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山东省泰安市肥城市第三中学2013-2014学年高一数学 圆的一般方程复习学案


山东省泰安市肥城市第三中学 2013-2014 学年高一数学 圆的一般 方程复习学案
学习内容 【学习目标】 1、掌握圆的一般方程的特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径。 2、掌握二元二次方程与圆的一般方程的关系及根据不同的已知条件,利用待 定系数法求圆的一般方程。 3、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想。 【学习重点】掌握圆的一般方程,用 待

定系数法求圆的一般方程; 【学习难点】二元二次方程与圆的一般方程的关系及根据不同的已知条件,利 用待定系数法求圆的一般方程。 【回顾·复习】 1 、 圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 2 ? 0 的 圆 心 坐 标 和 半 径 分 别 为
2 2

学习指导 即时感悟

(

)

( A) (?1, 2),3

( B ) (1, ?2),3

(C ) (?1, 2), 3

( D ) (1, ?2), 3

2、圆心为(1,2),半径为 2 的圆的标准方程是_______________________. 【自主·合作·探究】 探究一:圆的标准与一般方程之间的转换 1、将 以 C(1 ,2) 为 圆 心 ,2 为 半 径 的 圆 的 标 准 方 程 展 开 并 整 理 得 __________________ 2、圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点?

探究二:二元二次方程与圆的一般方程的关系 1 、 方 程 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 表 示 什 么 图 形 ? 方 程
2 2

x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 表示什么图形?

2、方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 在什么条件下表示圆?
2 2

3、如果圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 圆心在直线 y ? 2 x 上,则(
2 2


1

( A) D ? 2 E
2 2

( B) E ? 2D
2

(C ) E ? 2 D ? 0

(D) D ? E
)

4、若方 程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是(

2 A.a<-2 或 a> 3

2 B.- 3 < a<0

C.-2<a<0

2 D.-2<a< 3

【典型例题】 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的圆心及半 径. 2 2 2 2 (1)4x +4y -4x+12y+9=0; (2)4x + 4y -4x+12y+11=0.

例 2:求经过三点 A(1,-1) 、B(1,4) 、C(4,-2)的圆的方程。

2

【当堂达标】 1.配方法求下列方程表示圆的圆心坐标和半径: (1) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 5 ? 0 (2) x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0

(3) x2 ? y 2 ? 4x ? 0

(4) x2 ? y 2 ? 5 y ? 1 ? 0

2、已知 ? ABC 的顶点坐标分别是 A(1,1)、B(3,1)、C(3,3),求 ? ABC 外接圆 的方程。

3、求点 P(4, ?2) 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 上任一点 Q 连线所成线段的中点 M 的轨迹方 程。

3

【反思·提升】 1、圆的一般方程及其含有的参数; 2、如何利用待定系数法求圆的一般方程; 3、二元二次方程与圆的一般方程的关系。 【拓展·延伸】 1、将圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 平分的直线是( A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0

) D. x ? y ? 3 ? 0 )

C. x ? y ? 1 ? 0

2.若直线 3x ? y ? a ? 0 过圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 B.1 C.3 D.-3

3. 经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 ( ) x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 A. C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

4.求与两定点 A(-1,2),B(3,2)的距离比为 2 的点 P 的轨迹方程.

作业布置 演草作业:P123 答案解析 【回顾·复习】 1、 C 2、 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 4
2 2

1、3

【自主·合作·探究】 探究一、1、 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0
2 2

3、 标准方程能看出圆心和半径,一般方程 x , y 系数相同,没有 xy 项,很好
4

2

2

的体现代数方程的形式结构。 探究二、1、 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 表示以(1,-2)为圆心,半径为 2 的圆;

x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 无实数解,所以不表示任何图像。
2、 D ? E ? 4F ? 0
2 2

3、B

4、D

【典型 例题】 例 1 、 ⑴ 圆 的 方 程 化 简 为

x2 ? y 2?x ? 3y ?

9 ?0 , 4

1 ? 1 ? 3? D 2 ? E 2 ? 4F ? 1 ? 9 ? 9 ? 1 ? 0 ,表示圆,圆心 ? , ? ,半径 r ? 。 2 ?2 2 ?
⑵ 圆 的 方 程 化 简 为

x2 ? y 2 ? x ? 3y ?

11 ?0 4



D 2 ? E 2 ? 4F ? 1 ? 9 ? 11 ? ?1 ? 0 ,不表示圆。
例 2 、 解 : 设 圆 的 一 般 方 程 为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ? 圆 过

A?1,?1?, B?1,4?, C?4,?2? 三点,
?1 ? 1 ? D ? E ? F ? 0 ? E ? ?3 ? ? ?1 ? 16 ? D ? 4 E ? F ? 0 , ? D ? ?7 , ?16 ? 4 ? 4 D ? 2 E ? F ? 0 ? F ? 2 ? ?
所以圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 7 x ? 3 y ? 2 ? 0 。

? M为AB中点, ?x ? 例 3、 解: 设M (x, y) ,A?x0 , y0 ? ,
2

4 ? x0 3 ? y0 .y ? , 2 2

? x0 ? 2 x ? 4, y 0 ? 2 y ? 3,? A在圆?x ? 1? ? y 2 ? 4上, ? ?x0 , y 0 ?满足圆的 3? ? 3? ?2x - 4 ? 1?2 ? ?2 y ? 3?2 ? 4, ? 方程, ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1, 2? ? 2? ?
M 的轨迹方程是 ? x ? 【当堂达标】
5
2 2

? ?

3? ? 3? ? ? ? y ? ? ? 1。 2? ? 2?

2

2

1、⑴ ?x ? 1? ? y 2 ? 6,圆心?1,0?, r ?
2 2 2

6

⑵ ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 9,圆心?? 1,2?, r ? 3. ⑶ ?x ? 2? ? y 2 ? 4,圆心?? 2,0?, r ? 2;
2
2 ? 5 5? 21 21 ? ? ?。 ,圆心? 0 , , r ? ⑷x ??y? ? ? ? 2 ? 2? 4 2 ? ? ? 2

2、解: 设圆的一般方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ? A?1,1?, B?3,1?, C ?3,3?

?1 ? 1 ? D ? E ? E ? 0 ? D ? ?4 ? ? 位于圆上,? ?9 ? 1 ? 3D ? E ? F ? 0 ? ? E ? ?4 , ?9 ? 9 ? 3D ? 3E ? F ? 0 ? F ? 6 ? ?
圆的一般方程为 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 。

?x ? 4、 解:设 M ?x, y ?, Q?x0 , y0 ?,? M为PQ中点,

4 ? x0 y ?2 ,y ? 0 即 2 2

x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 2, Q 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上所以 Q 满足方程,即

?2x ? 4?2 ? ?2 y ? 2?2 ? 4,即?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ? 1,
M 的轨迹方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 1 。
2 2

【拓展延伸】 1、C 2、B

3、C

4、解:设 P(x,y),依题意知

AP BP

? 2, 即

?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2

? 2

?x ? 3?2 ? ? y ? 2?2

,化简得

x 2 ? y 2 ? 14x ? 4 y ? 21 ? 0 ,
所以 P 的轨迹方程为 x ? y ?14x ? 4 y ? 21 ? 0 。
2 2

6


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