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变化率教案


陈仓高级中学高二数学备课组集体教案
课题

§1.变化的快慢与变化率

撰写人

1.知识与技能: 能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率,为后续建
立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景;

2.过程与方法: 体会平均变化率的思想及内涵,培养学生观察、分析、比较 和归纳能

力;通过问题的探究体会类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思 三维目标
想方法;

3.情态与价值:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,使学生掌握导数
的概念不再困难,从而激发学生学习数学的兴趣.使学生拥有豁达的科学态度,互相 合作的风格,勇于探究,积极思考的学习精神.

重难点 课件名称 上课时间 教学过程

重点:平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解. 难点:平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释.

变化的快慢与变化率

⒈情境创设,激发热情 导言: 1.讲解青蛙扔过一锅热水和放进一锅冷水后然后再慢慢加热得到两个不同结果 .与学生 一起分析实验告诉我们:变化有快有慢之分,有些变化不被人们所察觉,有些变化却让人 感叹和惊呀! 2.由学生列举一些变化快慢的事例.(如果事例适当,教师引导学生设置数据,建构平均变 化率计算程序) ⒉过程感知,意义建构 实例分析 1 银杏树 1500 米,树龄 1000 年,雨后春笋两天后长高 15 厘米. 实便分析 2 物体从某一时刻开始运动,设 s 表示此物体经过时间 t 走过的路程,在运动的过程中测 得了一些数据,如下表.

t(秒) 0 s(米) 0

2 6

5 9

10 20

13 32

15 44

? ?

实便分析 3 这是我市今年 3 月 18 日至 4 月 20 日其中三天最高气温表和每天最高气温的变化图 时间 3 月 18 日 4 月 18 日 1 4 月 20 日

日最高气温

3.5℃

18.6℃
T(oC)

33.4℃

(以 3 月 18 日为第一天,曲线图) .

⒊归纳概括,建立概念 1. 如果将上述气温曲线看成是函数

33.4 18.6 3.5 A(1,3.5) 0 1 32

C(34,33.4)

气温曲线
B(32,18.6) 34 t (d)

y ? f ( x) 的 图 像 , 则 函 数
y ? f ( x) 在区间[1,34]上的平均
变化率是多少? 2. f ( x) 在区间 [1, x1 ] 上的平均变化 率为多少?

3. f ( x) 在区间 [ x2 ,34] 上的平均变化率为多少? 4.你能否归纳出“函数 f ( x) 在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率”的一般性定义吗? 平 均 变 化 率 的 定 义 : 一 般 地 , 函 数 f ( x) 在 区 间 [ x1 , x2 ] 上 的 平 均 变 化 率 为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1
通 常 把 自 变 量 的 变 化 x2 ? x1 称 作 自 变 量 的 改 变 量 , 记 作 ?x , 函 数 值 的 变 化

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 称作函数值的改变量,记作 ?y .这样,函数的平均变化率就可以表示为:
函数值的改变量与自变量的改变量之比,即

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

它的几何意义是曲线上经过A、B两点的直线的斜率.我们用直线的斜率来刻画直 线的倾斜程度,同样,我们用平均变化率来近似地量化曲线在某一个区间上的“陡峭” 程度,具体地说:曲线越“陡峭” ,说明变量变化越快;曲线越“平缓” ,说明变量变化 越慢. ⒋例题讲解,尝试应用 1. 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率. 该婴儿体重的平均变化率的实际意义? 2.某病人吃完退烧药,他的体温变化如图,比较时间 x 从 0min 到 20min 和从 20min 到 30min 体温的变化情况,哪段时间体温变化较快? 这里出现了“负号” ,你怎样理解“—”号?它表示体温下降了,绝对值越大,下降 得越快, 所以, 体温从 20min 到 30min 这段时间下降得比从 0min 到 20min 这段时间要快. 5.变式练习,巩固提炼 1 若函数 f(x)=2x+1,试求函数 f(x)在区间[-1,1]和[0,5]上的平均变化率 ○ 2

函数 f(x)在这两个区间上的平均变化率都是 2. 2 变式一:求 f(x)=2x+1,试求函数 f(x)在区间[m,n](m<n)上的平均变化率 ○ 还是 2,丨 ③变式二:求 f(x)=kx+b,试求函数 f(x)在区间[m,n](m<n)上的平均变化率 是 k. 一般地,一次函数 f(x)=kx+b(k ? 0 )在任意区间[m,n](m<n)上的平均变化率等于 k. 4 变式三:求 f ( x) ? x 2 在区间[-1,1]上的平均变化率. ○ 提出问题:变化率为 0 是不是说明没有变化呢? ⑤变式四:求 f ( x) ? x 在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.01],[1,1.001]上
2

是 0.

的 平均变化率. 函数 f ( x) 在这 5 个区间上的平均变化率分别是 4、 3、 2.1、 2.01、 2.001.

从上面计算的结果,你发现了什么?当区间的右端点逐渐接近 1 时,平均变化率逐 渐接近 2. 6.回顾反思,设问结课 1.平均变化率的定义 2.平均变化率的几何意义 3.如果闭区间固定左端点,让右端点逐渐接近左端点,平均变化率有什么变化?这个变 化有什么重大意义?

反思

3


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