BD⊥PC; (Ⅱ)求证:MN∥平面 PDC; (Ⅲ)求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值.

11

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由正三角形的性质可得 BD⊥AC,利用线面垂直的性质可知 PA⊥BD,再利用线 面垂直的判定定理即可证明 BD⊥PC; (Ⅱ)利用已知条件分别求出 BM、MD、PB,得到 ,即可得到 MN∥PD,再利用

线面平行的判定定理即可证明; (Ⅲ)通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的平 面角. 解答: 证明: (I)∵△ABC 是正三角形,M 是 AC 中点, ∴BM⊥AC,即 BD⊥AC. 又∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. ∴BD⊥PC. (Ⅱ)在正△ABC 中,BM= . 在△ACD 中,∵M 为 AC 中点,DM⊥AC,∴AD=CD. ∠ADC=120°,∴ ∴ . , ,

在等腰直角△PAB 中,PA=AB=4,PB= ∴ ∴ , ,

∴MN∥PD. 又 MN?平面 PDC,PD? 平面 PDC, ∴MN∥平面 PDC. (Ⅲ)∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°, ∴AB⊥AD,分别以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图的空间直角坐标系, ∴B(4,0,0) ,C 由(Ⅱ)可知, , ,P(0,0,4) . 为平面 PAC 的法向量.

12

, 设平面 PBC 的一个法向量为 ,





,即



令 z=3,得 x=3,

,则平面 PBC 的一个法向量为



设二面角 A﹣PC﹣B 的大小为 θ ,则



所以二面角 A﹣PC﹣B 余弦值为



点评: 熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角 形中的逆定理应用、 通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二 面角的平面角是解题的关键.

20. (14 分)已知椭圆 C:M:

+

=1(a>b>0)的离心率 e= ,且椭圆上一点与椭圆的

两个焦点构成的三角形周长为 16 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)若 O(0,0) 、P(2,2) ,试探究在椭圆 C 内部是否存在整点 Q(平面内横、纵坐标均 为整数的点称为整点) ,使得△OPQ 的面积 S△OPQ=4?若存在,请指出共有几个这样的点?并 说明理由(不必具体求出这些点的坐标) . 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)利用椭圆的离心率 e= ,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 16,求出几何量,即可得到椭圆 M 的方程; (Ⅱ)利用 S△OPQ=4,可得点 Q 在与直线 OP 平行且距离为 2 方程与椭圆方程联立,即可求得结论. 解答: (Ⅰ)设椭圆 C 的半焦距为 c,由题意可知道: 解:

的直线 l 上,确定直线

13

,解得
2 2 2

?(3 分)

又因为 a =b +c ,所以

所以椭圆的方程为

?(6 分)

(Ⅱ)依题意 ,直线 OP 的方程为 y=x,?(7 分) 因为 S△OPQ=4,所以 Q 到直线 OP 的距离为 2 ,?(8 分) 所以点 Q 在与直线 OP 平行且距离为 2 的直线 l 上, 设 l:y=x+m,则 ,解得 m=±4 ?(10 分)

当 m=4 时,由



消元得 41x +200x<0,即

2

?(12 分)

又 x∈Z,所以 x=﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,相应的 y 也是整数,此时满足条件的点 Q 有 4 个. 当 m=﹣4 时,由对称性,同理也得满足条件的点 Q 有 4 个.?(13 分) 综上,存在满足条件的点 Q,这样的点有 8 个.?(14 分) 点评: 本题考查椭圆的标准方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题. 21. (14 分) (2007?山东)设函数 f(x)=x +bln(x+1) ,其中 b≠0. (Ⅰ)当 时,判断函数 f(x)在定义域上的单调性;
2

(Ⅱ)求函数 f(x)的极值点; (Ⅲ)证明对任意的正整数 n,不等式 都成立.

考 利用导数研究函数的极值;不等式的证明. 点: 专 计算题;证明题;压轴题. 题: 分 (Ⅰ)先求函数的定义域,然后求出函数 f(x)的导函数,利用二次函数的性质判定导 析: 函数的符号,从而确定函数 f(x)在定义域上的单调性; (Ⅱ) 需要分类讨论, (Ⅰ) 由 可知分类标准为 b≥ , 0<b< , b≤0 或 f' (x) <0. 参 数取某些特定值时,可只管作出判断,单列为一类;不能作出直观判断的,再分为一类, 用通法解决,另外要注意由 f'(x)=0 求得的根不一定就是极值点,需要判断在该点两 侧的异号性后才能称为“极值点”.

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(Ⅲ)先构造函数 h(x)=x ﹣x +ln(x+1) ,然后研究 h(x)在[0,+∞)上的单调性, 求出函数 h(x)的最小值,从而得到 ln(x+1)>x ﹣x ,最后令 解 解: (Ⅰ)函数 f(x)=x +bln(x+1)的定义域在(﹣1,+∞) 答:
2 2 2 3

3

2

,即可证得结论.

令 g(x)=2x +2x+b,则 g(x)在

上递增,在

上递减,

g(x)=2x +2x+b>0 在(﹣1,+∞)上恒成立, 所以 f'(x)>0 即当 (Ⅱ) (1)由(Ⅰ)知当 ,函数 f(x)在定义域(﹣1,+∞)上单调递增. 时函数 f(x)无极值点

2

(2)当 ∴ ∴

时,

, ,

时,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上无极值点 时,解 f'(x)=0 得两个不同解 ,

(3)当 当 b<0 时,

∴x1∈(﹣∞,﹣1) 2∈(﹣1,+∞) ,x ,此时 f(x)在(﹣1,+∞)上有唯一的极小 值点 当 时,x1,x2∈(﹣1,+∞)f'(x)在(﹣1,x1)(x2,+∞)都大于 0, , 和一个

f'(x)在(x1,x2)上小于 0,此时 f(x)有一个极大值点 极小值点 综上可知,b<0,时,f(x)在(﹣1,+∞)上有唯一的极小值点 时,f(x)有一个极大值点 和一个极小值点

时,函数 f(x)在(﹣1,+∞)上无极值点. (Ⅲ)当 b=﹣1 时,f(x)=x ﹣ln(x+1) .令
2

15

上恒正 ∴h(x)在[0,+∞)上单调递增, 当 x∈(0,+∞)时,恒有 h(x)>h(0)=0 3 2 2 3 即当 x∈(0,+∞)时,有 x ﹣x +ln(x+1)>0,ln(x+1)>x ﹣x ,对任意正整数 n, 取 点 本题主要考查了函数的单调性,以及导数的应用和不等式的证明方法,属于中档题. 评:

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